1.扩展的光源 迄今为止,我们所研究的是所有光线都来自一个方向的情况。实际上可能有几个光源,甚 至有几个扩展的光源,例如天空。在扩展光源的情况下我们需要考虑光源所占的立体角。试研 究天空中一块由80和产生的小区域(图6-6)。这个小区域的面积为r2sin0,,其中r 是小区域到原点的距离,因此,这个小区域所对的立体角为:C=sinO∞设,E(O,)是 从(,9)方向来的单位立体角内的辐射。那么从所研究天空中小区域来的辐射等于: E0, di)sing, 80, p2 图66扩展的光源,这时BRDF与光源辐照度的乘积应在所有入射方向上积分 整个天空对表面的总辐照度就等于 E0=∫BQ,4) sin e, cos e, de, ds的 其中cose项是由于考虑从(O,p)方向观察时表面的投影而引入的 为求得表面的辐射率,我们必须在所有光线可能射入方向的球面上对BRDF与辐照度的乘 积作积分。因此, L(.)=厂10则)c0 上述积分中的cos1项也是由于投影造成的。积分的结果是变量θ。和ψ的函数,它们确定朝观 察者发射的射线的方向。 2.表面反射特性 (1)朗伯表面 理想漫反射表面或朗伯表面具有以下两个性质。第一,不论表面被如何辐照,在所有的观 察方向上都是呈现相同的亮度,即L是与方向无关的常数。第二,所有的入射光都被反射,并 无吸收。根据定义可推论朗伯表面的BRDF∫(O,;,ψ)应该常数。为确定这个常数可把表 面的辐射率在所有的方向作出积分,并使这样求得的总辐射M与总的辐照Eo相等。根据L的 112
112 1. 扩展的光源 迄今为止，我们所研究的是所有光线都来自一个方向的情况。实际上可能有几个光源，甚 至有几个扩展的光源，例如天空。在扩展光源的情况下我们需要考虑光源所占的立体角。试研 究天空中一块由 i和 i 产生的小区域（图 6-6）。这个小区域的面积为 r i i i 2 sin ，其中 r 是小区域到原点的距离，因此，这个小区域所对的立体角为： = sin i i i 设， E( i , i) 是 从 ( i , i) 方向来的单位立体角内的辐射。那么从所研究天空中小区域来的辐射等于： E( i i) i i i , sin 图 6.6 扩展的光源，这时 BRDF 与光源辐照度的乘积应在所有入射方向上积分 整个天空对表面的总辐照度就等于： ( ) E E i i i id idi , sin cos 2 0 0 − = (6.16) 其中 cos i 项是由于考虑从 ( i , i) 方向观察时表面的投影而引入的。 为求得表面的辐射率，我们必须在所有光线可能射入方向的球面上对 BRDF 与辐照度的乘 积作积分。因此， ( ) ( ) ( ) e e i i e e E i i i id id i L f , , ; , , sin cos 2 − 0 = (6.17) 上述积分中的 cos i 项也是由于投影造成的。积分的结果是变量 e 和 e 的函数，它们确定朝观 察者发射的射线的方向。 2. 表面反射特性 (1) 朗伯表面 理想漫反射表面或朗伯表面具有以下两个性质。第一，不论表面被如何辐照，在所有的观 察方向上都是呈现相同的亮度，即 L 是与方向无关的常数。第二，所有的入射光都被反射，并 无吸收。根据定义可推论朗伯表面的 BRDF f( i , i ; e , e ) 应该常数。为确定这个常数可把表 面的辐射率在所有的方向作出积分，并使这样求得的总辐射 M 与总的辐照 E0 相等。根据 L 的
定义(6-4)可知在方向上的do立体角内发出的光能量等于 doe= lecoseedo Le cosee sin eedeedpe 所以总辐射M等于 M=L_Jb Lsinee coseed0edde=Lr 上式中由于L是常数,所以可移到积分符号前面。移出L后余下部分的积分值为π。所以有 =M=Lx,利用这个结果,以及BRDF的定义可得朗伯表面的BRDF等于 L 1 f(O1,;0.,中)= E。M丌 其中∫是朗伯表面的双向反射分布函数,它等于常数 如果光源是辐射率为L的扩展光源。那么由(O,向)方向上的无限小立体角do1产生的辐照 dE1=L1cosO,do,利用(619式所表示的朗伯表面的BDFf(O,p;O2,)=可求得: Lr=(r)L; cos 8, do, 20) 这是朗伯表面的余弦定理 (2)理想镜面反射 理想的镜面表面以下述方式反射光线:出射角( exitant angle)O等于入射角,并且入射和 出射光线在包含法线的平面内。表面区域在(O,中)方向上反射的辐射率等于相应入射方向受到 的辐照,即: L2(029)=E(O,9)=E(O,9+z) 因此,表面形成了辐射源的虚象。根据BRDF的定义可得 Le=[-JfE, cos e, sin 0, de, do 如果使 ∫=叫(1-b)(9--x) /sine,cos (6-23) 就可满足(6.21)式所述条件。这被称为理想镜面反射的BRDF的双重δ函数形式。如果是扩展的 光源,那么(622)式可推广为: L(0,)= a(0-0),(0.--E5(0,4)m1cd sin 0. cos0 (6-24) 62反射图和辐照方程 对理解表面的反射特性来说BRDF是至关重要的,但对研究表面方向与图象影调的关系来 说直接应用BRDF是不方便的,而要应用这节中将要讨论的反射图。直接应用BRDF不便的原 因首先是定义BRDF时所用的是局部坐标系。如前所述,这些局部坐标系的Z轴是与局部表面 的法线方向重合。为了说明表面方向与图象亮度之间的关系需要采用全局坐标系。这就是以观 察者为中心的坐标系。我们先从在这样的坐标系中表面方向的合理表示方法开始。 113
113 定义(6-4)可知在 e 方向上的 d e 立体角内发出的光能量等于 d Le d Le d d e e e e e e = = cos cos sin 所以总辐射 M 等于 M = L e ed ed e = L − 0 2 sin cos (6-18) 上式中由于 L 是常数，所以可移到积分符号前面。移出 L 后余下部分的积分值为。所以有 E0 = M = L ，利用这个结果，以及 BRDF 的定义可得朗伯表面的 BRDF 等于： f ( ) L E L M i i e e , ; , = = = 0 1 (6-19) 其中 f 是朗伯表面的双向反射分布函数，它等于常数 1 。 如果光源是辐射率为 Li 的扩展光源。那么由 ( i , i) 方向上的无限小立体角 d i 产生的辐照 dEi = Li id i cos ，利用(6.19)式所表示的朗伯表面的 BRDF f ( i i e e ) , ; , = 1 可求得： Lr = ( ) Li id i 1 cos (6-20) 这是朗伯表面的余弦定理。 (2) 理想镜面反射 理想的镜面表面以下述方式反射光线：出射角（exitant angle） e 等于入射角，并且入射和 出射光线在包含法线的平面内。表面区域在 ( e , e ) 方向上反射的辐射率等于相应入射方向受到 的辐照，即： Le( e , e ) = Ei( i , i) = Ei( e , e +) (6-21) 因此，表面形成了辐射源的虚象。根据 BRDF 的定义可得： Le = − f Ei i id id i 0 2 cos sin (6-22) 如果使： f = ( i − e ) ( e i ) i i − − sin cos (6-23) 就可满足(6.21)式所述条件。这被称为理想镜面反射的 BRDF 的双重 函数形式。如果是扩展的 光源，那么(6.22)式可推广为： ( ) ( ) ( ) L e e i e e i i i , sin cos = − − − − 0 2 Ei( i i) i id id i , sin cos (6-24) 6.2 反射图和辐照方程 对理解表面的反射特性来说 BRDF 是至关重要的，但对研究表面方向与图象影调的关系来 说直接应用 BRDF 是不方便的，而要应用这节中将要讨论的反射图。直接应用 BRDF 不便的原 因首先是定义 BRDF 时所用的是局部坐标系。如前所述，这些局部坐标系的 Z 轴是与局部表面 的法线方向重合。为了说明表面方向与图象亮度之间的关系需要采用全局坐标系。这就是以观 察者为中心的坐标系。我们先从在这样的坐标系中表面方向的合理表示方法开始
621表面方向的表示 平滑的表面上每点都有切平面。这些切平面的方向可被用来表示表面在这点的方向。表面 的法线向量就是垂直于切平面的单位向量,可以用它来研究这些切平面的方向。法线向量有两 个自由度。因为一个向量有三个分量,而它们的平方和必须等于 我们所选的全局坐标系应与成象系统相固定,使一根坐标轴与成象系统的光轴对齐是较方 便的。可把坐标原点放在透镜的中心,使另外两根坐标轴与成象平面平行。为组成右手坐标系 可使Z指向图象(图67)。 图67观察者为中心的坐标系 这样,表面就可以用函数z=f(x,y)来描述。它表示点离透镜平面的垂直距离(即z坐标)随该 点(x,y)坐标变化的情形。下面我们希望用z坐标,以及z坐标对x和y坐标的偏导数来表示法 线向量。 因为法线向量垂直于切平面内所有的线,所以可用切平面内任意两个不平行向量的叉积来 求得法线向量。设想从给定点(x,y沿x轴方向移动一小步δx,按泰勒级数,在z轴上的变化 可表示为: dx+e 其中e是高次项。我们可用p和q分别表示z对x和y的一阶偏导数。因此,p是表面沿x轴方 向的斜率,q是沿y轴的斜率。(图68)。p和q与表面小区域的方向之间的关系如图6-8所示 如沿x方向位移δx,高度的变化为p6x;相似地,沿y方向位移δy,高度的变化为qδy。 114
114 6.2.1 表面方向的表示 平滑的表面上每点都有切平面。这些切平面的方向可被用来表示表面在这点的方向。表面 的法线向量就是垂直于切平面的单位向量，可以用它来研究这些切平面的方向。法线向量有两 个自由度。因为一个向量有三个分量，而它们的平方和必须等于 1。 我们所选的全局坐标系应与成象系统相固定，使一根坐标轴与成象系统的光轴对齐是较方 便的。可把坐标原点放在透镜的中心，使另外两根坐标轴与成象平面平行。为组成右手坐标系 可使 Z 指向图象（图 6.7）。 图 6.7 观察者为中心的坐标系 这样，表面就可以用函数 z = f(x, y) 来描述。它表示点离透镜平面的垂直距离（即 z 坐标）随该 点 (x, y) 坐标变化的情形。下面我们希望用 z 坐标，以及 z 坐标对 x 和 y 坐标的偏导数来表示法 线向量。 因为法线向量垂直于切平面内所有的线，所以可用切平面内任意两个不平行向量的叉积来 求得法线向量。设想从给定点 (x, y) 沿 x 轴方向移动一小步 x ，按泰勒级数，在 z 轴上的变化 可表示为： z z x = x + e 其中 e 是高次项。我们可用 p 和 q 分别表示 z 对 x 和 y 的一阶偏导数。因此，p 是表面沿 x 轴方 向的斜率，q 是沿 y 轴的斜率。（图 6.8）。p 和 q 与表面小区域的方向之间的关系如图 6-8 所示。 如沿 x 方向位移 x ，高度的变化为 p x ；相似地，沿 y 方向位移 y ，高度的变化为 q y