例3证明 dx=o n→∞J1+y 证 n n ∵0< <X dx<xdx 1+x 1+x n+1 0 令n→>∞,由夹逼定理得 lim[ s=0 n→0 1+x 0 证二由广义积分中值定理 x dx= 1+x +5 +n+1 1+1,有界im 0∴ lim dx=0 n+1 n→)∞01+x
例3 证明 0 1 lim 1 0 = + → dx x x n n 证一 n n x x x + 1 0 + 1 0 1 0 1 0 dx x dx x x n n 1 1 + = n 令n → ,由夹逼定理得 0 1 lim 1 0 = + → dx x x n n 由广义积分中值定理 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 + + = + = + n dx x dx x x n n 0 1 1 | 1, lim 1 1 | = + + n→ n 有界 0 1 lim 1 0 = + → dx x x n n 证二
n+1 证三记 n+1 d x 1+y →1.+ xdx 1n1≤1, n+1 +1 n n+1 0 ≤1+l n+1 n n+1 →Ⅰ≤ 2n 令n→,由夹逼定理得im「,xd=0 n→0 例4求极限 十∴ n→∞n+1n+2 n+n (2)limIn vm! n→>0
dx x x I n n + = 1 0 1 记 I dx x x n n + + + = 1 0 1 1 1 则 + + + = = 1 0 1 1 1 n I I x dx n n n 令n → ,由夹逼定理得 0 1 lim 1 0 = + → dx x x n n 例4 求极限 ] 1 2 1 1 1 (1)lim[ n n n n + n + + + + → + n n n n ! (2)lim ln → n n I I +1 1 1 2 n+ n + n+ I I I n In 2 1 证三
解①I=lim 十∴十 n→0 2 n 1+-1 1+ i=11十 n =m(+x)b=m2 ②I= lim -.In( n->0n =lim(In -) n→00 In xdx=-1 0
解 ① ] 1 1 2 1 1 1 1 1 lim[ n n n n I n + + + + + + = → n n i n i n 1 1 1 lim 1 + = = → 1 0 1 0 ln(1 ) 1 1 dx x x = + + = = ln2 ② ) 1 2 ln( 1 lim n n n n n I n = → n n i n i n 1 lim( ln ) 1 = = → = = − 1 0 ln xdx 1
由以上两例可见,连续函数∫(x)的定积分 与数列的极限有着密切联系 如果能把数列的通项写成∑f(或∑f( n 的形式就可以利用 im∑f()或 n→on=1n im∑f n-o=1 把数列极限问题转化为定积分∫/(x)的计算问题
如果能把数列的通项写成 ) 1 ( 1 ( ) 1 1 1 = = − n i n i n i f n n i f n 或 的形式 就可以利用 ( ) 1 lim 1 = → n i n n i f n 或 ) 1 ( 1 lim 1 = → − n i n n i f n 把数列极限问题转化为定积分 1 0 f (x)dx 的计算问题 与数列的极限有着密切联系 由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分