第十章多属性决策问题( Multi-attribute decision- making problem) 即:有限方案多目标决策问题 主要参考文献:68,112,152 5101概述 MC. 决策矩阵(属性矩阵、属性值表) 方案集X={x1x2,…,xm} 方案x的属性向量F={y1…,yn} 当目标函数为J时,y=J(x) 各方的属性值可列成表或称为决策矩阵) x y yi y y 例:学校扩建 学校序号费用万元)平均就读距离kn 44 2.0 例 表10.1 研究生院试评估的部分原始数据 j人均专著生师比科研经费 金期毕业率 (本人)y1y2 (万元年)y3(%)y4 5000 4000 10 s2822 1.2
10- 1 第十章 多属性决策问题(Multi-attribute Decision-making Problem) 即: 有限方案多目标决策问题 主要参考文献: 68， 112， 152 §10.1 概述 MA MC MO 一、决策矩阵(属性矩阵、属性值表) 方案集 X = { x x x 1, 2 m , , } 方案 xi 的属性向量 Yi = { yi1 ,… , yin } 当目标函数为 f j 时, yij = f j ( xi ) 各方的属性值可列成表(或称为决策矩阵): y1 … y j … yn x1 y11 … y1 j … y1n … … … … … … xi yi1 … yij … yin … … … … … … xm ym1 … ymj … ymn 例: 学校扩建 学校序号 费用(万元) 平均就读距离 km 1 60 1.0 2 50 0.8 3 44 1.2 4 36 2.0 5 44 1.5 6 30 2.4 例： 表 10.1 研究生院试评估的部分原始数据 j i 人均专著 (本/人) y1 生师比 y2 科研经费 (万元/年) y3 逾期毕业率 (%) y4 1 0.1 5 5000 4.7 2 0.2 7 4000 2.2 3 0.6 10 1260 3.0 4 0.3 4 3000 3.9 5 2.8 2 284 1.2
二、数据预处理 数据的预处理(又称规范化)主要有如下三种作用。 首先,属性值有多种类型。有些指标的属性值越大越好,如科硏成果数科硏经费等是 效益型;有些指标的值越小越好,称作成本型。另有一些指标的属性值既非效益型又非成本 型。例如硏究生院的生师比,一个指导教师指导4至6名硏究生既可保证教师满工作量,也 能使导师有充分的科硏时间和对硏究生的指导时间,生师比值过高,学生的培养质量难以保 证;比值过低;教师的工作量不饱满。这几类属性放在同一表中不便于直接从数值大小来判 断方案的优劣,因此需要对属性表中的数据进行预处理,使表中任一属性下性能越优的值在 变换后的属性表中的值越大 其次是非量纲化。多目标评估的困难之一是指标间不可公度,即在属性值表中的每一列 数具有不同的单位(量纲)。即使对同一属性,采用不同的计量单位,表中的数值也就不 同。在用各种多目标评估方法进行评价时,需要排除量纲的选用对评估结果的影响,这就是 非量纲化,亦即设法消去(而不是简单删去)量纲,仅用数值的大小来反映属性值的优劣。 第三是归一化。原属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大,如总经费即 使以万元为单位,其数量级往往在干(103)万(104间,而生均在学期间发表的论文、专著 的数量、生均获奖成果的数量级在个位(10减或小数(10-)之间,为了直观,更为了便于 采用各种多目标评估方法进行比较,需要把属性值表中的数值归-化,即把表中数均变换到 [0,1]区间上 此外还可在数据预处理时用非线性变换或其他办法来解决或部分解决目标间的不完全 补偿性 常用的数据预处理方法有下列几种。 (1)线性变换 效益型属性:=y1y (10-1) 变换后的属性值最差不为0,最佳为1 成本型属性=1-y/y (10-2) 变换后的属性值最佳不为1,最差为0 y 变换后的属性值最差不为0,最佳为1,且是非线性变换 表10.2表10.1经线性变换后的属性值 1(y)|=3(y3) (y4) 0.0357 0.2553 0.0714 0.8000 0.5319 0.2143 0.2520 0.3617 0.4000 0.107 0.1702 0.3077 10000 0.056 7447 1.0000 (2)标准0-1变换 10-2
10- 2 二、数据预处理 数据的预处理(又称规范化)主要有如下三种作用。 首先，属性值有多种类型。有些指标的属性值越大越好，如科研成果数、科研经费等是 效益型；有些指标的值越小越好，称作成本型。另有一些指标的属性值既非效益型又非成本 型。例如研究生院的生师比，一个指导教师指导 4 至 6 名研究生既可保证教师满工作量， 也 能使导师有充分的科研时间和对研究生的指导时间，生师比值过高，学生的培养质量难以保 证；比值过低；教师的工作量不饱满。这几类属性放在同一表中不便于直接从数值大小来判 断方案的优劣，因此需要对属性表中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越优的值在 变换后的属性表中的值越大。 其次是非量纲化。多目标评估的困难之一是指标间不可公度，即在属性值表中的每一列 数具有不同的单位(量纲)。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不 同。在用各种多目标评估方法进行评价时，需要排除量纲的选用对评估结果的影响，这就是 非量纲化，亦即设法消去(而不是简单删去)量纲，仅用数值的大小来反映属性值的优劣。 第三是归一化。原属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，如总经费即 使以万元为单位，其数量级往往在千( 103 )、万( 104 )间，而生均在学期间发表的论文、专著 的数量、生均获奖成果的数量级在个位( 100 )或小数( 10−1 )之间，为了直观，更为了便于 采用各种多目标评估方法进行比较，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数均变换到 ［0，1］区间上。 此外，还可在数据预处理时用非线性变换或其他办法来解决或部分解决目标间的不完全 补偿性。 常用的数据预处理方法有下列几种。 (1)线性变换 效益型属性： zij = yij / y j max (10-1) 变换后的属性值最差不为 0，最佳为 1 成本型属性 zij = 1 - yij / y j max (10-2) 变换后的属性值最佳不为 1，最差为 0 或 zij ’ = y j min / yij (10-2’) 变换后的属性值最差不为 0，最佳为 1, 且是非线性变换 表 10.2 表 10.1 经线性变换后的属性值 j i z1 ( y1 ) z3 ( y3 ) z4 ( y4 ) z4 ' ( y4 ) 1 0.0357 1.0000 0.0000 0.2553 2 0.0714 0.8000 0.5319 0.5455 3 0.2143 0.2520 0.3617 0.4000 4 0.1071 0.6000 0.1702 0.3077 5 1.0000 0.0568 0.7447 1.0000 (2) 标准 0-1 变换
效益型:=y-2 成本型 (10.4) 特点:每一属性,最佳值为1,最差值为0,而且变换后的差值是线性的 表10.3表10.1经标准0-1变换后的属性值 1(y1)3(y3) (y4) 0.0000 1.0000 0.0000 0.7880 0.7142 .1852 0.2070 0.4857 0.0741 0.5759 0.2286 10000 0.0000 1.0000 (3)最优值为给定区间时的变换 y 0 i1 4y681012 图10.1最优属性值为区间时的数掘处理 设给定的最优属性区间为[y,y 1-(y9-y)y·y)若y 若y≤y≤y 10.5) (y2-y)(y”-y) 其中,y’为无法容忍下限y”为无法容忍上限 表104 表10.1之属性2的数据处理 0.8333 0.6666 0.0000 10-3
10- 3 效益型： zij = y y y y ij j j j − − min max min (10.3) 成本型: zij = y y y y j ij j j max max min − − (10.4) 特点：每一属性，最佳值为 1，最差值为 0，而且变换后的差值是线性的. 表 10.3 表 10.1 经标准 0-1 变换后的属性值 j i z1 ( y1 ) z3 ( y3 ) z4 ( y4 ) 1 0.0000 1.0000 0.0000 2 0.0370 0.7880 0.7142 3 0.1852 0.2070 0.4857 4 0.0741 0.5759 0.2286 5 1.0000 0.0000 1.0000 (3)最优值为给定区间时的变换 设给定的最优属性区间为 [ y j 0 , y j * ] 1- ( y j 0 - yij )/( y j 0 - y j ’) 若 yij ＜ y j 0 zij = 1 若 y j 0 ≤ yij ≤ y j * (10.5) 1 - ( yij - y j * )/ ( y j ”- y j * ) 若 yij ＞ y j * 其中, y j ’为无法容忍下限, y j ”为无法容忍上限。 表 10.4 表 10.1 之属性 2 的数据处理 j i 生师比 y2 z2 1 5 1.0000 2 7 0.8333 3 10 0.3333 4 4 0.6666 5 2 0.0000
(4)向量规范化 (10.6) 特点:规范化后,各方案的同一属性值的平方和为1;无论成本型或效益型,从属性值的大 小上无法分辨。常用于计算各方案与某种虚拟方案(如理想点或负理想点)的欧氏距离的场 合。 表中最右一列是属性2经式(10.5变换后的值再向量规范化的结果 表10.5表10.1经向量规范化后的属性值 1(y)=3(y3)=4(y4) 2(22) 0.0346 0.6956 0.6482 0.6666 12345 0.0693 0.5565 0.3034 0.5555 0.2078 0.1753 0.4137 0.5378 0.4444 0.9695 0.0398 0.1655 0.0000 (5)原始数据的统计处理 (10.7) 其中,y-m2是各方案属性j的均值m为方案数M的取值可在05075之间 式(10.7)可以有多种变形,例如: E0′=0l(y2-y)/+075 (10.7) 其中σ,为属性j的均方差当高端均方差大于2.5σ,时变换后的值均为100这种变换 的结果与专家打分的结果比较吻合 表106表10.1之属性1用不同方法处理结果比较 人均专著线性变换用10.7式用10.7式 (本人)y1 (M=0.7) 0.0357 0.5950 0.6625 0.0714 0.6100 0.6750 0.2143 0.6700 0.7250 0.3 0.1071 0.6250 0.6875 1.0000 1.0000 1.0000 三、方案筛选 1优选法( Dominance) 淘汰劣解
10- 4 (4)向量规范化 z y y ij ij ij i m = = 2 1 (10.6) 特点：规范化后，各方案的同一属性值的平方和为 1；无论成本型或效益型，从属性值的大 小上无法分辨。常用于计算各方案与某种虚拟方案(如理想点或负理想点)的欧氏距离的场 合。 表中最右一列是属性 2 经式(10.5)变换后的值再向量规范化的结果. 表 10.5 表 10.1 经向量规范化后的属性值 j i z1 ( y1 ) z3 ( y3 ) z4 ( y4 ) z2 ' ( z2 ) 1 0.0346 0.6956 0.6482 0.6666 2 0.0693 0.5565 0.3034 0.5555 3 0.2078 0.1753 0.4137 0.2222 4 0.1039 0.4174 0.5378 0.4444 5 0.9695 0.0398 0.1655 0.0000 (5) 原始数据的统计处理 zij = y y y y ij j j j − − _ max _ (1.00 - M) + M (10.7) 其中, y j _ = 1 m 1 yij i m = 是各方案属性 j 的均值, m 为方案数, M 的取值可在 0.5-0.75 之间. 式(10.7)可以有多种变形, 例如: zij ' = 0.1( ) / 0.75 _ y y ij − j j + (10.7’) 其中 j 为属性 j 的均方差,当高端均方差大于 2.5 j 时变换后的值均为 1.00.这种变换 的结果与专家打分的结果比较吻合. 表 10.6 表 10.1 之属性 1 用不同方法处理结果比较 j i 人均专著 (本/人) y1 线性变换 用 10.7 式 (M=0.7) 用 10.7’式 1 0.1 0.0357 0.5950 0.6625 2 0.2 0.0714 0.6100 0.6750 3 0.6 0.2143 0.6700 0.7250 4 0.3 0.1071 0.6250 0.6875 5 2.8 1.0000 1.0000 1.0000 三、方案筛选 1.优选法(Dominance) 淘汰劣解
2满意值法(逻辑乘即与门 Conjunctive) 规定y=12…,n(切除值) 当yn2yj=1且严2且n均满足时方案x被接受 主要缺点:目标间不能补偿,例研究生录取时教委规定的单科分数线 3逻辑和法 Disjunctive或门) 规定yj=1,2…n若y2y=1或2或…n时方案x被接受往往作为上法的补充 这些方法用于初始方案过的预选不能用于方案排序 ordering一次序,优先序 也不能用于方案分等 Ranking一量化优先程度 §102加权和法 引言 多目标决策的特点:目标间的矛盾性,各属性值不可公度 这二难点不可公度虽可通过属性矩阵的规范化得到部分解决,但前述规范化过程不能反映 目标的重要性 权:目标重要性的度量,即衡量目标重要性的手段 权的三重含义:①决策人对目标的重视程度 ②各目标属性值的差异程度 ③各目标属性值的可靠程度, 权应综合反映三种因素的作用 通过权,将多目标决策问题化为单目标求解 二、字典序法与一般加权和法 1.字典序法 v1》w2…,时的加权和法 即某个目标特别重要,实质上是单目标决策,最重要目标的属性值相同时,再比较第二 重要的属性,如此继续 2.一般加权和法 加权和法的求解步骤很简单 ①属性表规范化,得=i=1,…,m,j=1,…,n ②确定各指标的权系数w,j=1,…n ④根据指标C=∑ 分=的大小排出方案(=1…,m)的优劣 加权和法,包括评分打点,由于其简单明了(直观),是人们最经常使用的多目标评价 方法。采用加权和法的关键在于确定指标体系并设定各最低层指标的权系数:有了指标体系 就可以设法利用统计数据或专家打分给出属性值表;有了权系数,具体的计算和排序就十分 简单了。正因为此,以往的各种实际评估过程中总要把相当大的精力和时间用在确定指标体 系和设定权上 10-5
10- 5 2.满意值法(逻辑乘 即与门 Conjunctive) 规定 y j 0 j=1,2,… ,n (切除值) 当 yij ≥ y j 0 j=1 且 j=2 且… j=n 均满足时,方案 xi 被接受 主要缺点：目标间不能补偿，例研究生录取时教委规定的单科分数线. 3.逻辑和法(Disjunctive 或门) 规定 y j * j=1,2,… ,n 若 yij ≥ y j * j=1 或 2 或… n 时方案 xi 被接受。往往作为上法的补充. 这些方法用于初始方案过的预选,不能用于方案排序 ordering —次序，优先序 也不能用于方案分等 Ranking —量化优先程度. §10.2 加权和法 一、引言 多目标决策的特点: 目标间的矛盾性, 各属性值不可公度. 这二难点不可公度虽可通过属性矩阵的规范化得到部分解决, 但前述规范化过程不能反映 目标的重要性 权：目标重要性的度量, 即衡量目标重要性的手段. 权的三重含义: ① 决策人对目标的重视程度; ②各目标属性值的差异程度; ③各目标属性值的可靠程度; 权应综合反映三种因素的作用. 通过权，将多目标决策问题化为单目标求解. 二、字典序法与一般加权和法 1. 字典序法 w1 》 w2 … 时的加权和法 即某个目标特别重要, 实质上是单目标决策, 最重要目标的属性值相同时，再比较第二 重要的属性, 如此继续. 2. 一般加权和法 加权和法的求解步骤很简单： ① 属性表规范化，得 zij i=1, … , m; j=1, … , n. ② 确定各指标的权系数 wj j=1, … , n. ③ 根据指标 C w z i j ij j n = = 1 的大小排出方案 i(i=1,… , m)的优劣 加权和法，包括评分打点，由于其简单、明了(直观)，是人们最经常使用的多目标评价 方法。采用加权和法的关键在于确定指标体系并设定各最低层指标的权系数：有了指标体系 就可以设法利用统计数据或专家打分给出属性值表；有了权系数，具体的计算和排序就十分 简单了。正因为此，以往的各种实际评估过程中总要把相当大的精力和时间用在确定指标体 系和设定权上