有心力及其沿闭合路径作功 下面用数学方法给 出验证。如图所示,设 想把质点沿任意路径L 从P点搬运到Q点, 有心力所作的功为: O PO F(r) 0 ds (L) 由于: cos 8 ds=KMCos0=KN=KM=dr 上式化为: PO s ro f(r) d drp 此式只与两端点到力心的距离r和ro有关,与路径L无 关。上式表明,有心力作功可以化为沿任意半径的,维 问题
有心力及其沿闭合路径作功 下面用数学方法给 出验证。如图所示，设 想把质点沿任意路径 L 从 P 点搬运到 Q 点， 有心力所作的功为： A F r ds L Q P PQ ( )cos ( ) = cos ds = KM cos = KN = KM = dr 由于： 上式化为： A F r dr Q P r r PQ ( ) = 此式只与两端点到力心的距离 rp 和 rQ有关，与路径 L 无 关。上式表明，有心力作功可以化为沿任意半径的一维 问题
有心力及其沿闭合路径作功 有心力的重要性质: 有心力作功只与始终点的位置有关,与路 径无关。 或:有心力沿闭合路径作功为零 F●cr=0
有心力及其沿闭合路径作功 有心力的重要性质： 有心力作功只与始终点的位置有关，与路 径无关。 或： 有心力沿闭合路径作功为零。 • = 0 F dr
保守力与非保守力、势能 由上述可知,存在一类重要的力场,在该力场中, 力对质点所作的功只与该质点的始、末位置有关,而与 该质点所经的具体路径无关。 我们称此力场为保守力场,物体在保守力场中所受 的力称为保守力。 Y显然,保守力场中力的环路积分必为零。 凡所功不仅与始、末位置有关,而且与具体路径有关, 多A成沿任一闭合路径二周作功不为的力称为非保守力 沿闭合路径一周作功小于零的力称为耗散力。滑动 摩擦力是非保守力,而且还是耗散力
保守力与非保守力、势能 由上述可知，存在一类重要的力场，在该力场中， 力对质点所作的功只与该质点的始、末位置有关，而与 该质点所经的具体路径无关。 我们称此力场为保守力场，物体在保守力场中所受 的力称为保守力。 显然，保守力场中力的环路积分必为零。 凡所功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关， 或沿任一闭合路径一周作功不为零的力称为非保守力。 沿闭合路径一周作功小于零的力称为耗散力。滑动 摩擦力是非保守力，而且还是耗散力
保守力与非保守力、势能 为了比较容易地判断常见的力是否保守力,下面给 出保守力的一些充分条件。 1.对于一维运动,凡是位置单值函数的力都是保守力。 例如服从胡克定律的弹性力f=f(x)=一kxx)是x 的单值函数,故它是保守力。 2.对于一维以上的运动,大小和方向都与位置无关的力, 如重力f=mg是保守力。 3.有心力是保守力。例如万有引力就是保守力
保守力与非保守力、势能 为了比较容易地判断常见的力是否保守力，下面给 出保守力的一些充分条件。 1. 对于一维运动，凡是位置单值函数的力都是保守力。 例如服从胡克定律的弹性力 f = f (x) = －k(x－x0 ) 是 x 的单值函数，故它是保守力。 2. 对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力， 如重力 f = mg 是保守力。 3. 有心力是保守力。例如万有引力就是保守力
保守力与非保守力、势能 定理:对于保守力场,可以定义一 个标量函数(r),称为势能(或势 函数、位能),使保守力作的功为: A(rA→rB)=(rA)-(rB)。其中 A(rA→rB)表示质点从空间rA点运 动到rB点保守力所作的功。 证:这样选择一个标量函数r) 如图,先任取一点rc,令: V(r)=vo 对空间任意点,定义:(r)=。-4C→r) 由于是保守力场,故A(rc→r)唯一确定,与运动的路径 无关,于是对于空间中的任意点r,我们定义的W(r)的值确 定并且唯一。 下面证明κ(r)就是势能
保守力与非保守力、势能 定理：对于保守力场，可以定义一 个标量函数 V(r)，称为势能（或势 函数、位能），使保守力作的功为： A(rA→ rB) =V(rA) － V(rB) 。其中 A(rA→ rB)表示质点从空间 rA 点运 动到 rB 点保守力所作的功。 证：这样选择一个标量函数V(r)： 如图，先任取一点 rC ，令： 对空间任意点，定义： 0 V(rC ) =V ( ) ( ) 0 r = − r → r V V A C 由于是保守力场，故 A(rC→ r) 唯一确定，与运动的路径 无关，于是对于空间中的任意点 r，我们定义的 V(r) 的值确 定并且唯一。 下面证明 V(r) 就是势能