Xidian University 静电场 三、唯一性定理的意义 1.唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。 2.无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和 给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于 许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求 解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满 足方程和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，修 改至满足为止。 西安电子科技大学
西安电子科技大学 三、唯一性定理的意义 2. 无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和 给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于 许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求 解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满 足方程和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，修 改至满足为止。 1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。 静电场
Xidian University 静电场 例：半径为a的导体球壳接地壳内中 心放置一个点电荷Q,求壳内场强。 解：点电荷Q放在球心处，壳接地 p、=0 V20=0(R≠0) 因而腔内场唯一确定。 已知点电荷产生的电势为 4π8oR 但它在边界上 - 2 π6oa 不满足p、=0 西安电子科技大学
西安电子科技大学 例：半径为a的导体球壳接地壳内中 心放置一个点电荷 Q，求壳内场强。 0 S 解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地 0 2 (R 0) 因而腔内场唯一确定。 Q 0 S 不满足 已知点电荷产生的电势为 R Q 0 1 4 a Q S 0 1 4 但它在边界上 静电场
Xidian University 静电场 要使边界上任何一点电势为0， 设 0= 4π6R 4π8oa 它满足720=00、=0 根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。 E=-V0= QR (R<a) 4πER3 可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。 西安电子科技大学
西安电子科技大学 要使边界上任何一点电势为0 ， R Q 4 0 a Q 4 0 设 0 2 0 S 它满足 根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。 ( ) 4 3 0 R a R QR E 可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。 Q Q 静电场
静电场 例：带电荷Q的半径为的导体球放在均匀无限大介质中， 求空间电势分布。 解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。 假定电场也具有球对称性，则电势坐标与B,p无关。 因电荷分布在有限区，外边界条件p。=0 导体表面电荷Q已知，电场唯一确定。设0=A+B R 哈- R V.V0=-4N:20 (R>a) 满足 70=0, R>0 p =0 B=0 A4πa=A4π6 在导体边界上g手：烈-集公- A= D= (R>a)E=-Vo= OR 4πe 4πeR (R>a)里 子技大学
西安电子科技大学 解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。 假定电场也具有球对称性，则电势坐标与 , 无关。 0 因电荷分布在有限区，外边界条件 导体表面电荷Q已知，电场唯一确定。设 R A B 3 A A R R R 3 0 ( ) R A R a R 2 0 R 0 R 满足 ， B 0 例： 带电荷Q 的半径为a的导体球放在均匀无限大介质中， 求空间电势分布。 在导体边界上 2 2 2 4 4 S S R a a Q dS d A A S R R a A ( ) 4 4 A Q Q R a R 3 ( ) 4 QR E R a R 静电场
Xidian University 静电场 例：两种均匀介质61和6，充满空间，一半 82 径的带电Q导体球放在介质分界面上（球心在 界面上)求：电势分布。 E 解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区中。=0导体上Q 给定，所以球外场唯一确定。 对称性分析： E, 61=62→0=4元ER 场对称 81≠82一 场仍对称！ 两介质分界面有：En=E2m=0 →0=0 E 西安电子科技大学
西安电子科技大学 例:两种均匀介质 和 充满空间，一半 径 a 的带电Q导体球放在介质分界面上（球心在 界面上）求：电势分布。 1 2 1 2 a Q 1 2 a Q P E2 E1 S2 S1 1 2 R Q 4 场对称 对称性分析： 1 2 场仍对称！ 给定，所以球外场唯一确定。 0 解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区 导体上Q 两介质分界面有： E E 1 2 n n 0 2 1 0 p E E n n 0 p 静电场