§3.5微分 、微分的定义 二、微分的几何意义 微分法则 四、微分在近似计算中的应用 首页 页 返回 下而 结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 §3.5 微 分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分法则 四、微分在近似计算中的应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、微分的定义 设有一个边长为x的正方形,其面积为S,显然S=x2.如果边 长x取得一个改Ax,则面积S也取得改变量 △S=(x+△x)2-(x)2=2x△x+(△x)2 当Ax->0时,(△x)2是比Ax高阶 (△x)2 的无穷小量,即(△x)2=0(△x); 2x△x 2x△x是Ax的线性函数,当△x 很小时,可以用2xAx近似地代替 △S,其误差AS-2xAx是一个比△x 高阶的无穷小量 Y-x 我们把2△x叫作正方形面积 S的微分,记作dS=2x△x △x 首页上页返回下页—结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、微分的定义 Dx Dx x x y=x 2 2xDx (Dx) 2 设有一个边长为x的正方形 其面积为S 显然S=x 2 如果边 长x取得一个改Dx则面积S也取得改变量 DS=(x+Dx) 2−(x) 2=2xDx+(Dx) 2 当Dx→0时 (Dx) 2是比Dx高阶 的无穷小量 即(Dx) 2=o(Dx) 2xDx是Dx的线性函数 当Dx 很小时 可以用2xDx近似地代替 DS 其误差DS−2xDx是一个比Dx 高阶的无穷小量 我们把2xDx叫作正方形面积 S的微分 记作dS=2xDx 下页
定义3.3(函数的微分) 对于自变量在点x处的改变量Ax,如果函数y=f(x)的相应 改变量y可以表示为 △y=A△x+O(△x)(△x→>0), 其中4与△x无关,则称函数y=fx)在点x处可微并称Ax为函数 y=(x)在点x处的微分,记作dy或dx),即 dy=d(x)=A△x. 说明 微分是自变量的改变量△x的线性函数,通常称为函数改 变量y线性主部 当Ax->0时,微分与函数的改变量的差是一个比Ax高阶 的无穷小量o(△x) 首页上页返回下页—结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 定义33(函数的微分) 对于自变量在点x处的改变量Dx 如果函数y=f(x)的相应 改变量Dy可以表示为 Dy=ADx+o(Dx) (Dx→0) 其中A与Dx无关 则称函数y=f(x)在点x处可微 并称ADx为函数 y=f(x)在点x处的微分记作 dy或df(x)即 dy=df(x)=ADx 微分是自变量的改变量Dx的线性函数 通常称为函数改 变量Dy的线性主部 当Dx→0时 微分与函数的改变量Dy的差是一个比Dx高阶 的无穷小量o(Dx) 说明 下页
定义3.3(函数的微分) 对于自变量在点x处的改变量Ax,如果函数y=f(x)的相应 改变量y可以表示为 △y=A△x+O(△x)(△x→>0), 其中4与△x无关,则称函数y=fx)在点x处可微并称Ax为函数 y=(x)在点x处的微分,记作dy或dx),即 dy=d(x)=A△x. 说明 微分dy=AAx与函数改变量y是等价无穷小量: lim AAx+o(△x) m Ax->0 dy Ax->0 AAx 首页上页返回下页—结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 定义33(函数的微分) 对于自变量在点x处的改变量Dx 如果函数y=f(x)的相应 改变量Dy可以表示为 Dy=ADx+o(Dx) (Dx→0) 其中A与Dx无关 则称函数y=f(x)在点x处可微 并称ADx为函数 y=f(x)在点x处的微分记作 dy或df(x)即 dy=df(x)=ADx 微分dy=ADx与函数改变量Dy是等价无穷小量 说明 1 ( ) lim lim 0 0 = D D + D = D D → D → A x A x o x dy y x x 下页
函数可微的条件 函数x)在点x可微的充分必要条件是函数f(x)在点x可导, 且当函数(x)在点x可微时,其微分一定是 dly=r"(x)△x 简要证明:一方面 △y=AAx+0(△x)A=AOAx)→imn=f(x)=A △x→>0△x 另一方面 lmy=r(xb)→A=(x)+→y=f(x)x+aAx Ax->0△v △x 首页上页返回下页—结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 函数可微的条件 函数f(x)在点x可微的充分必要条件是函数f(x)在点x可导 且当函数f(x)在点x可微时 其微分一定是 dy=f (x)Dx 简要证明 一方面 f x A x y x o x A x y y A x o x x = = D D D D = + D D D = D + D D → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 另一方面 f x y f x x x x y f x x y x = + D = D + D D D = D D D → lim ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 f x A x y x o x A x y y A x o x x = = D D D D = + D D D = D + D D → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A x y x o x A x y y A x o x x = = D D D D = + D D D = D + D D → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x y f x x x x y f x x y x = + D = D + D D D = D D D → lim ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 f x y f x x x x y f x x y x = + D = D + D D D = D D D → lim ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 下页