1,2,…),() lim a=0,则此级数收敛,且其和S≤a1,余项r的绝对值| ≤ )等比级数∑w(公比q,前n项和s9(1- 当,1q1<1时级数收敛,和 为;当lq1≥1时级数发散。 n3p1时收敛;当p≤1时发散。特别是SL(称为调和级 6)p级数∑ 数)发散,但交错级数∑1)收做,此为条件收敛 2幂级数∑ax a/=P≠0,则收敛半径R =1;若p=0,则R=+四;若P 则R=0 (2)把函数展开为幂级数 x 泰勒级数f(x)=f(xo)+f(x0)(x-x)+2!(x-40++n x-‰n+ n) 麦克劳林级数∫(x)=f(0)+f(0)x+ +…几个函 几 数的展开式 =1+x+x +=∑x(-1<x<1) 1-x (-1)x2+ t〓 ∑(-1)x(-1<x<1) e2=1+x+n++“+-1+= -<x<+如 2n-1 2n-1 slnx〓x 5!7+“+(-1)21 (2n-1)! (2n-1)! ∞<< …· ∑ <x< 2! (2n) In(1+x) xx w ∑(-1) <x≤ 234 3.傅立叶级数 ()设f(x)在区间[-π,丌]上可展开为傅立叶级数,则有 f(x)=+∑ac;+bmax) 其中a0=r f x dx, an= x )co8nx dx, b=1|f( x丿 sinner dx 丌 若(x)为奇函数,即∫(-x)=-f(x),则有
∑b,其中 f(x)sinned 若f∫(x)为偶函数,即∫(-x)=f(x),则有 其中 (x)dx, an (x)cos ndr an008 (2)设f(x)在区间[-,]上可展开为傅立叶级数,则有 2·∑( a.c08 bns b=订八x rdx若(x)为奇 其中 f(=)dx, an x cos 函数,有 sm,,=元f(x) 若f(x)为偶函数,有 nTx x cOs an f(=)dx, an=I 十二)线性代数 1,行列式 a a,b 2-42 b2 b2 C2 C1 b2 C b, c3162 b3 -a+- a362C1 矩阵及其运算 m行m列矩阵简记为 xnj 「a1a1 a1 012 a G2a A= m A的转置矩阵记为A(或AT),A是把A的行换成同序数的列。(Ay=A 若A的行数等于列数即m=n时,称A为n阶方阵。若!'=A,即a=y(i,j 1,…,n),称A为对称矩阵。若A=-A"称A为反对称矩阵。若A= ,λ为数,称A为对角矩阵,特别λ1=1(i=1,…,n)时称为单位矩阵,记为E。 矩阵相等:(ay)n,=()x…,即 矩阵相加减:(a3)mx± n xR 其中c=a±b X n 数乘矩阵:M=(ax,=(
矩阵相乘:A=(4x,:(4),4=C=(q…其中42,对 于转置矩阵,有(AB)=BA'。 3.矩阵的秩 矩阵A=(a)mxn中不等于零的子行列式的最大阶数称为A的秩,记为R(A)。 4.矩阵行列式,逆矩阵 设A为n阶方阵,|A表示A的行列式 A"|=|A,|AB|=|BA|=|A|B 秩R(A)=n的充要条件是|A|:≠0,并称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。 当且仅当A为满秩时,存在逆矩阵A,逆矩阵是唯一的。 AA-I= A-A:E A 其中A'为A的伴随矩阵,形如: ,其中4为元素的代数余子式 2a…Bn 5.炬阵约初等变换 (1)对调A的两行(列): (2)以数k(≠0)乘某一行(列)中所有元家; (3)把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去 矩阵经初等变换,其秩不变。 用初等变换求逆矩阵:对nx2n矩阵(A|E)进行行变换,当把A变成E时,原来 的E就变为A- 6.线性方程组 线性方程组 a1x1+12x2+"+a1xn d11a12 a21x1+a2"+a2n b2 a2 a b2 的增广矩阵A am1X1+4m2*2+"+aman: bn L am2 Q1 a a (1)(I)有解的充要条件是R(A)=R(A),其中A= a21 a a2n 1m2 a (2)方程组有无穷多个解的充要条件是R(A)=R(A)<n (3)方程组有唯一解的充要条是R(A)=R(A)=n (4)当m=n时,(I)有唯一解的充要条件是1A|≠0,其解可表示为 (j=1,2,…,n)
其中141是将行列式1A1中第j列元素相应换为常数项一列元素所得的行列式。 7,特征值与特征向量 (1)若A是n阶方阵,如果数λ和n维非零列向量x使式子Ax=x(或A-AE)x=0) 成立,则称λ为方阵A的特征值,x为A的对应于特征值λ的特征向量。 (2)A的特征值λ是A的特征方程 12 IA-AEI= an an? 的解。因此,在复数范围内A有n个特征值(重根按重数计)。 (十三)概率与数理统计 事件及其运算 随机事件简称事件,必然事件记Ω(或记U),不可能事件记⑨。事件的运算及记号: (1)包含ACB:事件A发生必导致事件B发生。 (2)相等A=B:ACB且BCA (3)和A∪B(或A+B):事件A、B中至少有一个发生。 (4)积A∩B(或AB);A、B两事件同时发生。 (5)A-B:事件A发生而B不发生。 (6)对立事件:称事件Ω-A为事件A的对立事件,记为A。减法运算满足A-B= AB (7)互斥事件:若A∩B=0,称A,B为互斥(或互不相容)事件。 事件运算满足加法和乘法的交换律、结合律及分配律,还满足对偶原理: UA2=∩x,^4=UA 2.概率定义和计算公式 (1)古典概率设等概基本事件组有n个元素,导致事件A发生的基本事件为m个, 则事件A的概率为 P (2)概率的性质 00≤P(A)≤1,P(m)=1,P(0)=0 ②P(A)=1-P(A)或P(A)=1-P(A) ③P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(加法公式) 若A,B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B) (3)条件概率:设A,B为事件,P(A)>0,在事件B发生的条件下,事件A发 生的概率称为条件概率,记作P(A|B),且有关系式 P(AIB) P(B (4)乘法公式 76
P(AB)=P(B)P(AI B)P(B)>0 IP(A)P(BIA)P(A)>0 特别地,若P(AB)=P(A)P(B),则称A,B互相独立。 5)全概率公式如果A,A2,…,A,两两互斥且P(A)>0(i=1,…,n) +A2+…+A,=(或U),则有 P(B)=∑P(A)P(BA) (6)贝叶斯(逆概)公式:在全概率公式假设下,则有 P(A, I B) PA)P(B142( ∑P(A)P(B|A) 3.一维随机变量的分布函数与分布密度 (1)设X是一随机变量,称函数 F(x)=P(X≤x)(-2<x<2) 为X的分布函数。有如下性质: ①0≤F(x)≤!limF(x)=0,imF(x)= ②F(x)是x的不减函数 ③F(x)右连续,即ImF(x)=Fx) (2)离散型随机变量X的概率分布表(分布列) X x3 斯 P3 P3 是x取值时的概率,简记为=Px=x有性质 ①p:≥0(k=l, ⑧分布函数Fx)=Px≤x=∑Px (3)连续型随机变量及其分布密度 F(x)为随机变量的分布函数,若有非负可积函数p(x) (-<x<+),对 任意a,b(a<b),使 Pla<x< (x)d 成立,则称为连续型随机变量,p(x)为〖的概率密度函数(简称概率密虔或密度)。 性质:①P(x)≥0 x)dx= 3P|axkb=P/a≤x<b=Pa<x≤b= P lasts ④F(x)=|p(tt 儿种常用的概率分布 (1)二点分布X的分布如下:PX=1=p(0<p<1) 77