对于一般的整数时刻t≥0有 a(t)=(1+i),t≥0为整数 思考:哪些是由“利滚利”所带来的利息? 复利的累积函数的等价形式为 a(t t In(1+i) 注上面对于整数时间t给出的相应复利的累积函数 的表达式适用于一般的时间t>0。 复利的直观表述 相同长短的不同时期的实利率相等 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章-21
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 21 对于一般的整数时刻 t 0 有 ( ) (1 ) , 0 t a t = + ³ i t 为整数 思考 哪些是由 利滚利 所带来的利息 复利的累积函数的等价形式为 ln(1 ) ( ) t i a t e + = 注C 上面对于整数时间 t 给出的相应复利的累积函数 的表达式适用于一般的时间 t > 0 复利的直观表述 相同长短的不同时期的实利率相等
复利是由满足如下条件的(非零)连续函数a(1所 相应的累积函数所给出的 a(S+t)=a(S)×a(t),t≥0,s≥0 注从上述性质可以推出函数a()满足 (0)=1 及 a(t=a(l) 注∞可以推出表达式 a(S+1)-a(s)a(t)-a(0) t≥0.s≥0 as a(0) 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章-22
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 22 复利是由满足如下条件的 非零 连续函数 a t( )所 相应的累积函数所给出的 a(s + t) = a(s)´a(t), t s ³ ³ 0, 0 注C 从上述性质可以推出函数 a t( )满足 a(0) 1 = 及 ( ) (1)t a t a = 注C 可以推出表达式 ( ) ( ) ( ) (0) , 0, 0 ( ) (0) a s t a s a t a t s a s a + - - = ³ ³
单利计算与复利计算的区别 1)若单利率=复利率,则当0<t<1时,单利>复利;而 当t>1时,单利<复利 2)短期两者差异不大,长期两者有显著差距 3)复利几乎用于所有的金融业务,单利只是用于短期 计算或复利的不足期近似计算。 注∞除特别声明,一般考虑复利计算方式 B ] Rework the above example using compound interest instead of simple interest 解:A(4)=2000(4)=20001+8%)4=S2721(多S81) 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章-23
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 23 单利计算与复利计算的区别 1 若单利率=复利率 则当 0<t<1 时 单利>复利 而 当 t>1 时 单利<复利 2 短期两者差异不大 长期两者有显著差距 3 复利几乎用于所有的金融业务 单利只是用于短期 计算或复利的不足期近似计算 注C 除特别声明 一般考虑复利计算方式 例 Rework the above example using compound interest instead of simple interest. 解 A(4)= 2000a(4)= 2000(1+ 8%) 4= $2721 多$81
例:以年利率5%为例,比较单利与复利计算方法的 异同效果 解: 1)在第一年内,复利累积小于单利累积;在第一年底 两者相同;从第二年开始,复利累积超过单利累积, 而且前者的上升速度远远超过后者 2)单利情形下实利率水平逐年递减,而复利情形下实 利率水平保持为5% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章-24
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 24 例 以年利率 5%为例 比较单利与复利计算方法的 异同效果 解 1 在第一年内 复利累积小于单利累积 在第一年底 两者相同 从第二年开始 复利累积超过单利累积 而且前者的上升速度远远超过后者 2 单利情形下实利率水平逐年递减 而复利情形下实 利率水平保持为 5%
单利率 5%复利率 累积函数 实利率 时间单利复利复利/单利单利 复利复利/单利 0 1.000 1.000 1.00000 0.11.0051.0050.99989 0.21.0101.0100.99981 0.3 1.015 1.015 0.99975 0.4 1.020 1.020 0.99971 0.5 1.025 1.025 0.99970 0.61.0301.0300.99972 0.71.0351.0350.99975 0.8 1.O40 1.040 0.99981 0.91.0451.0450.99989 1.050 1.050 1.00000 5.000%5.000%1.00000 1.1001.1031.00274.762%5.0001.05000 1.150 1.158 1.006634.545%5.000%1.10000 4 1.200 1.216 1.012924.348%5.000%1.15000 5 1.250 1.276 1.02103 4.167%5.000%1.20000 61.3001.3401.030844.000%5.000%1.25000 1.3501.4071.042303.846%5.0001.:000 1.400 1.477 1.05533 3.704%5.000%1.35000 1.450 1.551 1.06988 3.571%5.000%1.40000 10 1.500 1.629 1.08593 3.448%5.000%1.45000 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章-25
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 25 单利率 5% 复利率 5% 时间 单利 复利 复利/单利 单利 复利 复利/单利 0 1.000 1.000 1.00000 0.1 1.005 1.005 0.99989 0.2 1.010 1.010 0.99981 0.3 1.015 1.015 0.99975 0.4 1.020 1.020 0.99971 0.5 1.025 1.025 0.99970 0.6 1.030 1.030 0.99972 0.7 1.035 1.035 0.99975 0.8 1.040 1.040 0.99981 0.9 1.045 1.045 0.99989 1 1.050 1.050 1.00000 5.000% 5.000% 1.00000 2 1.100 1.103 1.00227 4.762% 5.000% 1.05000 3 1.150 1.158 1.00663 4.545% 5.000% 1.10000 4 1.200 1.216 1.01292 4.348% 5.000% 1.15000 5 1.250 1.276 1.02103 4.167% 5.000% 1.20000 6 1.300 1.340 1.03084 4.000% 5.000% 1.25000 7 1.350 1.407 1.04230 3.846% 5.000% 1.30000 8 1.400 1.477 1.05533 3.704% 5.000% 1.35000 9 1.450 1.551 1.06988 3.571% 5.000% 1.40000 10 1.500 1.629 1.08593 3.448% 5.000% 1.45000 累积函数 实利率