(3)将各线性元件合并为一个等效部分。多个线性环节按照等效变换的原则进行结 构图变换,但要保证加到非线性部分的输入、输出不变 实际应用中可以用G(jo)曲线与-7 曲线的相对位置来判断非线性系统的稳 N(X) 定性,也可以用K0G()曲线与 曲线的相对位置来判断非线性系统的稳定 No(X) 性 称做相对负倒描述函数,K。称做非线性系统的尺度系数。描述函数是相 0(X) 对描述函数N(x)与尺度系数K0之积,即 N(X)=KoN(x) 第二步做线性部分的幅相频率特性曲线G()。 给出一系列O值,列表计算O一G(0)及O-KG(),在复平面做出 K0G(o)曲线 第三步求非线性部分的负倒描述函数l 并做出相对负倒描述函数曲线 N(X) No(X) (1)求描述函数。常用的曲型非线性特性描述函数可以通过查表得到 计算非线性特性描述函数的方法(略)。 (2)求负倒描述函数M受相对负倒描述函数-。列表计算 N6(X) 值,将相对负倒描述函数 N0(X) 曲线与KG(jm)曲线同做在一张图 第四步判别非线性系统的稳定性。 根据K0G(o)曲线与 曲线的相对位置判别系统的稳定性。显然,对于最 No(X) 小相位系统,K0G(O)曲线不包围 曲线,非线性系统稳定;K。G(jo)曲线 N0(X) 包围的相对负倒描述函数 曲线,则非线性系统不稳定;如果K0G()曲线包 围相对负倒描述函数 曲线的一部分,则非线性系统区域性不稳定 用描述函数法分析系统的自振 自振即自激振荡,是一种振幅能自动恢复的周期运动,是一种稳定的周期运动
·48· （3）将各线性元件合并为一个等效部分。多个线性环节按照等效变换的原则进行结 构图变换，但要保证加到非线性部分的输入、输出不变。 实际应用中可以用G( j) 曲线与 ( ) 1 N X 曲线的相对位置来判断非线性系统的稳 定性，也可以用 ( ) K0G j 曲线与 ( ) 1 N0 X 曲线的相对位置来判断非线性系统的稳定 性。 ( ) 1 N0 X 称做相对负倒描述函数， K0 称做非线性系统的尺度系数。描述函数是相 对描述函数 ( ) 0 N x 与尺度系数 K0 之积，即 ( ) ( ) 0 0 N X K N x 第二步 做线性部分的幅相频率特性曲线G( j) 。 给出一系列 值，列表计算 — G( j) 及 — ( ) K0G j ，在复平面做出 ( ) K0G j 曲线。 第三步 求非线性部分的负倒描述函数 ( ) 1 N X ，并做出相对负倒描述函数曲线 ( ) 1 N0 X 。 （1）求描述函数。常用的曲型非线性特性描述函数可以通过查表得到。 计算非线性特性描述函数的方法（略）。 （ 2） 求 负 倒 描 述 函 数 ( ) 1 N X 及 相 对 负 倒 描 述 函 数 ( ) 1 N0 X 。 列 表 计 算 N (X) 1 X 0 值，将相对负倒描述函数 ( ) 1 N0 X 曲线与 ( ) K0G j 曲线同做在一张图 上。 第四步 判别非线性系统的稳定性。 根据 ( ) K0G j 曲线与 ( ) 1 N0 X 曲线的相对位置判别系统的稳定性。显然，对于最 小相位系统， ( ) K0G j 曲线不包围 ( ) 1 N0 X 曲线，非线性系统稳定； ( ) K0G j 曲线 包围的相对负倒描述函数 ( ) 1 N0 X 曲线，则非线性系统不稳定；如果 ( ) K0G j 曲线包 围相对负倒描述函数 ( ) 1 N0 X 曲线的一部分，则非线性系统区域性不稳定。 2. 用描述函数法分析系统的自振 自振即自激振荡，是一种振幅能自动恢复的周期运动，是一种稳定的周期运动
在非线性系统中,如果存在G()= 或K0G() ,则系统处 NCX NoON 于等幅振荡状态,是周期运动状态。处于周期运动状态的不一定是自振。只有稳定的周 期运动才称之为自振。换言之,自振点都在KG()与-1 曲线的交点上,但是 No(X) K0G(j)与 曲线的交点不都是自振点。 自振是非线性理论研究的重要内容 确定非线性系统自振点及自振参数的步骤为: 第一步将系统归化为典型结构 第二步根据非线性特性査表或求出N。(X)。 第三步列表计算一K0G(o)及X 在同一张图上做出K0G(o) 0(X) 及 曲线 第四步KG(o)与-N(x) 曲线的交点即K0G(o) M()的点 第五步确定自振点。K0G(o)曲线包围的区为不稳定区。 曲线由不稳 定区穿出到稳定区时与K0G(O)= 曲线的交点为自振点。 No(X) 第六步确定自振参数O,X0自振点是KG(j)与 曲线的交点,此交 N0(X) 点处G(o)曲线对应的O为该自振点的频率;此交点处的 对应的X值为该自 0(X) 振点的振幅 3.相平面图形及奇点类型的确定 相平面做图时应注意以下几个问题 (1)确定有无对称性 (2)找出奇点 dx 0 (3)相轨迹垂直通过x轴 (4)走向:若x>0,则x增大,若文<0,则x减小 (5)确定极限环; (6)确定奇点类型
·49· 在非线性系统中，如果存在 ( ) 1 ( ) N X G j 或 ( ) 1 ( ) 0 0 N X K G j ，则系统处 于等幅振荡状态，是周期运动状态。处于周期运动状态的不一定是自振。只有稳定的周 期运动才称之为自振。换言之，自振点都在 ( ) K0G j 与 ( ) 1 N0 X 曲线的交点上，但是 ( ) K0G j 与 ( ) 1 N0 X 曲线的交点不都是自振点。 自振是非线性理论研究的重要内容。 确定非线性系统自振点及自振参数的步骤为： 第一步 将系统归化为典型结构。 第二步 根据非线性特性查表或求出 ( ) N0 X 。 第三步 列表计算 — ( ) K0G j 及 X — ( ) 1 N0 X ，在同一张图上做出 ( ) K0G j 及 ( ) 1 N0 X 曲线。 第四步 ( ) K0G j 与 ( ) 1 N0 X 曲线的交点即 ( ) 1 ( ) 0 0 N X K G j 的点。 第五步 确定自振点。 ( ) K0G j 曲线包围的区为不稳定区。 ( ) 1 N0 X 曲线由不稳 定区穿出到稳定区时与 ( ) 1 ( ) 0 0 N X K G j 曲线的交点为自振点。 第六步 确定自振参数 ， X 0自振点是 ( ) 1 ( ) 0 0 N X K G j 与 曲线的交点，此交 点处G( j) 曲线对应的 为该自振点的频率；此交点处的 ( ) 1 N0 X 对应的 X 值为该自 振点的振幅。 3. 相平面图形及奇点类型的确定 相平面做图时应注意以下几个问题： （1）确定有无对称性； （2）找出奇点 0 0 dx dx ； （3）相轨迹垂直通过 x 轴； （4）走向：若 x 0，则 x 增大，若 x 0，则 x 减小； （5）确定极限环； （6）确定奇点类型
dx 0 dx 0 f(i,xo) 则x(,x)≈1iy的)、(,x)(x-x)+(,x) Gi-io 根据上式的近似展开式,与线性二阶系统相对应,就可确定出奇点类型。 三、基本要求 以下内容必须掌握: (1)非线性系统与线性系统的区别与联系; (2)相平面图形及其奇点确定方法 (3)用极限环分析系统的稳定性和自振 (4)描述函数及其性质 (5)非线性系统结构的简化 (6)用描述函数分析系统的稳定性、自振及有关参数。 ◆例题解析 例8-1设非线性系统具有典型结构,试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想 继电特性(见图8-1(a)对系统稳定性的影响。 R 图8-1稳定性分析 解:由等效增益定义K=y/x知,等效增益曲线如图8-1(b)所示,其中Km=M/Δ。 设系统不存在非线性时,临界稳定增益为Ke,于是 ①若K>Km,如图8-1(b)所示,则因实际增益小于临界增益K,所以系统稳定 ②若K<Km,如图8-1(c)所示,其中x=M/,则当x<x0时,因K>Km,系统不 稳定,x发散;当x增加至使x>x时,此时K<K,系统稳定,x收敛;当x减小至使 x<xo时,重复上述过程。可见,在这种情况下,系统将出现以x为振幅的自激振荡 ③原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后,改善了系统的稳定性。不论原系 统是否发散,现系统都不会发散,但可能产生一个以x为振幅的自激振荡
·50· 设 ( , ) 0 0 0 f x x dx dx 则 ( ) [ ( , )] ( ) [ ( , )] ( , ) lim ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x xf x x x x x xf x x xf x x xf x x x x x x x x x x x x x x 根据上式的近似展开式，与线性二阶系统相对应，就可确定出奇点类型。 三、基本要求 以下内容必须掌握： （1）非线性系统与线性系统的区别与联系； （2）相平面图形及其奇点确定方法； （3）用极限环分析系统的稳定性和自振； （4）描述函数及其性质； （5）非线性系统结构的简化； （6）用描述函数分析系统的稳定性、自振及有关参数。 例题解析 例 8-1 设非线性系统具有典型结构，试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想 继电特性(见图 8-1(a))对系统稳定性的影响。 图 8-1 稳定性分析 解：由等效增益定义 K y / x 知，等效增益曲线如图 8-1(b)所示，其中 K m M / 。 设系统不存在非线性时，临界稳定增益为 Kc，于是 ① 若 Kc>Km，如图 8-1(b)所示，则因实际增益小于临界增益 Kc，所以系统稳定 ② 若 Kc<Km，如图 8-1(c)所示，其中 x0=M./Kc，则当 x<x0时，因 K K m ，系统不 稳定，x 发散；当 x 增加至使 x>x0时，此时 K K m ，系统稳定，x 收敛；当 x 减小至使 x<x0时，重复上述过程。可见，在这种情况下，系统将出现以 x0为振幅的自激振荡。 ③ 原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后，改善了系统的稳定性。不论原系 统是否发散，现系统都不会发散，但可能产生一个以 x0为振幅的自激振荡
例8-2试求图8-2所示非线性环节的描述函数。 M 图8-2非线性环节 解:(1)对于图8-2(a),因为y=x3,x= X sin ot且单值奇对称,故 Bl=T"yin odor="x sin t ==ox ' sin ordo =iXI X 图8-3 (2)对于图8-2(b),因为图示非线性可以分解为图8-3所示两个环节并联,所以 N(X)=M1(X)+N2(X)= 4M 例8-3试将图8-4(a),(b)所示系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联 的典型结构
·51· 例 8-2 试求图 8-2 所示非线性环节的描述函数。 （a） （b） 图 8-2 非线性环节 解：（1）对于图 8-2（a），因为 y x , x X sint 3 且单值奇对称，故 A1＝0 3 2 0 3 4 2 0 3 4 2 0 4 3 sin 4 sin 1 sin 1 B1 y td t X td t X td t X 1 1 2 4 3 ( ) X X A j X B N X 图 8-3 （2）对于图 8-2（b），因为图示非线性可以分解为图 8-3 所示两个环节并联，所以 K X M N X N X N X 4 ( ) ( ) ( ) 1 2 例 8-3 试将图 8-4（a），（b）所示系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联 的典型结构。 （a） （b） 图 8-4
解:(1)G1与G2是小回路的负反馈,则 从而得典型结构,见图8-5 N 1+2 图8 (2)在图8-4(b)中,先将主反馈回路与G1连结构成闭环,得到 G′再与h1串联得 G=GH 最终得到典型结构,见图8-6(a),(b)。 (3) 1+(() N (b) 例8-4系统结构图如图8-7所示。试归化为一个非线性环节与一个线性部分串联 的典型。 0.Is+1 图8-7 解:(1)求线性部分的传递函数G(s): 1)串联后做为G2的反馈通道
·52· 解：（1）G1与 G2是小回路的负反馈，则 1 2 1 1 G G G G 从而得典型结构，见图 8-5。 图 8-5 （2）在图 8-4（b）中，先将主反馈回路与 G1连结构成闭环，得到 1 1 1 G G G G 再与 H1串联得 1 1 1 G HG G G H 最终得到典型结构，见图 8-6（a），（b）。 （a） （b） 图 8-6 例 8-4 系统结构图如图 8-7 所示。试归化为一个非线性环节与一个线性部分串联 的典型。 图 8-7 解：（1）求线性部分的传递函数 G（s）： 1）串联后做为 G2的反馈通道