被积函数含√a2-x2时,可设x=st或x=0as 被积函数含√a2+x时,可设x=ag 被积函数含√x2-a时,可设x=aet 3.基本积分公式 1)kdx=kx+C(k是常数 (2)(xdx= k*C(μ≠-1) dx 1 In|x C E - arc x ln In + c 2a t+a x+a(x+ -ax十 s8 re sin“+C x + Y 2)+C x±a (9Va-2ds= 2Va-2+2are sin a + c (02±d2dx=x:at2址(x+ )+C (11)edx e+C ( 12)adx lne (13) sinxdx =-c0s*+ ()c (15)tgrdx=-In cosx+ C 6】-ghr+c (17) e tgx+ c (8)2=-cx+C coS x sin 2 (19 C (20) tg C sinx (21) sin'2dx=ix-isin2x+C(22) co '=dx= 2*+ 4snzx+ 4.定积分性质 (1)x0dx:-/(x)dx x)dx〓 (3)f( x )da f(x)dx+ f(x)dx (4)(x)+{(]dx=a((x)d+g(x)dx 5)当g(x)≤fx),a<b时,g(x)dx≤(x)dx 6若m≤fx)≤M,a<b,则m(b-a)≤(dx≤M(b-a) )(x)dx≤1fx2)1dx(a<b 8设fx)在a,上连续,则在a,6]上至少有一点;使|xdx=八((6b-a)
5.定积分计算法则 (1)若F(x)是f(x)的一个原函数则有 f( x)dx= F(6)F( a=FIx (2)fo(x)Jo(z)dx=Ap(x)ldp(e 3)(x=g(1()d其中g(l)=a,9()=6,x=9()单值有连续 导数 (4)若fx)为偶函数 则 f(x)dx=2. f(x)dx 若八(x)为奇函数,则f(x)dx=0 sIn x whdr=n"n-25:3(n为大于1的奇数) …3,,(n为正偶数 几 u(z) f(t)dt=Au(x)】l(x) d.=:a)(x) 九)多元函数微积分 二元函数z=f(x,y)的徹分法 (1)偏导数 22lmf(x+4x1y)-f(x1,2=hmf(x1y+42-f(x)或分 别记为f(x,y),f(x,y) (2)全微分若z=f(x,y)的各偏导数都存在且连绥,则全徼分是 ar. az (3)复合函数求导法 ①设x=f(u,n),以=9(x,y),"=ψ(x,y) 则 az dx au dz x d au az a ax au ax dv dx ②设:=∫(u,t),u=g(x),υ=ψ(x),则全导数 dz az du az dv au dx ae d ③隐函数徼分法,设F(x,y)=0确定y是x的函数,则 32, 32 4)若混合偏导数连续,则2y27 (5)方向导数若f(x,y)在点(x,y)可微分,方向l与x轴正向的夹角为p, 则沿l方向的方向导数为
cos0t-sln ai ax a (6)曲面z=f(x,y)在点(x,y,4)处的切平面及法线方程 切平面z-40=f(x,y)(x-x0)+f,(x0,0)(y-0) 法线 yo 2o, y( (7)空间曲线x=g(t)y=中(t)z=o(t)的切线及法平面方程 z-如 切线 Io y- (4)^φ(o)a'(to 法平面g()(x-xo)+ψ()(y-y0)+()(z-a)=0 其中对应曲线上的点(x,y,xo) 2.重积分 (1)用极坐标计算二重积分 f(a, y )dxdy= f( rcos8, rino)rdrde (2)用柱坐标计算三重积分 f(x,y,a)dxdyd:=.f(rcos8, rsing, )rdrdodz n (3)用球坐标计算三重积分 f(x,y,a)dxdydz=F(r,9,8)r'sinpdrdpde 合 其中,r为原点0到点M(x,y,z)的距离,φ为OH与z轴正向之夹角,B是OP(P为 M在OY面上的投影)与x轴正向之夹角,F(r,g,)=f( rsinpcos 0, rsin gain, TCOS 3.曲线积分 (1)对弧长的曲线积分的计算 x〓 设曲线弧L: y=(t)(a≤!≤),则有 f(x,y)d=fg(t,yt)p(t)2]+[( (2)对坐标的曲线积分的计算 ①设有向曲线弧L x=p ,且t=a对应弧L的起点,t=对应L的终点,则 有 P(x,)x+(x,)y:|Pp(,9()9(+l9(,9)y()dt ②若把弧L分为两段L1和L2,则 Pdx+dy Pdx+Qdy+ Pdx+Q L L 12 ③若以-L表示与L相反的有向曲线弧,则 70
Pdx+Qdy =-Pdx+Qdy (3)格林公式设闭区域D的正向边界曲线为L,P(x,y),Q(x,y)在D上具 有一阶连续偏导数,则有 d0 aP dxdy=中Padx+Qd (4)曲线积分与路径无关的条件在上述格林公式的条件下,若=。,则下述结 论成立 of pdx+ody =0 ②曲线积分与路径无关,只与起点M6(x0,y)及终M(x,y)有关,此时曲线积 分可写为 I,y Pdx+ Qd y 4.积分应用 (1)几何应用 ①由曲线y=y(x)及y=y1(x)(y1(x)≤y2(x)及直线x=a,x=b(a< b)所围成的图形的面积A=n2(x y1(*)ds ②平面上闭区域D(正向边界曲线为L)的面积 A=‖dxd Yax ③平面图形0≤y≤y(x),a≤x≤b,绕x轴所生成的旋转体体积V (x)] ④平面曲线y=y(x)(a≤x≤b)的弧长 ⑤设空间区域a由上、下边界曲面z=2(x,y)与z=1(x,y)围成,D是n 在XO平面上的投影,空间区域a的体积 (2)物理应用 ①平面薄片(占有区域D)的重心坐标 yP(x, y do y p(x,y)为密度) 0(第 ②平面薄片(占有区域D)对x轴以及对y轴的转动惯量分别是 yp(x,y)do, l,=xp(a,y D
(十)常微分方程 一阶可分离变量徼分方程 或g(y)dy=(x) t g( 解 2.一阶线性非齐次徽分方程江+P(x)y=Q(x) 解 e 3.可降阶二阶傲分方程y"=f(x) 解 y=If(x)dx dx+cx+ c2 4.二阶常系数线性齐次徼分方程y+以y'+q=0(其中,p、g为常数),其特征方 程为r?+pr+q=0,设特征方程的根为n,n2 (1)当≠2(实根),通解Y=C1e}2+c2e2 (2)当1=n2=r(实根),通解Y=(c1+C2x)e (3)n;2=a:(复根),通解Y=e"(qs+ C28inAa) 5.二阶常系数线性非齐次徼分方程 y”+p'+qy=∫(x) 若有特解y',且它的对应齐次方程通解为Y,则非齐次做分方程的通解为y=Y+y"。 特解y的形式由特征方程的根及自由项f(x)决定。见表23 表23 ∫(x)的形式 特解y’的形式 不是特征方程的根,y’="Q。(x) f(x)="P。(x) A是特征方程的单根,y’=(取n(x) (P。(x)为x的m次多项式) λ是特征方程的重根,y'=c"x2Q。(x) (Qn(x)是x的m次多项式) f(x)= Acoswux+Bsinadt ±oi不是特征方程的根,y’=8tm+ bingu (A,B不同时为零) ±wi是特征方程的根,y'=x(acrt+ beina) (十一)无穷级数 常数项级数 1)若级数∑a收剑,则必有lima,=0 )比值审敛法:正项级数∑a,(a0,若l址=p,则当a<1时级数收 敛;p>!(或lin∽=如)时级数发散,p=l时级数可能收敛也可能发散。 3)若级数∑|a收剑,则∑a必收敛,称为绝对收敛;若∑a发散而∑a 收敛,称为条件收敛。 4)莱布尼兹定理:若交错级数∑(-1)-a,(a,>0):满足(1)a≥a,(n= 72