1.小波介绍(续8) 小波理论与工程应用 Inrid daubechies于1988年最先揭示了小波变换和 滤波器组( filter banks)之间的内在关系,使离散小 波分析变成为现实。 Ronald coifman和 ictor Wickerhauser等著名科学 家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其 重要贡献。 在信号处理中,自从 Stephane Mallat和nmid Daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关 系之后,小波分析在信号(如声音和图像)处理中 得到极其广泛的应用,有着“数字显微镜”的美
1. 小波介绍(续8) • 小波理论与工程应用 • Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和 滤波器组(filter banks)之间的内在关系，使离散小 波分析变成为现实。 • Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学 家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其 重要贡献。 • 在信号处理中，自从Stephane Mallat和Inrid Daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关 系之后，小波分析在信号(如声音和图像)处理中 得到极其广泛的应用，有着“数字显微镜”的美 誉
1.小波介绍——小波分析 小波分析/小波变换 变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系 小波变换 对一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换 通过平移母小波( mother wavelet得信号的时间信息 通过缩放母小波的宽度(或称尺度)得信号的频率特性 ·对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数,这些系数代表 局部信号和小波之间的相互关系 对比傅立叶变换 提供了频率域的信息,但丢失了时间域的局部化信息 小波分析中常用的三个基本概念 连续小波变换 离散小波变换 小波重构
1. 小波介绍——小波分析 • 小波分析/小波变换 变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系 • 小波变换 • 对一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换 • 通过平移母小波(mother wavelet)获得信号的时间信息 通过缩放母小波的宽度(或称尺度)获得信号的频率特性 • 对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系数代表 局部信号和小波之间的相互关系 • 对比傅立叶变换 • 提供了频率域的信息，但丢失了时间域的局部化信息 • 小波分析中常用的三个基本概念 • 连续小波变换 • 离散小波变换 • 小波重构
1.小波介绍——小波分析(续1) 连续小波变换( continuous wavelet transform,CWT) 傅立叶分析 用一系列不同频率的正弦波表示一个信号 系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数 小波分析 用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号 系列小波可用作表示一些函数的基函数 凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析 小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶 变换用的正弦波 用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波 更有效,或者说对信号的基本特性描述得更好
1. 小波介绍——小波分析(续1) • 连续小波变换(continuous wavelet transform，CWT) • 傅立叶分析 • 用一系列不同频率的正弦波表示一个信号 • 一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数 • 小波分析 • 用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号 • 一系列小波可用作表示一些函数的基函数 • 凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析 • 小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶 变换用的正弦波 • 用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波 更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好
1.小波介绍—小波分析(续2) CWT的变换过程示例, f() 见右图,可分如下5步 1.小波v(t)和原始信号f()的 : 开始部分进行比较 2.计算系数C该部分信号 与小波的近似程度;C值 平移 越高表示信号与小波相似 y(t) y(t-k 程度越高 v(t-2k) 平移 3.小波右移得到的小波函数 v(-3k) 缩放 为y(t-k),然后重复步骤1 和2,…直到信号结束 4.扩展小波,如扩展一倍, 得到的小波函数为v(t2) 5.重复步骤1~4 连续小波变换的过程
1. 小波介绍——小波分析(续2) • CWT的变换过程示例， 见右图，可分如下5步 1. 小波ψ (t)和原始信号f(t)的 开始部分进行比较 2. 计算系数C——该部分信号 与小波的近似程度；C值 越高表示信号与小波相似 程度越高 3. 小波右移k得到的小波函数 为ψ (t-k) ，然后重复步骤1 和2，……直到信号结束 4. 扩展小波，如扩展一倍， 得到的小波函数为ψ (t/2) 5. 重复步骤1~4 连续小波变换的过程
1.小波介绍—小波分析(续3) 连续小波变换用下式表示 scale. position )=f(w(scale,position, D)dt 该式含义:小波变换是信号与被缩放和平移的小波函数之 积在信号存在的整个期间里求和 CW变换的结果是许多小波系数C,这些系数是缩放因子( scale 和位置( position的函数 离散小波变换( discrete wavelet transform,DWT) 用小波的基函数( basis functions)表示一个函数的方法 小波的基函数序列或称子小波 baby wavelets)函数是由单个小波 或称为母小波函数通过缩放和平移得到的 缩放因子和平移参数都选择2(>0的整数舶的倍数,这种变换称 为双尺度小波变换( dyadic wavelet transform
1. 小波介绍——小波分析(续3) • 连续小波变换用下式表示 C scale position f t scale position t dt ( , ) ( ) ( , , ) + − = ◼ 该式含义：小波变换是信号f(t)与被缩放和平移的小波函数Ψ之 积在信号存在的整个期间里求和 ◼ CWT变换的结果是许多小波系数C ，这些系数是缩放因子(scale) 和位置(position)的函数 ◼ 离散小波变换(discrete wavelet transform，DWT) ➢ 用小波的基函数(basis functions)表示一个函数的方法 ◼ 小波的基函数序列或称子小波(baby wavelets)函数是由单个小波 或称为母小波函数通过缩放和平移得到的 ◼ 缩放因子和平移参数都选择2 j (j >0的整数)的倍数，这种变换称 为双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)