在土导体平板的下侧,有 Js=en×H「 e×e0 d-0 Cos a T E k TEae 9sy,3) jo( ay 在下导体平板的上侧,有 J J=en×Hx=0=-0∠∠0ekx =0
例题
§52量磁位和标量电位B()是一无散矢量场 1.矢量磁位、标量电位 引入位函数 D'Alembert方程 A( 静态电磁场可通过位 B(r, 4=VxA(r, t) (势)函数满足的方程 进行求解,并且可以 H(r,t)=VxA(,d 得到简化。时变电磁 将上式代入电磁感应 场能否引入位函数, 定律,得到 通过位函数满足的方 dA(rt 程来求解,达到求解 V×E(r.t)+ at 时变电磁场的目的
§5.2 矢量磁位和标量电位 静态电磁场可通过位 （势）函数满足的方程 进行求解，并且可以 得到简化。时变电磁 场能否引入位函数， 通过位函数满足的方 程来求解，达到求解 时变电磁场的目的。 B(r,t) A(r,t) 是一无散矢量场 引入位函数 ( ) ( ) ( t) ( t) t t , 1 , , , H r A r B r A r = = 将上式代入电磁感应 定律，得到 ( ) ( ) 0 , , = + t t t A r E r 1. 矢量磁位、标量电位、 DD’Alembert方程
E(r,)+ aA(rt at 是一无旋矢量场,可以引入标量 函数的梯度表示,即 OA(r VO(D E(,D=-vo(r1) OA(r E(rt)+ at at A(r)和p川|分别为电磁场的矢量磁位和标量电位 必须指出的是,尽管磁感应强度在形式上只与 矢量磁位有关,不能据此认为磁感应强度由磁 矢位决定而与标量电位无关。因为在时变情形 下,电磁场相互激发,而时变电场由磁矢位和 标量电位共同描述,使得时变磁场本质上与矢 量磁位和标量电位都有联系
( ) ( ) + t t t , , A r E r 是一无旋矢量场，可以引入标量 函数的梯度表示，即 ( ) ( ) Φ( t) t t t , , , r A r E r = − + ( ) ( ) ( ) t t t Φ t = − − , , , A r E r r A(r,t) 和 Φ(r,t) 分别为电磁场的矢量磁位和标量电位。 必须指出的是，尽管磁感应强度在形式上只与 矢量磁位有关，不能据此认为磁感应强度由磁 矢位决定而与标量电位无关。因为在时变情形 下，电磁场相互激发，而时变电场由磁矢位和 标量电位共同描述，使得时变磁场本质上与矢 量磁位和标量电位都有联系
位函数的规范 根据矢量场的 Helmholtz定理,确定区域上的矢量函数只有在该 矢量函数的散度和旋度及其边界条件是确定的才能唯一确定 根据磁矢位引入的定义,是不能唯一确定磁矢位的。位的非唯 性源于其磁矢位散度的任意性。因此,要使电磁场与位函数 之间为唯一对应关系,须给势函数以明确的约束规定,称这种 约束规定为势函数的规范 Coulomb规范: B 对于磁矢势,辅以v·A(r,)=Q得到位函数方程: VX(VXA)=V(V. A)-VA V2φ(r,t) (r,t) ad ae a otor=x(-V酉 at ⅴA(r,)-Ar) 1uJ(r,)+E(V中(r,t) Ot Ot
位函数的规范 根据矢量场的Helmholtz定理，确定区域上的矢量函数只有在该 矢量函数的散度和旋度及其边界条件是确定的才能唯一确定。 根据磁矢位引入的定义，是不能唯一确定磁矢位的。位的非唯 一性源于其磁矢位散度的任意性。因此，要使电磁场与位函数 之间为唯一对应关系，须给势函数以明确的约束规定，称这种 约束规定为势函数的规范 A(r,t) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) = − + − = − Φ t t t t t t t Φ t , , , , , , 2 2 2 2 J r r A r A r r r 对于磁矢势，辅以 Coulomb规范 ： 得到位函数方程： ( ) t Φ t t t − − = = D E A A A A 2 ( ) = ( ) − 0 B
Lorentz规范和 D'Alembert方程 对位函数[A小]辅以约束条件,4)+ea)=0 at 得到位函数满足的DA1 ambert方程 V2A(r, t) 24(r,) W(r,t (5.2.12) at Φ(r,t) V2④D(r.t)-ax pr (5.2.13) 这是一组标准的DA1 ambert方程。上式形式上磁矢位仅 与电流有关,标量电位仅与电荷分布有关,但它们通过 Lorentz规范联系。尽管电磁场的位函数有多种规范,不 同规范有不同的位函数,但不同规范下的位函数可以通过 变换关系实现相互之间的转换,称为规范变换。不同规范 下的位函数描述同一电磁场。位函数作规范变换时,其所 描述的物理量及其遵循的物理规律应保持不变,称为规范 变换的不变性
Lorentz规范和D’Alembert方程 对位函数 辅以约束条件 得到位函数满足的D’Alembert方程： 这是一组标准的D’Alembert方程 。上式形式上磁矢位仅 与电流有关， 标量电位仅与电荷分布有关，但它们通过 Lorentz规范联系。尽管电磁场的位函数有多种规范，不 同规范有不同的位函数，但不同规范下的位函数可以通过 变换关系实现相互之间的转换，称为规范变换。不同规范 下的位函数描述同一电磁场。位函数作规范变换时，其所 描述的物理量及其遵循的物理规律应保持不变，称为规范 变换的不变性A,Φ ( ) ( ) 0 , , = + t Φ t t r A r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − = − − t t Φ t Φ t t t t t , , 1 , , , , 2 2 2 2 2 2 r r r J r A r A r (5. 2. 12) (5. 2. 13)