7旋转运动 摄象机的旋转所能获得的关于物体的有用信息却并不能增加,这 点可以从图3.19得到解释。 X,YXY xy (a' a,b) Z R 图3.19围绕光心的摄象机旋转 图320坐标系旋转与外界相对坐标的逆旋转等价
3.7旋转运动 摄象机的旋转所能获得的关于物体的有用信息却并不能增加，这一 点可以从图3.19得到解释。 图3.19 围绕光心的摄象机旋转 P ( , ) a b ( , ) a' b' X' Y' , X Y, x' y' , x y, O o o' R Z Z' 图3.20 坐标系旋转与外界相对坐标的逆旋转等价
37旋转变换 摄象机的旋转用旋转矩阵R=(R),j=12,3表示,注意到旋转矩阵在空间上必须满足 保角、保距等性质,因而R为正交的单位矩阵,即det[R]=1且RR′=RR=1 于是对于空间中N矢量m的点旋转关系表示为 m= Rm (3.39) 类似地,设视平面上直线l的N向量为n,当摄象机旋转,新旧N向量之间的关系为 n= R'n (3.40) 写成分量形式有 命题316在R=(R),=123的旋转变换下,视平面上”点将被映射为b),并 满足 RMa+ R2b+ r3f Rga+R236+ R33f Ra+R、b+R (341) b Rua+R236+Rnf
3.7.1旋转变换 摄象机的旋转用旋转矩阵 R = (Rij),i, j = 1,2,3表示，注意到旋转矩阵在空间上必须满足 保角、保距等性质，因而R为正交的单位矩阵，即det[R] =1且RR R R I t t = = 。 于是对于空间中N矢量m的点旋转关系表示为 m R m t = (3.39) 类似地，设视平面上直线l的N向量为n，当摄象机旋转，新旧N向量之间的关系为 n R n t = (3.40) 写成分量形式有 命题3.16 在 R = (R ),i, j = 1,2,3 ij 的旋转变换下，视平面上 (a ,b) 点将被映射为(a¢,b¢) ，并 满足： ï ï î ï ï í ì + + + + = + + + + = R a R b R f R a R b R f b f R a R b R f R a R b R f a f 13 23 33 12 22 32 13 23 33 11 21 31 ' ' (3.41)
命题317在R=(R)ij=12,3的旋转变换下,视平面上的直线4+B+C=0被映射成 Ax+By+C'=0,并满足以下关系, A'=k(R,A+R2B+R,clf B=k(R2A+R2B+R2C/∫) C=k(RA+R3B+RC/f) 其中k为非0的任意常数。 X 旋转矩阵的计算 在视觉研究中往往关心的是通过某些条件 求解单位正交变换矩阵R。为了讨论的方便, 从现在起对N矢量规定方向: 1.点的N向量m=(mm2m)中的 m120,这是由于所看到的物体均在视点的前 万; 图321直线与它的N向量之间的关系 2视平面上的直线带有方向,直线的N向量 n与直线之间的关系满足右手螺旋法则,如图 321所示。 基于以上约定,有
命题 3.17 在R = (R ),i, j =1,2,3 ij 的旋转变换下，视平面上的直线Ax + By + C = 0 被映射成 A¢x + B¢y + C¢ = 0，并满足以下关系， ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì = + + = + + = + + C k R A R B R C f B k R A R B R C f A k R A R B R C f 13 23 33 12 22 32 11 21 31 ' ' ' 其中k为非0的任意常数。 旋转矩阵的计算 在视觉研究中往往关心的是通过某些条件 求解单位正交变换矩阵R。为了讨论的方便， 从现在起对N矢量规定方向： 1. 点 的 N 向 量 ( ) t m = m1 m2 m3 中 的 0 m3 ³ ，这是由于所看到的物体均在视点的前 方； 2.视平面上的直线带有方向，直线的N向量 n与直线之间的关系满足右手螺旋法则，如图 3.21所示。 基于以上约定，有 O X Y Z x y o n l 图3.21 直线与它的N向量之间的关系
定理313当给定视平面上的点P和过该点的直线l,同时也给定旋转后对应点P′ 和对应过该点的直线'后,则由P到Pl到〃(包括指向的旋转变换矩阵R可以被 唯一地确定。 R X R2R Z R (b) 图32坐标变换关系 证明:设点P和P的N矢量分别m和m,直线/和l的N矢量分别为n和n,由邻接关 系有 (m,n)=0 (m,n)=0 l=n×n ,n2,m的关系如图32(a)所示
定理 3.13 当给定视平面上的点 P 和过该点的直线 l，同时也给定旋转后对应点 P' 和对应过该点的直线 l' 后，则由 P 到 P'、l 到 l' (包括指向)的旋转变换矩阵 R 可以被 唯一地确定。 O X Y Z x y o n l P u m l n m m' n' l' O O e1 e2 e3 O R R2 1 t R2 R1 (a) (b) 图3.22 坐标变换关系 证明：设点P和P' 的N矢量分别m和m' ，直线l和l' 的N矢量分别为n和n' ，由邻接关 系有 î í ì ¢ ¢ = = ( , ) 0 ( , ) 0 m n m n 令 î í ì = ´ = ´ u' n' m' u n m u, n,m的关系如图3.22(a)所示
由于u,n,m和n,n',m各自是相互正交的单位矢量,分别用其构成3×3矩阵并令之 和R,有 R=(u n m) R2=(un'n’m) 因而R和R2都是旋转变换矩阵,R将以{1e2e}为基底的坐标系变换到 {unm}为基底的坐标系,B2将以{e1e2c}为基底的坐标系变换到以u'n'm 为基底的坐标系,故R(=R)将unm}变换到ee2e},RR将lnm}变 到{'n'm’(如图322b所示),于是R可写为 R=RR=(u'n' mu n m) [证毕] 由于实际处理中并非总能确定直线的方 向,往往是双解,需有一个从双解中选择合 适解的问题。 e 图3.23旋转轴1与旋转角θ
q m m' l O 图 3.23 旋转轴 l 与旋转角q 由于u,n,m和u¢,n¢,m¢各自是相互正交的单位矢量，分别用其构成3´ 3 矩阵并令之为R1 和R2，有 î í ì = ¢ ¢ ¢ = ( ) ( ) 2 1 R u n m R u n m 因 而 R1 和 R2 都是旋转变换矩阵，R1 将以 {e1 e2 e3} 为基底的坐标系变换到以 {u n m}为基底的坐标系，R2 将以{e1 e2 e3}为基底的坐标系变换到以{u¢ n¢ m¢} 为基底的坐标系，故 ( ) 1 1 1 t R = R - 将{u n m}变换到{e1 e2 e3} ， t R2R1 将{u n m} 变换 到{u¢ n¢ m¢}(如图3.22(b)所示)，于是R可写为 ( )( ) t t R = R2R1 = u ' n' m' u n m [证毕] 由于实际处理中并非总能确定直线的方 向，往往是双解，需有一个从双解中选择合 适解的问题