<决策理论和方法>习题1998年 第一章概论 什么是决策?什么是决策分析?决策问题的特点是什么?决策问题有哪些要素? 用决策树表示下列问题 1.火灾保险 2.易腐品进货问题 3.油井钻探问题:某公司拥有一块可能有油的土地,该公司可以自己钻井也可 以出租给其它公司开采;若出租土地租约有两种形式①无条件出租租金45 万元②有条件出租租金依产量而定:产量在20万桶或以上时每桶提成5元; 产量不足20万桶时不收租金 设钻井费用为75万元有油时需另加采油设备费25万元油价为15元/桶(为 了简化可以将油井产量离散化分为4种状态:无油产油5万桶,产油20万桶, 产油50万桶) 三、*设油井钻探问题如下:每次钻井费用10万元有油时售油收入100万元有油 的概率为0.2,无油的概率为0.8问无油时该继续钻井否?若该,钻几次仍无油 时停止钻井? 第二章主观概率和先验分布( Subjective Probability& Prior distribution) 为什么要引入主观概率?试比较主、客观概率的异同 如何设定先验分布 、1.阅读<决策分析>§634 2.两人一组一人充当决策人,一人充当决策分析人,就来年国民经济增长率 的先验分布进行对话并画出对话所得的图形曲线.互换角色,就就来年通 涨率的先验分布进行对话. 三、设某个决策人认为产品售出400件的可能性是售出800件的可能性的1/3,是 售出1200件的可能性的12,与售出1600件的可能性相同,售出800件的可 能性售岀1200件的可能性的两倍,是售岀1600件的可能性的3倍;售岀1200 件的可能性比售出1600件的可能性的大2倍.求该决策人关于产品销售量的主 观概率分布
<决策理论和方法>习题 1998 年 第一章 概论 一、什么是决策? 什么是决策分析? 决策问题的特点是什么? 决策问题有哪些要素? 二、用决策树表示下列问题: 1. 火灾保险 2. 易腐品进货问题 3. 油井钻探问题: 某公司拥有一块可能有油的土地, 该公司可以自己钻井,也可 以出租给其它公司开采; 若出租土地,租约有两种形式,①无条件出租,租金 45 万元 ②有条件出租,租金依产量而定: 产量在 20 万桶或以上时,每桶提成 5 元; 产量不足 20 万桶时不收租金. 设钻井费用为 75 万元,有油时需另加采油设备费 25 万元,油价为 15 元/桶.(为 了简化,可以将油井产量离散化,分为4种状态: 无油,产油5万桶, 产油20万桶, 产油 50 万桶) 三、* 设油井钻探问题如下: 每次钻井费用 10 万元,有油时售油收入 100 万元,有油 的概率为 0.2, 无油的概率为 0.8.问无油时该继续钻井否? 若该, 钻几次仍无油 时停止钻井? 第二章 主观概率和先验分布(Subjective Probability & Prior Distribution) 一、为什么要引入主观概率? 试比较主、客观概率的异同. 如何设定先验分布? 二、1. 阅读<决策分析> §6.3.4 2. 两人一组,一人充当决策人, 一人充当决策分析人, 就来年国民经济增长率 的先验分布进行对话,并画出对话所得的图形曲线. 互换角色, 就就来年通 涨率的先验分布进行对话. 三、设某个决策人认为产品售出 400 件的可能性是售出 800 件的可能性的 1/3, 是 售出 1200 件的可能性的 1/2, 与售出 1600 件的可能性相同, 售出 800 件的可 能性售出 1200 件的可能性的两倍, 是售出 1600 件的可能性的 3 倍; 售出 1200 件的可能性比售出 1600 件的可能性的大 2 倍. 求该决策人关于产品销售量的主 观概率分布
第三章效用、损失和风险(Utiy、Loss&Risk) 什么是效用?基数效用与序数效用有何区别?采用效用进行决策分析有何利弊? 某人请3个朋友吃饭,他不知道究竟能来几人.设各种状态的主观概率如下表所 设此人的效用函数u=X-2y-z2.其中X是为朋友预订的客饭有人吃的份数y 状态 e e e 来客人数01 3 丌() 1/8141/443/8 是来了吃不到饭的客人数z是预订了客饭没有人吃的份数求他该为朋友订几份客 饭?(设每人吃一份,不得分而食之) 三、某人有资产1000用于购买股票A种股票有70%的机会增值一倍30%的可能连 本丢掉;B种股票有60%的机会增值-倍40%的可能连本丢掉.设此人的效用U 与收益Ⅹ的函数关系是U(x)=n(x+3000)决策人用m购A种股票,1000-m购 B种股票求m. 四、某厂考虑两种生产方案产品A可以0.3的概率获利5万元以0.2的概率获利8 万元,以0.5的概率获利9万元;产品B肯定可以获利8万元.决策人甲的效用 函数为线性即U1(x)=x决策人乙的效用函数 U(x)=X2/ 当0≤X≤5 X2/5当5≤X≤10 1画出两个决策人的效用曲线 2甲乙两个决策人分别作何选择? 3.若生产AB两种产品均需另加5万元的固定成本,甲乙两个决策人又该作何选 择 五、画出你的关于货币的效用曲线并作简要说明 六、把一副扑克牌的四张A取岀,牌面向下洗匀后排在桌面上你可以从下列两种玩 法中任选一种 先任意翻开张再决定:a)付岀35元叫停;或者b)继续翻第二张若第二 张为红你可收入100元第二张为黑则付出100元 ()任意翻开一张,若此牌为红你可收入100元为黑则付出100元; 1.画出此问题的决策树
第三章 效用、损失和风险 (Utility 、Loss & Risk) 一、什么是效用? 基数效用与序数效用有何区别? 采用效用进行决策分析有何利弊? 二、某人请 3 个朋友吃饭, 他不知道究竟能来几人. 设各种状态的主观概率如下表所 示. 设此人的效用函数 u=x-2y-z 2 .其中 x 是为朋友预订的客饭有人吃的份数, y 状态 i θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 来客人数 0 1 2 3 ( ) i 1/8 1/4 1/4 3/8 是来了吃不到饭的客人数, z 是预订了客饭没有人吃的份数, 求他该为朋友订几份客 饭? (设每人吃一份, 不得分而食之) 三、某人有资产 1000 用于购买股票,A 种股票有 70%的机会增值一倍 30%的可能连 本丢掉; B 种股票有 60%的机会增值一倍 40%的可能连本丢掉. 设此人的效用 U 与收益 X 的函数关系是 U(x)=ln(x+3000).决策人用 m 购 A 种股票,1000- m 购 B 种股票.求 m. 四、某厂考虑两种生产方案产品 A 可以 0.3 的概率获利 5 万元, 以 0.2 的概率获利 8 万元, 以 0.5 的概率获利 9 万元; 产品 B 肯定可以获利 8 万元. 决策人甲的效用 函数为线性,即 U1(x)= x; 决策人乙的效用函数 U2(x)= x 2 /5 当 0≤ x≤ 5 4x-10- x 2 /5 当 5≤ x≤ 10 1.画出两个决策人的效用曲线. 2.甲乙两个决策人分别作何选择? 3.若生产 AB 两种产品均需另加 5 万元的固定成本, 甲乙两个决策人又该作何选 择? 五、画出你的关于货币的效用曲线并作简要说明. 六、把一副扑克牌的四张 A 取出,牌面向下洗匀后排在桌面上.你可以从下列两种玩 法中任选一种: ⑴ 先任意翻开一张再决定: a)付出 35 元,叫停; 或者 b)继续翻第二张,若第二 张为红你可收入 100 元, 第二张为黑则付出 100 元; ⑵ 任意翻开一张, 若此牌为红你可收入 100 元,为黑则付出 100 元; 1. 画出此问题的决策树
2.设某决策人的效用函数u=ln(1+‰0),他该选何种玩法? 七、( Peterberg Paradox)-个人付出C元即可参加如下的赌博抛—枚硬币若第N 次开始出现正面,则由庄家付给2N元在这种赌博中,参加者的期望收益为 = 但是,很少有人愿意出较大的C.试用效用理论对此加以证明 第四章贝叶斯分析( Bayesean Analysis) 1.风险型和不确定型决策问题的区别何在?各有哪些求解方法? 2.什么是贝叶斯分析?贝叶斯分析的正规型与扩展型有何区别 、用 Mo Inor的六项条件逐一衡量下列原则:① Minmax② Minmin③ ) Hurwitz④ Savage-Hiehans sLap l ace 三、不确定型决策问题的损失矩阵如下表.用上题所列五种原则分别求解.(在用 Hurwitz原则求解时,讨论λ的取值对结果的影响) 0 1 12 e2|-18 24 6 13 e 64|-14 10 四、某决策问题的收益矩阵如下表.试用①最大可能值原则② Bayes原则③E-V原则 ④贝努里原则(U=0.102)分别求解 030 e5667 π(e)0.10.20.30.10.10.10.1 2 6 2 1.5 4 8 763 3 4 6 4 10 12 6 5 五、油井钻探问题(续第二章二之3) 1.设各种状态的主观概率分布如下表且决策人风险中立,决策人该选择什么行动? 产油量50万桶「20万桶「5万桶无油1 e n(e i 2.若可以通过地震勘探(试验费12万元)获得该地区的地质构造类型x (j=1,2,3,4)的信息.设已知P(x|6)如下表 ei\X X e121/3112 82 9/16 3/16 1/8 1/8 11241%6 1/8
2. 设某决策人的效用函数 u= ln(1+ 200) x ,他该选何种玩法? 七、(Peterberg Paradox)一个人付出 C 元即可参加如下的赌博:抛一枚硬币,若第 N 次开始出现正面, 则由庄家付给 2 N 元. 在这种赌博中, 参加者的期望收益为 2 1 N N= pN = 2 1 2 1 N N = ∞ 但是, 很少有人愿意出较大的 C. 试用效用理论对此加以证明. 第四章 贝叶斯分析 (Bayesean Analysis) 一、 1. 风险型和不确定型决策问题的区别何在? 各有哪些求解方法? 2. 什么是贝叶斯分析? 贝叶斯分析的正规型与扩展型有何区别? 二、用 Molnor 的六项条件逐一衡量下列原则: ①Minmax②Minmin③Hurwitz④ Savage-Hiehans⑤Laplace 三、不确定型决策问题的损失矩阵如下表. 用上题所列五种原则分别求解.(在用 Hurwitz 原则求解时,讨论λ的取值对结果的影响) a1 a2 a3 a4 θ1 -4 -10 -12 -8 θ2 -18 -24 -6 -13 θ3 -6 0 -6 -10 θ4 -14 -8 -10 -4 四、某决策问题的收益矩阵如下表. 试用①最大可能值原则②Bayes 原则③E-V 原则 ④贝努里原则(U=0.1C 2 )分别求解 θi θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 θ7 π(θi) 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.1 a1 2 3 7 6 1 2 1.5 a2 4 8 6 9 3 4 2 a3 6 4 3 10 12 6 5 五、油井钻探问题(续第二章二之 3) 1. 设各种状态的主观概率分布如下表且决策人风险中立,决策人该选择什么行动? 产油量 50 万桶 20 万桶 5 万桶 无油 θi θ1 θ2 θ3 θ4 π(θi) 0.1 0.15 0.25 0.5 2. 若可以通过地震勘探(试验费 12 万元)获得该地区的地质构造类型 xj (j=1,2,3,4)的信息.设已知 P(x|θ)如下表 θi \ xj x1 x2 x3 x4 θ1 7/12 1/3 1/12 0 θ2 9/16 3/16 1/8 1/8 θ3 11/24 1/6 1/4 1/8
匚643/16114813/485/16 ①求后验概率;②画决策树 ③进行贝叶斯分析,求贝叶斯规则 ④讨论正规型贝叶斯分析的求解步骤 ⑤求完全信息期望值EⅦP丨和采样信息期望值EVS 六、1.医生根据某病人的症状初步诊断病人可能患A、B、C三种病之一,得这三 种病的概率分别是0.4、0.3、0.3.为了取得进一步的信息,要求病人验血, 结果血相偏高.得A、B、C三种病血相偏高的可能性分别是0.8、0.6、0.2. 验血后医生判断患者得A、B、三种病的概率各是多少? 2.(续1)若得A、B、C三种病的白血球计数的先验分布分别是在[8000,1000] 700,9000]、[600,8500]区间上的均匀分布,化验结果是8350-8450 求此时病人患三种病的可能性各是多少? 七、某公司拟改变产品的包装,改变包装后产品的销路不能确定,公司经理的估计是 销路差θ,销路一般日。销路好日 0.2 0.3 0.5 销路与收益的关系如下表 e,8,01 改变包装 600 包装不变 0 为了对销路的估计更有把握,公司先在某个地区试销改变了包装的产品.根据以往的 经验,试销的结果与产品在将来的实际销路有如下关系 000 0.20.40.4 0.10.9 1.画出该决策问题的决策树 2.确定与各种试销结果相应的贝叶斯行动; 分析试销费用与是否试销的关系 第五章随机优势( Stochastic Dominance) 、用随机优势原则求解决策问题有何利弊? 、决策人面临两种选择:①在[-1,1上均匀分布;②在[-A,B]上均匀分布其中(1) A=B=2;(2)A=0.5,B=1.5;(3)A=2,B=3.试用FSD和SSD判别在上述三种情况下①与 ②何者占优势.(设决策人的效用函数u∈U2) 三、已知收益如下表,用优势原则筛选方案.(设决策人的效用函数u∈U2) 0n(e)a,a2|a3a41 620.21212
θ4 3/16 11/48 13/48 5/16 ①求后验概率; ②画决策树; ③进行贝叶斯分析,求贝叶斯规则; ④讨论正规型贝叶斯分析的求解步骤; ⑤求完全信息期望值 EVPI 和采样信息期望值 EVSI. 六、 1. 医生根据某病人的症状初步诊断病人可能患 A、B、C 三种病之一, 得这三 种病的概率分别是 0.4、0.3、0.3. 为了取得进一步的信息,要求病人验血, 结果血相偏高. 得 A、B、C 三种病血相偏高的可能性分别是 0.8、0.6、0.2. 验血后医生判断患者得 A、B、C 三种病的概率各是多少? 2.(续 1)若得 A、B、C 三种病的白血球计数的先验分布分别是在[8000, 1000] 、 [7000, 9000] 、[6000, 8500]区间上的均匀分布,化验结果是 8350-8450. 求此时病人患三种病的可能性各是多少? 七、某公司拟改变产品的包装, 改变包装后产品的销路不能确定,公司经理的估计是 销路差θ 1 销路一般θ 2 销路好θ 3 π(θ) 0.2 0.3 0.5 销路与收益的关系如下表 θ 1 θ 2 θ 3 改变包装 -40 0 600 包装不变 0 0 0 为了对销路的估计更有把握, 公司先在某个地区试销改变了包装的产品.根据以往的 经验,试销的结果与产品在将来的实际销路有如下关系: x i θi x1 x2 x3 θ 1 0.8 0.2 0 θ 2 0.2 0.4 0.4 θ 3 0 0.1 0.9 1. 画出该决策问题的决策树; 2. 确定与各种试销结果相应的贝叶斯行动; 3. 分析试销费用与是否试销的关系. 第五章 随机优势(Stochastic Dominance) 一、用随机优势原则求解决策问题有何利弊? 二、决策人面临两种选择:①在[-1, 1]上均匀分布;②在[-A, B]上均匀分布其中⑴ A=B=2; ⑵A=0.5, B=1.5; ⑶A=2, B=3. 试用 FSD 和 SSD 判别在上述三种情况下①与 ②何者占优势.(设决策人的效用函数 u∈U 2 ) 三、已知收益如下表, 用优势原则筛选方案. (设决策人的效用函数 u∈U 2 ) θi π(θi) a1 a2 a3 a4 θ1 0.1 2 -1 -1 -1 θ2 0.2 1 2 1 2
83 0.3 0 0 0.4 决策人的效用函数uεU。试分析他对下表所示的决策问题应作何选择. 1/61/6161/61/61/6 3 3 a2 2 2 2 第二篇多准则决策分析(MCDM 第八章多属性效用函数( Multi-attribution utility function) 某企业拟在若干种产品中选一种投产,每种产品的生产周期均为两年.现仅考 虑两种属性:第一年的现金收益Ⅹ和第二年的现金收益Y.设现金收益可以精确 预计;企业的偏好是①X、Y是互相偏好独立的;②xxx'◇x≥x;③yxy<y ≥y④(100,400)~(200,30),(0,600)~(100,200).设有下列产品对 (1).(0,100)(100,100 (2).(0,400)(200,200 (3).(100,500)(200,300) (4).(0,500)(150,200) 每对产品只能生产其中之一.企业应该作何选择,为什么? 二、表一、表二分别给出了两个不同的二属性序数价值函数.分别判断Ⅹ是否偏好 独立于Y,Y是否偏好独立于X. 表 Y y y y3 y4 12 087 三、某人拟从甲地到乙地.他考虑两个因素,一是费用G,一是旅途花费的时间t,设 ①他对c、t这两个属性是互相效用独立的,②费用及时间的边际效用都是线性 的,且边际效用随费用和时间的增加而减少,③他认为(20,4)~(10,5),(20,5) 06为 1.求此人的效用函数 2.若此人面临3种选择:a,乘火车,3小时到达,30元钱;b,自己开车,有3/4的 机会4小时到达化汽油费10元,1/4的机会6小时到达化汽油费12元;c,先 化2元乘公共汽车到某地搭便车,1/4的机会5小时到达,1/2的机会6小时到 达,1/4的机会8小时到达.求他应作何种选择 第十章多属性决策问题( Multi-attribution Decision-making Problem)
θ3 0.3 0 1 1 0 θ4 0.4 4 0 1 0 四、决策人的效用函数 u∈U d .试分析他对下表所示的决策问题应作何选择. 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 a1 0 3 3 1 3 3 a2 2 1 4 2 2 2 第二篇 多准则决策分析(MCDM) 第八章 多属性效用函数（Multi-attribution utility function） 一、某企业拟在若干种产品中选一种投产，每种产品的生产周期均为两年. 现仅考 虑两种属性: 第一年的现金收益 X 和第二年的现金收益 Y. 设现金收益可以精确 预计; 企业的偏好是 ①X、Y 是互相偏好独立的;②x x x’x≥x’ ;③y y y’y ≥y’④(100,400)~(200,300), (0,600) ~(100,200). 设有下列产品对: (1). (0,100) (100,100) (2).(0,400) (200,200) (3). (100,500) (200,300) (4). (0,500) (150,200) 每对产品只能生产其中之一. 企业应该作何选择,为什么? 二、表一、表二分别给出了两个不同的二属性序数价值函数. 分别判断 X 是否偏好 独立于 Y, Y 是否偏好独立于 X. 表一 表二 Y Y y1 y2 y3 y4 y1 y2 y3 y4 x1 8 10 9 12 x1 12 9 8 5 X x2 2 11 9 14 X x2 13 11 10 9 x3 1 3 2 4 x3 10 8 7 4 x4 7 6 5 2 三、某人拟从甲地到乙地.他考虑两个因素,一是费用 C,一是旅途花费的时间 t, 设 ①他对 c、t 这两个属性是互相效用独立的,②费用及时间的边际效用都是线性 的, 且边际效用随费用和时间的增加而减少,③他认为(20,4) ~ (10,5), (20,5) ~(10,6 1 8 ); 1.求此人的效用函数 2.若此人面临 3 种选择:a,乘火车,3 小时到达,30 元钱; b,自己开车,有 3/4 的 机会 4 小时到达化汽油费 10 元,1/4 的机会 6 小时到达化汽油费 12 元; c, 先 化 2 元乘公共汽车到某地搭便车,1/4 的机会 5 小时到达,1/2 的机会 6 小时到 达,1/4 的机会 8 小时到达. 求他应作何种选择. 第十章 多属性决策问题(Multi-attribution Decision-making Problem)