第六章61Kuhn- Tucker条件 二、不等式约束问题的Khun- Tucker条件:(续) 特别有如下特征:如图 Y又) glx g(又) 在 f(x)+Vg(x=2)=0u-0 要使函数值下降,必须使g(x值变大, 在叉点使f(x)下降的方向(-V又)方向)指向约束集合内 部,因此又不是Lopt
第六章 6.1 Kuhn-Tucker 条件 二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续） 特别 有如下特征：如图 在x* ： ▽f(x*)+u* ▽g(x*)=0 u*>0 要使函数值下降，必须使g(x)值变大，则 在ㄡ 点使f(x)下降的方向（-▽f(ㄡ ) 方向）指向约束集合内 部，因此ㄡ不是l.opt. 。 ▽g(ㄡ ) -▽f(ㄡ ) X* -▽f(x*) ▽g(x*)
第六章61Kuhn- Tucker条件 二、不等式约束问题的Khun- Tucker条件:(续) 定理(最优性必要条件):(KT条件) 问题(g),设S=!x)≤0x*∈S为x点处的起作用集,设, gx),∈Ix点可微,g{),1*点连续。 向量组{Vgx,∈线性无关。 如果xx-0pt那么,彐u≥0,i∈使 vf(x)+∑uVg1(x)=0 如果在x,g(x)可微,∨i。那么 Vf(x)+∑uVg,(x)=0 LL:≥0 m(互补松弛条件) 满足K-T条件的点x“称K一T点
第六章 6.1 Kuhn-Tucker 条件 二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续） 定理（最优性必要条件）： （K-T条件） 问题(fg), 设S={x|gi (x) ≤0},x*∈S,I为x*点处的起作用集，设f, gi (x) ,i ∈I在x*点可微， gi (x) ,i I在x*点连续。 向量组{▽gi (x*), i ∈I}线性无关。 如果x*----l.opt. 那么， u*i≥0, i ∈I使 满足 条件的点 称 点。 互补松弛条件 如果在 可微， 。那么， K T x K T u g x i m u i m f x u g x x g x i f x u g x i i i m i i i i i I i i − − = = = + = + = = * * 1 * ( ) 0 1,2, , ( ) 0 1,2, , ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) 0
第六章61 Kuhn-Tucker条件 不等式约束问题的Khun- Tucker条件:(续) f(x12x2)=(x1-3)2+(x2-2) g1( x十 5≤0 例 +2 4≤0 83( 1>2 O ≤O g21(x* (3,2) glx")
第六章 6.1 Kuhn-Tucker 条件 二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续） = − = − = + − = + − = − + − ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 2 4 0 . . ( , ) 5 0 min ( , ) ( 3) ( 2) 4 1 2 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 g x x x g x x x g x x x x st g x x x x f x x x x 例 1 2 3 4 1 2 g1=0 g2=0 g4=0 x1 g3=0 x2 x* ▽g2 (x*) ▽g1 (x*) -▽f(x*) (3,2)T
第六章61 Kuhn-Tucker条件 、不等式约束问题的Khun- Tucker条件:(续) 在x”点 81( 0交 点(2,1) 起作用集I={1,2} )=0 Vg1(x*)=(2x1,2x2)=(4,2) Vf(x")=(2(x1-3),2(x2-2)) 计算可得 3使 Vf(x)+Vg1(x)+3Vg2(x”)=0 用KT条件求解 2(x1-3) Vf( Vg() Vg2(2) O Vg3(x) O V84
第六章 6.1 Kuhn-Tucker 条件 二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续） 用K-T条件求解： ( ) ( ) ( ) 0 ( ) (2( 3),2( 2)) ( 2, 2) ( ) (1,2) ( ) (2 ,2 ) (4,2) 2 1 {1,2} ( , ) 0 ( , ) 0 3 2 2 3 1 * 1 3 * 2 3 2 * 1 1 * 2 * 1 * 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 * + + = = = = − − = − − = = = = = = f x g x g x u u f x x x g x g x x x I g x x g x x x T T T T T T 计算可得 使 交点（ ，） 起作用集 在 点 − = − = = = − − = 1 0 , 0 1 ( ) 2 1 , (2) 2 2 , ( ) 2( 2) 2( 3) ( ) 3 4 2 2 1 1 2 1 g x g g x x g x x x f x
第六章61Kuhn- Tucker条件 、不等式约束问题的Khun- Tucker条件:(续) VoX)+> (x)=O ,≥O,i=1 (x)=O 2(x1-3)+12x1+ 0 2(x2-2)+112x2+2l2 0 (2) (x1+x2-5)=0 (3) (x1+2x2-4)=0 (4) l2x1=0 5 6个方程6个未知量
第六章 6.1 Kuhn-Tucker 条件 二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续） → = = + = ( ) 0 0, 1,2, , ( ) ( ) 0 u g x u i m f x u g x i i i m i i i = = + − = + − = − + + − = − + + − = 6个方程6个未知量 0 (6) 0 (5) ( 2 4) 0 (4) ( 5) 0 (3) , , , 0 2( 2) 2 2 0 (2) 2( 3) 2 0 (1) 4 2 3 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 3 4 2 1 2 2 4 1 1 1 2 3 u x u x u x x u x x u u u u x u x u u x u x u u