方向余弦ca=",cs=n1,cy= 起点为A(x1,y1,1),终点为B(x2,y2,)的向量AB表示为 AB=(x2-x)i+(y2-y)j+(2-n)k={x2 2.向量运算 设a= b={b1,b2,b3 (1)a±b=a1±b1,a2±b2,a3±b,a=ka,a,da (2)ab=|a|ls(ab),a·b=b·a,aa=l|a )a×b是一个向量,其模a×b=1a|bsn(),其方向垂直于a、b所决定 的平面,并且a,b,axb构成右手系 a3 41 a1 42 ax b=a1 a24 十 b2 b2 axb= -b (4)(axb)·e=b1b2b|,(axb)·e=g(bxc) CI C2 C3 3.向量垂直、平行条件 设a={a1a2a3,b={b2b3,a,b为非零向量 alb a b=06ab1+0202+a303=0 a2 a‖ b e b=0台== (六)空间解析几何 1.两点距离,中心公式 设两点M1(x1,n,x1),M2(x2,y,t M1M1=√(x2-x1+(y1-y12+(2-x2 线段MM2中点M(x,y)坐标:x=当,y=+2 +2 2.平面方程 (1)一般式Ax+By+C+D=0,法线向量n={A,B,C} (2)点法式A(x-x)+B(y-y0)+C(x-)=0,过点(x,%,动),法 向量n={A,B,Cl 3)截距式2+1+2=1,a,b,c分别是平面在x,y,z轴上的截距 3.直线方程 (1)对称式 ,直线过点(x,y,),方向向量8=m, 64
A r+Bly+ 13+D1=0 (2)一般式 方向向量s={A1,B,C1x{A2,B2, A2x+ B2y+ C22+D2=0, x xn t mt (3)参数式{y=0+z直线过点(o,y,x),方向量=1m,n,p =2+r 4.直线、平面之间的关系 设平面I:A1x+B1y+C1z+D1=0;平面Ⅱ:A2x+B2y+C2z+D2=0 直线l:4=2-2=;直线:2-2-22=22 P2 (1)平行条件 平面I‖平面I:n1n2 直线L1‖直线L2:1|s2 直线L1‖平面Ⅰ:51⊥n (2)垂直条件 平面I⊥平面Ⅱ:n1⊥n2 直线L1⊥直线l2:⊥52 直线L1⊥平面I:51|n 5.常用曲面及其方程 球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2(球心(a,b,c)半径R) 椭球面 x y (a,b,c为半轴 母线平行于z轴的椭圆柱面2+12=1 b2 母线平行:轴的圆柱面x2+y2=R2 圆锥面 椭圆抛物面:=2+(p,g同号 (七)一元函数徽分学 极限 (1)极限运算 in{a=limu(k为常数) lim(u+v)=limu+ lin lim lim( u)=limu lime Im 2)几个极限 sims CoSx 二 x lim (1+xz=e x→0 x lim[ 1 二 Im
则说」∫(x)在点连续 连续函数性质:设∫(x)在[a,b]上连续, (1)在[a,b上至少有一点x,∫(x)为最大(或最小)值; (2)若f(a)∫(b)<0,则在(a,b)内至少有一点,f()=0 3.导数与微分 (1)y=f(x)在点石处的导数尸(x)=li △)-(x),或r( 亦记为 d|,并称y="(x)dk为微分c o’d 微分法则 u(c为常数) ②(u+t)=l± d(u+t)=du±d ③(u"t)=l+ d(uv)=ndu+ udv idu-w ⑤若y=(m,=9(x,则 (a)(x)或 ⑥若y=f(x)为x=9()的反函数,则以2= (2 x E g ①参数方程: {e出 x2d2,(当dn/0) (3)导数公式
2.连续 设y=f(x,若mf )=f(x)(或my=1ma (x+△x)-f ),则说f(x)在x点连续。 连续函数性质:设∫(x)在[a,b]上连续, (1)在[a,b上至少有一点x1,f(x)为最大(或最小)值; (2)若f(a)f(b)<0,则在(a,b)内至少有一点5,f()=0. 3.导数与微分 f(x+△)-f(4 (x)在点x处的导数∫ ,亦记为y…dxx2 并称y=∫(x)dx为微分 2)微分法则 ①(c)=cml d(a)=cdu(c为常数) ②(u+v)y=ul± (u+ u)=du t dt ③(u")y=u't+山 d(u v)=udu+us ⑤若y=f(u),u (x),则 (n)g(x)或 ⑥若y=f(x)为x=9(y)的反函数,则d2d(5,x ⑦参数方程 史(山或g2(当a:0) (tdx d (3)导数公式 ②(x")=x2 ③(sinx)=cox ④(c0xy=-Bnx ⑤(1gx)=x, ⑥( gx)三-C8C书 ①(sexy=exkx, cScs)=-csctctg g(a)=aIne ⑩(e)y=e 1(log,x)=zina QD(Inz) 1(arc sinx) 1 (arc cosx) ⑤( arc gr)y -1,⑥( (arc ctga)= 1+x 1+x 4.徼分学基本定理 (1)罗尔定理若∫(x)在!a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a) f(b),则在(a,b)内至少有一点与,使P()=0 (2)拉格朗日中值定理若∫(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则在
(a,b)内至少有一点,使∫(b)-f(a)=f()(b-a) 5.导数的应用 (1)函数的增减性设∫(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,若∫(x) >0,则f(x)在[a,b]上单调增加;若尸(x)<0,则∫(x)在[a,b]上单调减 (2)函数的极值判别法 ①若尸(x)=0(或∞),且在动邻近,当x<x时,∮(x)>0((x)<0), 当x>x时,∫(x)<0(P(x)>0),则f(x)为极大值(极小值)。 ②若f(xo)=0且∫(x)≠0,则当(x)<0时,∫(x)为极大值;当 (x)>0时,∫(x)为极小值。 (3)曲线的凹凸与拐点 若尸(x)>0,曲线(向上)凹;若門(x)<0,曲线(向上)凸;若f(xo)= 0,且x渐增通过x时,(x)变号,则(x,f(xo)为拐点。 (4)曲线y=f(x)在点(x0,yo)处 切线方程:y-”=f(x)(x-3o) 法线方程:y-y0 =x0 (5)罗必塔法则 若imf(x)=lmg(x)=0或a,历m了()#在(或),则 =m 上式左端分别称为型,5型未定式,至于。,∞,·,(,,如型末定式的极 限可化作或型用上述方法求之。 (八)一元函数积分学 1.原函数与不定积分 如果在区间Ⅰ内有F(x)=f(x),则称F(x)为f(x)的原函数,称f()的 全体原函数F(x)+C(C为常数)为f()的不定积分,记为」f(x)d,即 )dx= F(x)+C 2.不定积分法则 1)|fx)±g(x)x=(fx(dx士)g 2)(x)-xx(k为常数 (3)|wo'dx= dx或|udt d甚 4r)2)(x)]+ x)r=()l(