量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为 已知的立体的体积、变力沿直线作功、引力、压力及函数的平均值等) 教学重点:利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、变力作功及水压力 教学难点:定积分微元法的基本思想。 第七章微分方程(12学时) 教学要求:1.了解微分方程及其解、阶、通解,初始条件和特解等概念。2.掌握变 量可分离的方程及一阶线性方程的解法。3.会解齐次方程、伯努利方程和全微分 方程,会用简单的变量代换解某些微分方程。4.会用降阶法解下列形式的方程: y=f(x),y”=f(x,y)y"=f(y,y)。5.理解线性微分方程解的性质及解的结构 定理。6.掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。7.会求自由项为多项式、指 数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性方程的特 解和通解。8.了解微分方程的幂级数解法,了解欧拉方程。9.会用微分方程解决 一些简单的应用问题。 教学重点:变量可分离的方程及一阶线性方程的解法,二阶线性微分方程解的结构, 阶常系数齐次线性微分方程的解法。 教学难点:二阶常系数非齐次线性微分方程的求解 四、推荐教材及参考书目 [1]同济大学数学系高等数学(第七版,上册).北京:高等教育出版社,2014 [2]吴赣昌主编.高等数学,上册(理工类,第四版),北京:中国人民大学出 版社,2011 ne3]同济大学应用数学系高等数学(第六版,上册)北京:高等教育出版社, [4]同济大学应用数学系高等数学(第四版,上册).北京:高等教育出版社, 1996 [5]李心灿.高等数学应用205例,北京:高等教育出版社,1997 6]陈兰祥.高等数学典型题精解,北京:学苑出版社,2001 [7]同济大学应用数学系.高等数学习题集,北京:高等教育出版社,1996 [8]复旦大学数学系.数学分析(上),北京:高等教育出版社2005
4 量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为 已知的立体的体积、变力沿直线作功、引力、压力及函数的平均值等）。 教学重点：利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、变力作功及水压力。 教学难点：定积分微元法的基本思想。 第七章 微分方程 （12 学时） 教学要求:1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特解等概念。2．掌握变 量可分离的方程及一阶线性方程的解法。3．会解齐次方程、伯努利方程和全微分 方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4．会用降阶法解下列形式的方程： ( ), ( , ), ( , ) ( ) y f x y f x y y f y y n 。5．理解线性微分方程解的性质及解的结构 定理。6．掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。7．会求自由项为多项式、指 数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性方程的特 解和通解。8．了解微分方程的幂级数解法，了解欧拉方程。9．会用微分方程解决 一些简单的应用问题。 教学重点：变量可分离的方程及一阶线性方程的解法，二阶线性微分方程解的结构， 二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 教学难点：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。 四、推荐教材及参考书目 [1] 同济大学数学系.高等数学（第七版，上册）. 北京： 高等教育出版社，2014. [2] 吴赣昌主编. 高等数学，上册（理工类，第四版），北京：中国人民大学出 版社，2011. [3] 同济大学应用数学系.高等数学（第六版，上册）. 北京： 高等教育出版社， 2008. [4] 同济大学应用数学系.高等数学（第四版，上册）. 北京：高等教育出版社， 1996. [5] 李心灿. 高等数学应用 205 例，北京：高等教育出版社，1997. [6] 陈兰祥. 高等数学典型题精解，北京：学苑出版社，2001. [7] 同济大学应用数学系. 高等数学习题集，北京：高等教育出版社，1996. [8] 复旦大学数学系. 数学分析（上），北京：高等教育出版社 2005
《高等数学A(二)》课程教学大纲 课程编号:0512502 课程总学时/学分:90/5(其中理论90学时) 课程类别:学科基础与专业必修课 教学目的和任务 高等数学是物理及工科各本科专业的一门必修的基础理论课。它对学生认识问 题,分析问题和解决问题的能力进行全面的训练,为后续课程的学习和深造与发展 奠定坚实的基础。 本课程主要包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、 曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容。通过本门课程的学习,一方面为学生学习 后继课程提供必不可少的数学知识、为解决实际问题提供有力的工具和有效的方 法;另一方面,可以培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识 分析问题、解决问题的能力 二、教学基本要求 通过本课程的教学,应使学生深刻理解基本概念,以及它们之间的联系;正确 理解并掌握基本定理的条件、结论和证明方法;熟练掌握各种基本计算方法;能够 对简单的实际问题建立数学模型,并会求解。该课程不但是学习复变函数、概率统 计、积分变换等课程的必修课,而且为学生学习物理、电工、电子等理工科专业课 程奠定必要的数学基础。 在课堂讲授的同时,辅以课堂练习与讨论,引导学生认真阅读教材,独立完 成作业,逐步培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间想象、分析解决实际问题的能 力,掌握学习方法,培养自学能力。 教材的选取,要注重微积分与初等数学内容的衔接,适当增加函数等相关内容 的复习与补充。选用的教材要注重基本概念和基本数学思想的传授,并且注重微积 分的应用,有较多的应用实例
5 《高等数学 A（二）》课程教学大纲 课程编号：0512502 课程总学时/学分：90/5 （其中理论 90 学时） 课程类别：学科基础与专业必修课 一、教学目的和任务 高等数学是物理及工科各本科专业的一门必修的基础理论课。它对学生认识问 题，分析问题和解决问题的能力进行全面的训练，为后续课程的学习和深造与发展 奠定坚实的基础。 本课程主要包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、 曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容。通过本门课程的学习，一方面为学生学习 后继课程提供必不可少的数学知识、为解决实际问题提供有力的工具和有效的方 法；另一方面，可以培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识 分析问题、解决问题的能力。 二、教学基本要求 通过本课程的教学，应使学生深刻理解基本概念，以及它们之间的联系；正确 理解并掌握基本定理的条件、结论和证明方法；熟练掌握各种基本计算方法；能够 对简单的实际问题建立数学模型，并会求解。该课程不但是学习复变函数、概率统 计、积分变换等课程的必修课，而且为学生学习物理、电工、电子等理工科专业课 程奠定必要的数学基础。 在课堂讲授的同时，辅以课堂练习与讨论，引导学生认真阅读教材，独立完 成作业，逐步培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间想象、分析解决实际问题的能 力，掌握学习方法，培养自学能力。 教材的选取，要注重微积分与初等数学内容的衔接，适当增加函数等相关内容 的复习与补充。选用的教材要注重基本概念和基本数学思想的传授，并且注重微积 分的应用，有较多的应用实例
三、教学内容及学时分配 第八章空间解析几何与向量代数(14学时) 教学要求:1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。2.掌握向量的运 算(线性运算、数量积、向量积),了解两个向量垂直、平行的条件。3.掌握向量 的坐标表达式,会用坐标表达式表示向量的模和方向余弦,并会用坐标表达式进行 向量的运算。4.掌握平面方程和直线方程及其求法,会利用平面、直线的相互关 系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。5.理解曲面方程的概念,了解常用二 次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的 柱面方程。6.了解空间曲线的参数方程和一般方程。7.了解空间曲线在坐标面上 的投影,并会求其方程。 教学重点:空间直角坐标系,向量的概念及其表示,向量的运算(线性运算、点乘 法、叉乘法),单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向 量运算的方法,平面方程和直线方程及其求法,曲面方程的概念 教学难点:向量的叉乘法,利用平面、直线的相互关系解决有关问题,曲线、曲面 的投影。 第九章多元函数微分法及其应用(20学时) 教学要求:1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义。2.了解二元函数 的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。3.理解多元函数偏 导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解 全微分形式的不变性,了解全微分在近似计算中的应用。4.理解方向导数与梯度 的概念,并掌握其计算方法。5.掌握多元复合函数的偏导数的求法。6.会求隐函 数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。7.了解曲线的切线和法平面及曲面 的切平面和法线的概念,会求它们的方程。8.理解多元函数的极值和条件极值的 概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会 求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大和 最小值,并会解决一些简单的应用问题 教学重点:多元函数的概念,偏导数和全微分的概念,复合函数阶偏导数的求法, 多元函数极值和条件极值的概念
6 三、教学内容及学时分配 第八章 空间解析几何与向量代数 （14 学时） 教学要求：1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2．掌握向量的运 算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件。3．掌握向量 的坐标表达式，会用坐标表达式表示向量的模和方向余弦，并会用坐标表达式进行 向量的运算。4．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关 系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。5．理解曲面方程的概念，了解常用二 次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的 柱面方程。6．了解空间曲线的参数方程和一般方程。7．了解空间曲线在坐标面上 的投影，并会求其方程。 教学重点：空间直角坐标系，向量的概念及其表示，向量的运算（线性运算、点乘 法、叉乘法），单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向 量运算的方法，平面方程和直线方程及其求法，曲面方程的概念。 教学难点：向量的叉乘法，利用平面、直线的相互关系解决有关问题，曲线、曲面 的投影。 第九章 多元函数微分法及其应用 （20 学时） 教学要求：1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2．了解二元函数 的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3．理解多元函数偏 导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解 全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。4．理解方向导数与梯度 的概念，并掌握其计算方法。5．掌握多元复合函数的偏导数的求法。6．会求隐函 数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7．了解曲线的切线和法平面及曲面 的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8．理解多元函数的极值和条件极值的 概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会 求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大和 最小值，并会解决一些简单的应用问题。 教学重点：多元函数的概念，偏导数和全微分的概念，复合函数-阶偏导数的求法， 多元函数极值和条件极值的概念
教学难点:复合函数的高阶偏导数,隐函数的偏导数,求曲线的切线和法平面及曲 面的切平面和法线,求条件极值的拉格朗日乘数法 第十章重积分(16学时) 教学要求:1.理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积 分的中值定理。2.掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法,会计算三重 积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。3.会用重积分计算一些几何量与物理量 (平面图形的面积、空间图形的体积、曲面面积、重心、转动惯量等)。 教学重点:二重积分、三重积分的概念,二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标), 三重积分的计算方法(直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系)。 教学难点:极坐标系下二重积分计算的定限、三重积分的计算方法的定限。 第十一章曲线积分与曲面积分(20学时) 教学要求1.理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质以及两类曲线积 分的关系。2.掌握计算两类曲线积分的方法。3.掌握格林公式并会运用平面曲线 积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数。4.了解两类曲面积分的概念、性 质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,了解高斯公式、斯托克 斯公式,会用高斯公式计算曲面积分。5.了解散度与旋度的概念,并会计算。6.会 用曲线积分与曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、空间立体的体积、 曲面的面积、曲线的弧长、质量、重心、流量等)。 教学重点:两类曲线积分的计算、两类曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯 托克斯公式。 教学难点:曲面的侧、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及其联系 第十二章无穷级数(20学时) 教学要求1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基 本性质及收敛的必要条件。2.掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。3.掌 握正项级数的比较审敛法和比值审敛法,会用根值审敛法。4.掌握交错级数的莱 布尼兹判别法。5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与 条件收敛的关系。6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7.掌握幂级数的
7 教学难点：复合函数的高阶偏导数，隐函数的偏导数，求曲线的切线和法平面及曲 面的切平面和法线，求条件极值的拉格朗日乘数法。 第十章 重积分 （16 学时） 教学要求：1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积 分的中值定理。2．掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重 积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。3．会用重积分计算一些几何量与物理量 （平面图形的面积、空间图形的体积、曲面面积、重心、转动惯量等）。 教学重点：二重积分、三重积分的概念，二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）， 三重积分的计算方法（直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系）。 教学难点：极坐标系下二重积分计算的定限、三重积分的计算方法的定限。 第十一章 曲线积分与曲面积分 （20 学时） 教学要求 1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质以及两类曲线积 分的关系。2．掌握计算两类曲线积分的方法。3．掌握格林公式并会运用平面曲线 积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4．了解两类曲面积分的概念、性 质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克 斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。5．了解散度与旋度的概念，并会计算。6．会 用曲线积分与曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、空间立体的体积、 曲面的面积、曲线的弧长、质量、重心、流量等）。 教学重点：两类曲线积分的计算、两类曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯 托克斯公式。 教学难点：曲面的侧、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及其联系。 第十二章 无穷级数 （20 学时） 教学要求 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基 本性质及收敛的必要条件。2．掌握几何级数与 P 级数的收敛与发散的条件。3．掌 握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法。4．掌握交错级数的莱 布尼兹判别法。5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与 条件收敛的关系。6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7．掌握幂级数的
收敛半径、收敛区间的求法。8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和 函数的连续性、逐项微分和逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数, 并会由此求出某些数项级数的和。9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 0.掌握e,snx,cosx,l(1+x),(1+x)的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函 数间接展开为幂级数。11.了解幂级数在近似计算上的简单应用。12.了解傅里叶 级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄里克雷定理,会将定义在[x,z]上的函数 展开为傅里叶级数,会将定义在[,z]上的函数展开为正弦级数与余弦级数,了解 l小上函数的傅里叶级数展开 教学重点:无穷级数收敛、发散以及和的概念,几何级数和P级数的收敛性,正项 级数的比值审敛法,比较简单的幂级数收敛区间的求法。 教学难点:正项级数的比较审敛法,交错级数的莱布尼兹定理,幂级数的收敛域及 和函数,函数展开为泰勒级数。 四、推荐教材及参考书目 [同济大学数学系高等数学(第七版,下册).北京:高等教育出版社,2014 [2]吴赣昌主编.高等数学,下册(理工类,第四版).北京:中国人民大学出 版社,2011 Z3]同济大学应用数学系高等数学(第六版,下册).北京:高等教育出版社, 4]同济大学应用数学系高等数学(第四版,下册).北京:高等教育出版社, 1996 5]李心灿,高等数学应用205例北京:高等教育出版社,1997 6]陈兰祥.高等数学典型题精解.北京:学苑出版社,2001 [7]同济大学应用数学系高等数学习题集.北京:高等教育出版社,1996 [8]复旦大学数学系.数学分析(下).北京:高等教育出版社2005
8 收敛半径、收敛区间的求法。8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和 函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数， 并会由此求出某些数项级数的和。9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握 e ,sin x,cos x,ln(1 x),(1 x) x 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开为幂级数。11．了解幂级数在近似计算上的简单应用。12．了解傅里叶 级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄里克雷定理，会将定义在 , 上的函数 展开为傅里叶级数，会将定义在 0, 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，了解 l,l 上函数的傅里叶级数展开。 教学重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念，几何级数和 P-级数的收敛性，正项 级数的比值审敛法，比较简单的幂级数收敛区间的求法。 教学难点：正项级数的比较审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，幂级数的收敛域及 和函数，函数展开为泰勒级数。 四、推荐教材及参考书目 [1] 同济大学数学系.高等数学（第七版，下册）. 北京： 高等教育出版社，2014. [2] 吴赣昌主编. 高等数学，下册（理工类，第四版）. 北京：中国人民大学出 版社，2011. [3] 同济大学应用数学系.高等数学（第六版，下册）. 北京： 高等教育出版社， 2008. [4] 同济大学应用数学系.高等数学（第四版，下册）. 北京：高等教育出版社， 1996. [5] 李心灿. 高等数学应用 205 例. 北京：高等教育出版社，1997. [6] 陈兰祥. 高等数学典型题精解. 北京：学苑出版社，2001. [7] 同济大学应用数学系. 高等数学习题集. 北京：高等教育出版社，1996. [8] 复旦大学数学系. 数学分析（下）. 北京：高等教育出版社 2005