第一章算法初步 本章教材分析 算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方 面学生学习算法的应用,目的就是利用己有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数 学的思想,激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力,增强进行实践的能力等,都有很大的 帮助 本章主要内容:算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手, 通过研究程序框图与算法案例,使算法得到充分的应用,同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切 关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性,也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一 步受到数学思想方法的熏陶,激发学生的学习热情 在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活,从生活中学习数学,使数学在社会生活中得到应用 和提高,让学生体会到数学是有用的,从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点 本章还是数学思想方法的载体,学生在学习中会经常用到“算法思想”“转化思想”,从而提高自 己数学能力.因此应从三个方面把握本章: (1)知识间的联系 (2)数学思想方法 (3)认知规律 本章教学时间约需12课时,具体分配如下(仅供参考) 1.1.1算法的概念 约1课时 1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构 约4课时 1.2.1输入语句、输出语句和赋值语句 约1课时 1.2.2条件语句 约1课时 1.2.3循环语句 约1课时 1.3算法案例 约3课时 本章复习 约1课时
第一章 算法初步 本章教材分析 算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方 面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数 学的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强进行实践的能力等，都有很大的 帮助. 本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手， 通过研究程序框图与算法案例，使算法得到充分的应用，同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切 关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一 步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情. 在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用 和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点. 本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”，从而提高自 己数学能力.因此应从三个方面把握本章： （1）知识间的联系； （2）数学思想方法； （3）认知规律. 本章教学时间约需 12 课时，具体分配如下（仅供参考）： 1.1.1 算法的概念 约 1 课时 1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 约 4 课时 1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句 约 1 课时 1.2.2 条件语句 约 1 课时 1.2.3 循环语句 约 1 课时 1.3 算法案例 约 3 课时 本章复习 约 1 课时
§1.1算法与程序框图 §1.1.1算法的概念 、教材分析 算法在中学数学课程中是一个新的概念,但没有一个精确化的定义,教科书只对它作了如下描述:“在 数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念, 教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发,归纳出了二元一次方程组的求解步骤,这些 步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中,应从学生非常熟悉的例子引出算法,再通过例题加以巩 固. 二、教学目标 1、知识与技能 (1)了解算法的含义,体会算法的思想。 (2)能够用自然语言叙述算法。 (3)掌握正确的算法应满足的要求 (4)会写出解线性方程(组)的算法 (5)会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法 (6)会应用 Scilab求解方程组。 过程与方法 通过求解二元一次方程组,体会解方程的一般性步骤,从而得到一个解二元一次方程组的步骤,这些 步骤就是算法,不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同,同一个问题也可能有多个算法,能 模仿求解二元一次方程组的步骤,写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 3、情感态度与价值观: 通过本节的学习,使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解,明确算法的要求,认识到计算机是 人类征服自然的一各有力工具,进一步提高探索、认识世界的能力。 、重点难点 教学重点:算法的含义及应用. 教学难点:写出解决一类问题的算法 四、课时安排 1课时 五、教学设计 (一)导入新课 思路1(情境导入) 个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有人在的时候, 如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请同学们写出解决问题的步 骤,解决这一问题将要用到我们今天学习的内容一一算法 思路2(情境导入) 大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧,宋丹丹说了一个笑话,把大象装进冰箱总共分几步? 答案:分三步,第一步:把冰箱门打开:第二步:把大象装进去:第三步:把冰箱门关上 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法,今天我们开始学习算法的概念. 思路3(直接导入) 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础.在现代社会里,计算机已成 为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算 机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始 (二)推进新课、新知探究、提出问题 (1)解二元一次方程组有几种方法?
§1.1 算法与程序框图 §1.1.1 算法的概念 一、教材分析 算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在 数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念， 教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些 步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩 固. 二、教学目标 1、 知识与技能： （1）了解算法的含义，体会算法的思想。 （2）能够用自然语言叙述算法。 （3）掌握正确的算法应满足的要求。 （4）会写出解线性方程（组）的算法。 （5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 （6）会应用 Scilab 求解方程组。 2、 过程与方法： 通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些 步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能 模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 3、 情感态度与价值观： 通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是 人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。 三、重点难点 教学重点：算法的含义及应用. 教学难点：写出解决一类问题的算法. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1（情境导入） 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候， 如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步 骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法. 思路 2（情境导入） 大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？ 答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念. 思路 3（直接导入） 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成 为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算 机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. （二）推进新课、新知探究、提出问题 （1）解二元一次方程组有几种方法？
(2)结合教材实例{(-2=1(0总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤 2x+y=1,(2) y=-1,(1) (3)结合教材实例 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤 2x+y=1,(2) (4)请写出解一般二元一次方程组的步骤 (5)根据上述实例谈谈你对算法的理解. (6)请同学们总结算法的特征 (7)请思考我们学习算法的意义 讨论结果 (1)代入消元法和加减消元法 (2)回顾二元一次方程组 x-2y=-1(1) 的求解过程,我们可以归纳出以下步骤 2x+y=1,(2) 第一步,①+②×2,得5x=1.③ 第二步,解③,得x= 第三步,②-①×2,得5y=3.④ 第四步,解④,得y= 第五步,得到方程组的解为5 (3)用代入消元法解二元一次方程组 ∫x-2y=-1() 2x+y=L,(2) 我们可以归纳出以下步骤 第一步,由①得x=2y-1.③ 第二步,把③代入②,得2(2y-1)+y=1.④ 第三步,解④得y= 第四步,把⑤代入③,得x=2×--1= 5 第五步,得到方程组的解为 (4)对于一般的二元一次方程组 a,x+by=Cu,(1) a2x+b2y=c2,(2) 其中ab2-a2b≠0,可以写出类似的求解步骤:
（2）结合教材实例 + = − = − 2 1, (2) 2 1,(1) x y x y 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤. （3）结合教材实例 + = − = − 2 1, (2) 2 1,(1) x y x y 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤. （4）请写出解一般二元一次方程组的步骤. （5）根据上述实例谈谈你对算法的理解. （6）请同学们总结算法的特征. （7）请思考我们学习算法的意义. 讨论结果： （1）代入消元法和加减消元法. （2）回顾二元一次方程组 + = − = − 2 1, (2) 2 1,(1) x y x y 的求解过程，我们可以归纳出以下步骤： 第一步，①+②×2，得 5x=1.③ 第二步，解③，得 x= 5 1 . 第三步，②-①×2，得 5y=3.④ 第四步，解④，得 y= 5 3 . 第五步，得到方程组的解为 = = . 5 3 , 5 1 y x (3)用代入消元法解二元一次方程组 + = − = − 2 1, (2) 2 1,(1) x y x y 我们可以归纳出以下步骤： 第一步，由①得 x=2y－1.③ 第二步，把③代入②，得 2(2y－1)+y=1.④ 第三步，解④得 y= 5 3 .⑤ 第四步，把⑤代入③，得 x=2× 5 3 －1= 5 1 . 第五步，得到方程组的解为 = = . 5 3 , 5 1 y x (4)对于一般的二元一次方程组 + = + = ,(2) ,(1) 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c 其中 a1b2－a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤：
第一步,①×b2-②×b1,得 (a,b -a bi) x=b,C,-b1cz. 3 第二步,解③,得x=b21-b、cy 第三步,②Ⅹa-①×a2,得(ab2-ab1)y=ac2-ac1.④ 第四步,解④,得y=ae-a2C b-a,b b,C-b,c, 第五步,得到方程组的解为 a,b2-a2b y="c2- 21 6 -ab (5)算法的定义:广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤,那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操 作洗衣机的算法,菜谱是做菜的算法等等. 在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. 现在,算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题. (6)算法的特征:①确定性:算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的 甚至无用的步骤,“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性:算法从开始的“第一步”直到 “最后一步”之间做到环环相扣,分工明确,“前一步”是“后一步”的前提,“后一步”是“前一步” 的继续③有穷性:算法要有明确的开始和结束,当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果, 也就是说必须在有限步内完成任务,不能无限制地持续进行 (⑦)在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题,这些步骤称为解决这些问 题的算法.也就是说,算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的,有时需进行大量重 复的计算,它的优点是一种通法,只要按部就班地去做,总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础. (三)应用示例 思路1 例1(1)设计一个算法,判断7是否为质数 (2)设计一个算法,判断35是否为质数 算法分析:(1)根据质数的定义,可以这样判断:依次用2=6除7,如果它们中有一个能整除7,则 7不是质数,否则7是质数 算法如下:(1)第一步,用2除7,得到余数1.因为余数不为0,所以2不能整除7 第二步,用3除7,得到余数1.因为余数不为0,所以3不能整除7 第三步,用4除7,得到余数3.因为余数不为0,所以4不能整除7 第四步,用5除7,得到余数2.因为余数不为0,所以5不能整除7. 第五步,用6除7,得到余数1.因为余数不为0,所以6不能整除7.因此,7是质数. (2)类似地,可写出“判断35是否为质数”的算法:第一步,用2除35,得到余数1.因为余数不为0, 所以2不能整除35 第二步,用3除35,得到余数2.因为余数不为0,所以3不能整除35 第三步,用4除35,得到余数3.因为余数不为0,所以4不能整除35 第四步,用5除35,得到余数0.因为余数为0,所以5能整除35.因此,35不是质数 点评:上述算法有很大的局限性,用上述算法判断35是否为质数还可以,如果判断1997是否为质数 就麻烦了,因此,我们需要寻找普适性的算法步骤 变式训练
第一步，①×b2-②×b1，得 （a1b2－a2b1）x=b2c1－b1c2.③ 第二步，解③，得 x= 1 2 2 1 2 1 1 2 a b a b b c b c − − . 第三步，②×a1-①×a2，得（a1b2－a2b1）y=a1c2－a2c1.④ 第四步，解④，得 y= 1 2 2 1 1 2 2 1 a b a b a c a c − − . 第五步，得到方程组的解为 − − = − − = . , 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 a b a b a c a c y a b a b b c b c x (5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操 作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等. 在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. 现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题. (6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的， 甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到 “最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步” 的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果， 也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行. (7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问 题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重 复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础. （三）应用示例 思路 1 例 1 （1）设计一个算法，判断 7 是否为质数. （2）设计一个算法，判断 35 是否为质数. 算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用 2—6 除 7，如果它们中有一个能整除 7，则 7 不是质数，否则 7 是质数. 算法如下：（1）第一步，用 2 除 7，得到余数 1.因为余数不为 0，所以 2 不能整除 7. 第二步，用 3 除 7，得到余数 1.因为余数不为 0，所以 3 不能整除 7. 第三步，用 4 除 7，得到余数 3.因为余数不为 0，所以 4 不能整除 7. 第四步，用 5 除 7，得到余数 2.因为余数不为 0，所以 5 不能整除 7. 第五步，用 6 除 7，得到余数 1.因为余数不为 0，所以 6 不能整除 7.因此，7 是质数. （2）类似地，可写出“判断 35 是否为质数”的算法：第一步，用 2 除 35，得到余数 1.因为余数不为 0， 所以 2 不能整除 35. 第二步，用 3 除 35，得到余数 2.因为余数不为 0，所以 3 不能整除 35. 第三步，用 4 除 35，得到余数 3.因为余数不为 0，所以 4 不能整除 35. 第四步，用 5 除 35，得到余数 0.因为余数为 0，所以 5 能整除 35.因此，35 不是质数. 点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断 35 是否为质数还可以，如果判断 1997 是否为质数 就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤. 变式训练
请写出判断n(n>2)是否为质数的算法 分析:对于任意的整数n(n>2),若用i表示2-(m-1)中的任意整数,则“判断n是否为质数”的算 法包含下面的重复操作:用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0,若是,则不是质数;否则,将i的值 增加1,再执行同样的操作 这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止 算法如下:第一步,给定大于2的整数n 第二步,令i=2 第三步,用i除n,得到余数r 第四步,判断“r=0”是否成立.若是,则n不是质数,结束算法;否则,将i的值增加1,仍用i表 小 第五步,判断“i>(n-1)”是否成立.若是,则n是质数,结束算法:否则,返回第三步 例2写出用“二分法”求方程x2-2=0(x>0)的近似解的算法. 分析:令f(x)=x22,则方程x2-2=0(x>0)的解就是函数f(x)的零点 二分法”的基本思想是:把函数f(x)的零点所在的区间[a,b](满足f(a)·f(b)<0)“一分为二”, 得到[a,m]和[m,b].根据“f(a)·f(m)<0”是否成立,取出零点所在的区间[a,m]或[m,b],仍记为 a,b].对所得的区间[a,b]重复上述步骤,直到包含零点的区间[a,b]“足够小”,则[a,b]内的 数可以作为方程的近似解 解:第一步,令f(x)=x2-2,给定精确度d. 第二步,确定区间[a,b],满足f(a)·f(b)<0 第三步,取区间中点m=2+b 第四步,若f(a)·f(m)<0,则含零点的区间为[a,m]:否则,含零点的区间为[m,b].将新得到的含零点 的区间仍记为[a,b] 第五步,判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是,则m是方程的近似解:否则,返回第 当d=0.005时,按照以上算法,可以得到下表 b Ia-bl 2 1.5 1.5 0.25 1.375 1.5 0.125 1.375 1.4375 0.0625 1.40625 1.4375 0.03125 1.40625 1.421875 0.015625 1.4140625 1.421875 0.0078125 1.40251.4179850.090625 于是,开区间(1.4140625,1.41796875)中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解. 实际上,上述步骤也是求√2的近似值的一个算法 点评:算法一般是机械的,有时需要进行大量的重复计算,只要按部就班地去做,总能算出结果,通 常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成,实际上处理任何 问题都需要算法.如:中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则:而国际象棋有国际象棋的棋 谱、走法、胜负的评判准则:再比如申请出国有一系列的先后手续,购买物品也有相关的手续 思路2
请写出判断 n(n>2)是否为质数的算法. 分析：对于任意的整数 n(n>2)，若用 i 表示 2—(n-1)中的任意整数，则“判断 n 是否为质数”的算 法包含下面的重复操作：用 i 除 n,得到余数 r.判断余数 r 是否为 0，若是，则不是质数；否则，将 i 的值 增加 1，再执行同样的操作. 这个操作一直要进行到 i 的值等于(n-1)为止. 算法如下：第一步，给定大于 2 的整数 n. 第二步，令 i=2. 第三步，用 i 除 n,得到余数 r. 第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则 n 不是质数，结束算法；否则，将 i 的值增加 1，仍用 i 表 示. 第五步，判断“i＞（n-1）”是否成立.若是，则 n 是质数，结束算法；否则，返回第三步. 例 2 写出用“二分法”求方程 x 2 -2=0 (x>0)的近似解的算法. 分析：令 f(x)=x2 -2,则方程 x 2 -2=0 (x>0)的解就是函数 f(x)的零点. “二分法”的基本思想是：把函数 f(x)的零点所在的区间［a,b］(满足 f(a)·f(b)<0）“一分为二”， 得到［a,m］和［m,b］.根据“f(a)·f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间［a,m］或［m,b］，仍记为 ［a,b］.对所得的区间［a,b］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a,b］“足够小”，则［a,b］内的 数可以作为方程的近似解. 解：第一步，令 f(x)=x2 -2,给定精确度 d. 第二步，确定区间［a,b］，满足 f(a)·f(b)<0. 第三步，取区间中点 m= 2 a + b . 第四步，若 f(a)·f(m)<0，则含零点的区间为［a,m］；否则，含零点的区间为［m,b］.将新得到的含零点 的区间仍记为［a,b］. 第五步，判断［a,b］的长度是否小于 d 或 f(m）是否等于 0.若是，则 m 是方程的近似解；否则，返回第 三步. 当 d=0.005 时，按照以上算法，可以得到下表. a b |a-b| 1 2 1 1 1.5 0.5 1.25 1.5 0.25 1.375 1.5 0.125 1.375 1.437 5 0.062 5 1.406 25 1.437 5 0.031 25 1.406 25 1.421 875 0.015 625 1.414 062 5 1.421 875 0.007 812 5 1.414 062 5 1.417 968 75 0.003 906 25 于是，开区间（1.414 062 5,1.417 968 75）中的实数都是当精确度为 0.005 时的原方程的近似解. 实际上，上述步骤也是求 2 的近似值的一个算法. 点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通 常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何 问题都需要算法.如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋 谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续…… 思路 2