1.小波介绍(续3) F(o)=f(t)e jo dt f(t) F(oe 2丌 where e cos at-JSin at 只有频率分辨率而没有时间分辨率 可确定信号中包含哪些频率的信号,但不能 确定具有这些频率的信号出现在什么时候 丢失了信号的时频域的局部特性,而这正是 非平稳信号最重要的性质
1. 小波介绍(续3) where cos sin j t e t j t − = − ( ) ( ) ( ) ( )e j t j t F f t e dt f t F + − − + − = = 1 2 ◼ 只有频率分辨率而没有时间分辨率 ◼ 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能 确定具有这些频率的信号出现在什么时候 ◼ 丢失了信号的时频域的局部特性，而这正是 非平稳信号最重要的性质
1.小波介绍(续4) 1909 Alfred haar Alfred haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波,后 来被命名为哈尔小波( Haar wavelets
1. 小波介绍(续4) • 1909: Alfred Haar • Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后 来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
1.小波介绍(续5) 1945: Gabor 开发了STFT( short time fourier transform STFT(,@)=s(t)(t-t)e jot where: s(t)=signal g(t=windowing function ~f蠶五 f 时间 STFT的时间频率关系图
1. 小波介绍(续5) • 1945: Gabor • 开发了STFT (short time Fourier transform) ( , ) ( ) where: ( ) signal ( )= windo ( wing ) function j t STFT s t e dt g s t g t t − = = − STFT的时间-频率关系图
1.小波介绍(续6 1980: Morlet ·20世纪70年代,在法国石油公司工作的年轻地球 物理学家 Jean morlet提出小波变换( wavelet transform,WT)的概念 20世纪80年代,开发了连续小波变换( continuous wavelet transform, CWT) 1986: Y. Meyer 法国科学家 Y. Meyer与其同事创造性地构造出具 有一定衰减性的光滑函数,用于分析函数 用缩放( dilations)与平移( translations)均为2/(0的 整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基,使 小波分析得到发展
1. 小波介绍(续6) • 1980：Morlet • 20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球 物理学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 • 20世纪80年代, 开发了连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT) • 1986：Y.Meyer • 法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具 有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数 • 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j (j≥0的 整数)的倍数构造了L 2 (R)空间的规范正交基，使 小波分析得到发展
1.小波介绍(续7) 1988: Mallat算法 法国科学家 Stephane Mallat提出多分辨率概念 ,从空间上形象说明小波的多分辨率的特性, 并提出了正交小波的构造方法和快速算法,称 为 Mallat算法 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有 方法,其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅 立叶分析中的地位
1. 小波介绍(续7) • 1988：Mallat算法 • 法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念 ，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性， 并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称 为Mallat算法 • 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有 方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅 立叶分析中的地位