图3-1中间有收缩形的变截面管道内的流动 2021/2/24
2021/2/24 11 图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动
度将相应发生变化(增大或减少),从而产生了当地加速 度 应该注意,流体质点和空间点是两个截然不同的概念, 空间点指固定在流场中的一些点,流体质点不断流过空间 点,空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速 度。用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以 采用式(3-9)的形式,即 +(·V)() (3-10) at 式中,括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量, 如密度、温度、压强,可以是标量,也可以是矢量。D() 称为全导数,()称为当地导数,(·V(称为迁移导数 dt 2021/2/24 12
2021/2/24 12 度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速 度。 应该注意，流体质点和空间点是两个截然不同的概念， 空间点指固定在流场中的一些点，流体质点不断流过空间 点，空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速 度。用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以 采用式(3-9)的形式，即 （3-10） 式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量， 如密度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。 称为全导数， 称为当地导数， 称为迁移导数。 ( )( ) ( ) D D( ) + • = V t t Dt D( ) t ( ) (V •)( )
由上述可知,采用欧拉法描述流体的流动,常常比采 用拉格朗日法优越,其原因有三。一是利用欧拉法得到的 是场,便于采用场论这一数学工具来研究。二是采用欧拉 法,加速度是一阶导数,而拉格朗日法,加速度是二阶导 数,所得的运动微分方程分别是一阶偏徼分方程和二阶偏 微分方程,在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求 解容易。三是在工程实际中,并不关心每一质点的来龙去 脉。基于上述三点原因,欧拉法在流体力学研究中广泛被 釆用。当然拉格朗日法在硏究爆炸现象以及计算流体力学 的某些问题中还是方便的 2021/2/24 13
2021/2/24 13 由上述可知，采用欧拉法描述流体的流动，常常比采 用拉格朗日法优越，其原因有三。一是利用欧拉法得到的 是场，便于采用场论这一数学工具来研究。二是采用欧拉 法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导 数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏 微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求 解容易。三是在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去 脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被 采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学 的某些问题中还是方便的
【例3-1】已知用拉格朗日变量表示得速度分布为 U=(a+2)e2,V(b+2)et2,且t=0时,Xa,y=b。求(1) t3时质点分布;(2)a=2,b=2质点的运动规律;(3) 质点加速度。 【解】根据(3-2)式得∝x a=(a+2)e′-2 将上式积分,得 at x=(a+2)e-21+ y=(b+2)e-2t+c2 上式中c1C2为积分常数,它仍是拉格朗日变量的函数。 利用t=0时,X=a,y=b得c1=2,c2=2 2021/2/24 14
2021/2/24 14 【例3-1】 已知用拉格朗日变量表示得速度分布为 u=(a+2)et -2，v=(b+2)et -2，且t=0时，x=a， y=b。求（1） t=3时质点分布；（2）a=2，b=2质点的运动规律；（3） 质点加速度。 【解】 根据（3-2）式得 将上式积分，得 上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。 利用t=0时，x=a，y=b得c1=-2， c2=-2 = ( + 2) − 2 t a e t x = ( + 2) − 2 t b e t y 2 1 x (a 2)e t c t = + − + 2 2 y (b 2)e t c t = + − +
X=(a+2et-2t-2 y=(b+2)et-2t-2 (1)将t=3代入上式得 X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8 (2)a=2,b=2时 X=4et-2t-2 y=4et-2t-2 (3) u (a+2)e (b+2) at 2021/2/24 15
2021/2/24 15 X=(a+2)et -2t-2 y=(b+2)et -2t-2 （1）将t=3代入上式 得 X=(a+2)e3 -8 y=(b+2)e3 -8 （2）a=2，b=2时 x=4et -2t-2 y=4et -2t-2 (3) t a e t u = ( + 2) t b e t v = ( + 2)