注∝当计算实利率讠时,是把第n期开始时的资本总 额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资额 之比。 随着资本总额的不断增加,常数的利息必将导致单 调递减的实利率。 注∞上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行的观察, 但由于所产生的利息被认为是在该期间的各个小区 间上按比例产生的,从而上面给出的关于整数t的单 利的生成方式可以认为是对于所有的t≥0都成立 的利息产生方式。 单利的直观表述: 不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时 期的长短有关系,而与该时期的具体位置无关。 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章-16
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 16 注C 当计算实利率 n i 时 是把第 n 期开始时的资本总 额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资额 之比 随着资本总额的不断增加 常数的利息必将导致单 调递减的实利率 注C 上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行的观察 但由于所产生的利息被认为是在该期间的各个小区 间上按比例产生的 从而上面给出的关于整数 t 的单 利的生成方式可以认为是对于所有的 t 0 都成立 的利息产生方式 单利的直观表述 不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时 期的长短有关系 而与该时期的具体位置无关
单利是由满足如下条件的连续函数a(1)所相应的累积 函数所给出的: a(S+t)-a(s)=a(t)-1,t≥0,s≥0 或等价的 a(S+1)=a(s)+a(t)-1,t≥0,s≥0 注上式意味着经过时间t+s所产生的利息等于经过 时间t产生的利息与经过时间s产生的利息之和。 从上述性质可以推出函数a(1)满足 (0)=1 及 a(t)=1+(a(1)-1)t 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章-17
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 17 单利是由满足如下条件的连续函数 a t( )所相应的累积 函数所给出的 a(s + t) - = a(s) a(t) -1, t s ³ ³ 0, 0 或等价的 a(s + t) = a(s) + a(t) -1, t s ³ ³ 0, 0 注C 上式意味着经过时间t s + 所产生的利息等于经过 时间 t 产生的利息与经过时间 s 产生的利息之和 从上述性质可以推出函数 a t( )满足 a(0) 1 = 及 a(t) =1+ - (a t (1) 1)
W Find the accumulated value of S2000 invested for four years, if the rate of simple interest is 8% annum. 注∞anum=年度 解:按照单利的计算公式有 A(4)=2000(4)=2000(1+8%×4)=S2640 其中所获得的利息金额为I=2000×8%X4=S640 注:利息金额=本金金额×利率×时期 注:每年所获得的利息金额都是S160 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章-18
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 18 例 Find the accumulated value of $2000 invested for four years, if the rate of simple interest is 8% annum. 注C annum = 年度 解 按照单利的计算公式有 A(4)= 2000a(4)= 2000(1+ 8% 4)= $2640 其中所获得的利息金额为 I = 2000 8% 4 = $640 注: 利息金额 = 本金金额 利率 时期 注 每年所获得的利息金额都是$160
复利( compound interest) 问题的提出: 单利情形下,在前面的各个时期所获得的利息并没 有在后面的时期用来再获取额外的利息。如果所获利 息可继续投资情形如何? 如在上面的例子中,投资者每年都获得了S160的利 息。但投资者在第一年末的时候实际上有S2160可以 用来投资,如果按照$2160来计算,投资者在第二年 末的时候则可以获得利息为2160×8%=S1728,比只 按照$2000投资要多获得利息$128。 后面的各期也可以采取这种方法去投资,最终获得 的利息总额应为2000X1+8%]4-2000=S720.98,比 原先多获得利息S80.98。 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章-19
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 19 复利 compound interest 问题的提出 单利情形下 在前面的各个时期所获得的利息并没 有在后面的时期用来再获取额外的利息 如果所获利 息可继续投资情形如何 如在上面的例子中 投资者每年都获得了$160 的利 息 但投资者在第一年末的时候实际上有$2160 可以 用来投资 如果按照$2160 来计算 投资者在第二年 末的时候则可以获得利息为 2160 8% = $172.8 比只 按照$2000 投资要多获得利息$12.8 后面的各期也可以采取这种方法去投资 最终获得 的利息总额应为 2000 [1+8%]4 - 2000= $720.98 比 原先多获得利息$80.98
复利的基本思想:利息收入被再次记入下一期的本金 注∞即通常所说的“利滚利” 例:假定期初投资的本金不再增加或减少,并且在每 个时期中实利率都是相同的,考察相应的复利的累 积函数。 解:假设在一个计息期中的实利率为i,则在第一时期 末累积值为1+i; 接下来用这1+i金额作投资,在第二时期末累积值 将达到(1+i)+i(1+i=(1+)2; 在第三时期末累积值将达到(1+2)2+i(1+)2=(1+3; 此过程可以一直继续下去 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章-20
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第1章 — 20 复利的基本思想 利息收入被再次记入下一期的本金 注C 即通常所说的 利滚利 例 假定期初投资的本金不再增加或减少 并且在每 一个时期中实利率都是相同的 考察相应的复利的累 积函数 解 假设在一个计息期中的实利率为 i 则在第一时期 末累积值为 1+i 接下来用这 1+i 金额作投资 在第二时期末累积值 将达到(1+i)+ i(1+i)=(1+i) 2 在第三时期末累积值将达到(1+i) 2 + i(1+i) 2 =(1+i) 3 此过程可以一直继续下去