613常见序列的单边Z变换 单位函数 团()=∑(k)z4=z=1 k=0 (6.1-10) 可见,与连续时间系统单位冲激函数的拉氏变换类似,单 位函数的Z变换等于1,收敛域为整个Z平面 2.单位阶跃序列 Z(=∑(k)z=∑z6 z k=0 z z-1 (6.1-11) 其收敛域为z|>a
6.1.3 常见序列的单边Z变换 1. 单位函数 （6.1-10） 可见，与连续时间系统单位冲激函数的拉氏变换类似，单 位函数的Z变换等于1，收敛域为整个Z平面。 2. 单位阶跃序列 （6.1-11） 其收敛域为z >a。 [ ( )] ( ) 1 0 0 = = = = = k -k -k k Z k k z z 1 1 1 [ ( )] ( ) 1 0 0 − = − = = = = = z z z z z - k -k -k k Z k k
3.指数序列 由前面讨论 Zla"&(k] z一C 其收敛域为z|>a。 aT 2=e 时 z Z[e"(k)= 2-e A7(6.1-12) 其收敛域为}>lexr 4.单边正弦序列和单边余弦序列 sin kBTe(k)<> zain T Z--2Z cos BT+1 cos kBTc(k)<> 2(2-cosB7) Z -2Z COS BT+1
3. 指数序列 由前面讨论 其收敛域为z >a 。当 时 （6.1-12） 其收敛域为z > 。 4. 单边正弦序列和单边余弦序列 a a a k - k − = − = z z z 1 1 1 Z[ ( )]2 cos 1 cos ) cos ( ) 2 + - T ( T k Tε k z z z z - 2 cos 1 sin sin ( ) 2 + - T T k Tε k z z z T kT k e [e ( )] − = z z Z T z = e T e
62Z反变换 利用Z变换可以把时域中对于序列(k)的运算变换为Z域中对 于F(=)的较为简单的运算。然后将Z域中的运算结果再变回到时 域中去。由已知F(-)求八k)的运算称为Z反变换,或Z逆变换。记 为 f(k)=Z[F(a) F(z)=>f(k)a k=0 Z反变换的方法有三种:幂级数展开法,部分分式展开法和 围线积分法。这里仍然只考虑单边Z变换的情况。 621幂级数展开法 由Z变换的定义 F(z)=∑f(k)=f(0)+f(1)=-1+f(2)z2 k=0
6.2 Z反变换 利用Z变换可以把时域中对于序列f(k)的运算变换为Z域中对 于F(z)的较为简单的运算。然后将Z域中的运算结果再变回到时 域中去。由已知F(z)求f(k)的运算称为Z反变换，或Z逆变换。记 为 Z反变换的方法有三种：幂级数展开法，部分分式展开法和 围线积分法。这里仍然只考虑单边Z变换的情况。 6.2.1 幂级数展开法 由Z变换的定义 -1 - k z z z = = = 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ) k f k Z F F f k (z) ( ) (0) (1) 1 (2)z - 2 0 F f k z f f z f k k = = + + − − =
若把已知的F(z)展开成x1的幂级数,则该级数的各系数就是序 列八k)的值。 F(=)一般为变量z的有理分式,展开为幂级数时,可以用代数 学中的长除法,即将分子和分母多项式按z的降幂排列,然后将 分子多项式除以分母多项式所得的商式,即为以z的幂级数 在实用中,如果只需要求序列的前几个值,长除法就很方便。 使用长除法的缺点是不易求得闭合表示式。 622部分分式展开法 般Z变换式是有理分式 F(z)= N(2) bm2+bm-2+.62+6o )(=)an2="+an-12+…+a12+ao (62-1)
若把已知的F(z)展开成z -1的幂级数，则该级数的各系数就是序 列f(k)的值。 F(z)一般为变量z的有理分式，展开为幂级数时，可以用代数 学中的长除法，即将分子和分母多项式按z的降幂排列，然后将 分子多项式除以分母多项式所得的商式，即为以z -1的幂级数。 在实用中，如果只需要求序列的前几个值，长除法就很方便。 使用长除法的缺点是不易求得闭合表示式。 6.2.2 部分分式展开法 一般Z变换式是有理分式 （6.2-1） 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) a z a z a z a b z b z b z b D z N z F n n n n m m m m + + + + + + + = = − − − − z
F()的零点和极点的定义与拉氏变换相同,零、极点的图形 表示也与拉氏变换一样。 对于单边Z变换,即k<0时,(k)=0的序列,其Z变换的收 敛域为z|>R,包括z=∞处,故F()的分母多项式的最高幂 次不能低于分子多项式的最高幂次,即必须满足m≤n 类似于拉氏变换中的部分分式展开法,由于Z变换最基本的形 式是1和 ,因此,通常不是直接展开F(),而是展开 F();然后,每个部分分式再乘以 623围线积分法(留数法)
F(z)的零点和极点的定义与拉氏变换相同，零、极点的图形 表示也与拉氏变换一样。 对于单边Z变换，即 k < 0时，f(k)= 0的序列，其Z变换的收 敛域为z >R ，包括z = ∞处，故F(z)的分母多项式的最高幂 次不能低于分子多项式的最高幂次，即必须满足 。 类似于拉氏变换中的部分分式展开法，由于Z变换最基本的形 式是 1 和 ，因此，通常不是直接展开F(z) ，而是展开 F(z) /z；然后，每个部分分式再乘以z。 6.2.3 围线积分法(留数法) m n z − a z