42根轨迹的绘制法则 2.终点(K2=∞) 当kg=∞时,闭环系统的特征方程式等效为 N(s)=I(+=)=0 上式表明,当Kg=∞时,闭环极点也就是开环有限零 点 今设M(s)为m阶方程,故有m个开环有限零点决定 了闭环极点的位置,尚有nm个闭环极点,随着K2=∞, 它们都趋向无限远(无限零点)
18 4.2 根轨迹的绘制法则 2. 终点（ ） 当 时，闭环系统的特征方程式等效为 上式表明，当 时，闭环极点也就是开环有限零 点。 今设 为m阶方程，故有m个开环有限零点决定 了闭环极点的位置，尚有n-m个闭环极点，随着 ， 它们都趋向无限远（无限零点）。 K g = K g = K g = K g = = = + = m i i N s s z 1 ( ) ( ) 0 N s( )
42根轨迹的绘制法则 3.根轨迹分支数和它的对称性 根轨迹分支数取决于闭环系统的特征方程式 中s的最高次项,即为max(n,m)条。 闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根, 故根轨迹都对称于实轴
19 4.2 根轨迹的绘制法则 3. 根轨迹分支数和它的对称性 根轨迹分支数取决于闭环系统的特征方程式 中s的最高次项，即为max(n,m)条。 闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根， 故根轨迹都对称于实轴
42根轨迹的绘制法则 实轴上的根轨迹 根轨迹左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角 总为零;复平面上的所有零、极点是共轭的,它们到 实轴上根轨迹的矢量辐角之和也总为零。根轨迹右侧 的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角均为180° 结论:在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧,开环 零、极点数目的总和为奇数
20 4.2 根轨迹的绘制法则 4．实轴上的根轨迹 根轨迹左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角 总为零；复平面上的所有零、极点是共轭的，它们到 实轴上根轨迹的矢量辐角之和也总为零。根轨迹右侧 的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角均为180∘ 。 结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，开环 零、极点数目的总和为奇数
42根轨迹的绘制法则 证明:设N为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目, N为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目, 由辐角条件 ∑B=N-Mz=±(1+2 整理得 (N2+N-N)-M2=2Nx-(M2+N,)z=±z(1+2) 所以,实轴上存在根轨迹的条件应满足 N-+Nn=1+2 21
21 4.2 根轨迹的绘制法则 证明：设 为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目， 为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目， 由辐角条件 整理得 所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足 1 1 (1 2 ) m n i j z p i j N N = = − = − = + ( ) 2 ( ) (1 2 ) N N N N N N N z z z p z z p + − − = − + = + + = 1+ 2 ( = 0, 1, 2, ) Nz Np Nz N p
42根轨迹的绘制法则 例如下图所示,对于根轨迹,N2+N2=1(N2=1N2=0); 对根轨迹BN+N=3;对根轨迹C,N+N=5。 它们都是奇数。 Jol 根轨迹 22
22 4.2 根轨迹的绘制法则 例如下图所示，对于根轨迹 ； 对根轨迹 ；对根轨迹 。 它们都是奇数。 A N N N N , 1 1, 0 z p p z + = = = ( ) , 5 , 3 C N N z p + = B N N z p + =