弹性地基梁的挠度曲线微分方程式考察dx微段的平衡有：ZY=0化简得：dQ= ky-q(x)dxEM.=0省略二阶微量化简得：g(x)dMM+dMQdxO+dod'M合并二式得：= ky-q(x)dr?弹性地基梁的微元分析
⚫弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 弹性地基梁的微元分析 Y = 0 ky q(x) dx dQ = − MA = 0 dx dM Q = 考察 微段的平衡有： 化简得： 省略二阶微量化简得： 合并二式得： ky q(x) dx d M = − 2 2
dy根据材料力学有：9=dxdg2M=-EI-EIdr?dxd3dMyQ-EISdr3dx4dyEI+ ky = q(x)代入化简得到挠曲微分方程：dx
dx dy = 2 2 dx d y EI dx d M = −EI = − 3 3 dx d y EI dx dM Q = = − 根据材料力学有： 代入化简得到挠曲微分方程： ky q(x) dx d y EI + = 4 4
对应齐次微分方程的通解令挠曲微分方程中g(x)=0，得到对应齐次微分方程：d'yEI+ ky= 0dr4通解为：y = ea*(A, cos ax + A, sin ax)+ e-x(A, cos ox + A sin ox)利用双曲函数关系：eax=chax+shax,e-ax=chax-shax且令: 4 =(B, + B,),4 =(B, + B,)得到另一通解：A, ==(B,-B,), A4 =(B, - B,)y =B,chaxcos ax+B,chax sinax +B,shacos ax +Bashax sinax
⚫对应齐次微分方程的通解 0 4 4 + ky = dx d y EI 令挠曲微分方程中 q( x) = 0 ，得到对应齐次微分方程： y e (A x A x) e (A x A x) a x a x = 1 cos + 2 sin + 3 cos + 4 sin − y = B1 chaxcosax + B2 chaxsinax + B3 sha cosax + B4 shax sinax ( ), ( ) ( ), ( ) 3 1 2 4 2 4 1 1 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 A B B A B B A B B A B B = − = − = + = + 且令： 通解为： 利用双曲函数关系： e chax shax e chax shax ax ax = + = − − , 得到另一通解：
初参数解口初参数法y = B,chax cos ax + B,chax sin ax + B,shax cos ax + Bashax sin ax = al-B, (chax sin ax - shax cos ax) + B, (chax cos ax + shax sin ax)+ B, (-shax sin ax + chax cos ax)+ B (shax cos ax + chax sin ax))M =2Elα(B,shax sinax-B,shax cos ax+B,chax sinax-B chaxcosax)Q=2Elα[B (chax sinax +shax cos ax)-B,(chax cosax-shaxsinax)+ B, (chax cos ax + shax sin ax) + B (chax sin ax - shax cos ax)把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径
⚫初参数解 初参数法 [ ( sin cos ) ( cos sin ) cos sin cos sin a B chax ax shax ax B chax ax shax ax y B chax ax B chax ax B shax ax B shax ax = − − + + = + + + 1 2 1 2 3 4 Q = EI [B (chaxsinax + shax cosax)− B (chaxcosax − shax sinax) 1 2 3 2 + B (−shax sinax + chaxcosax)+ B (shax cosax + chaxsinax)] 3 4 M E I (B shax sinax B shax cosax B chax sinax B chax cosax) 1 2 3 4 2 = 2 − + − + B (chaxcosax + shax sinax)+ B (chaxsinax − shax cosax) 3 4 把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理 意义来寻求简化计算的途径
口用初参数表示积分常数梁左端边界条件：x888888Jx=0o= yo9l x=0 = 9M|x=0= MoQ| x=0= Q0弹性地基梁作用的初参数得到积分常数：B=o11B,&Q-2α4α'EIkb118BQ0其中：α=42αEI4α4EI1MoB2αEI
用初参数表示积分常数 0 0 弹性地基梁作用的初参数 0 0 0 0 0 0 Q Q M M y y x x x x = = = = = = = = 梁左端边界条件： 4 2 0 3 0 3 0 2 0 3 0 1 0 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 M EI B Q EI B Q EI B B y = − = + = − 得到积分常数： = 4 4EI kb 其中： =