3。曲面的面积 ①.设曲面的方程为:z=f(x,y)z 在xoy面上的投影区域为D, dA 如图,设小区域do∈D, 点(x,y)∈do, x.l do ∑为S上过M(x,y,f(x,y) 的切平面 da为d4在xoy面上的投影, .d=lA·cosy
①．设曲面的方程为： z = f (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为 D, 点(x, y) d , 如图， 设小区域 d D, . ( , , ( , )) 的切平面 为 S 上过 M x y f x y d (x, y) M dA x y z s o d 为dA 在 xoy 面上的投影, d = dA cos , 3。曲面的面积
cos r d=1+f2 +f doy 1+f+f y 曲面S的面积元素 1+2+2lo, 同理可得 ②.设曲面的方程为:x=g(y,z) 曲面面积公式为A=1(2 D a/; ③.设曲面的方程为:y=h(x,x) 曲面积公式为们(1(0)()么
, 1 1 cos 2 2 x y + f + f = dA = + f x + f y d 2 2 1 曲面S的面积元素 1 , 2 2 = + + D x y A f f d ②．设曲面的方程为： x = g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ; 2 2 dydz z x y x A Dyz + = + ③．设曲面的方程为： y = h(z, x) 曲面面积公式为： 1 . 2 2 dzdx x y z y A Dzx + = + 同理可得
例3.求球面x2+y2+z2=a2,含在圆柱体 x2+y2=ax内部的那部分面积 解由对称性知A=4A1, D 2 y2≤ax,(x,y≥0) 0.5 曲面的方程为z=a2-x2-y2, 0.5 2 于是1+ z 十 ax a=x=y 面积A=41+x2+xn2d
例 3 . 求球面 2 2 2 2 x + y + z = a ，含在圆柱体 x + y = ax 2 2 内部的那部分面积. 解 由对称性知 1 A = 4A , : , ( , 0) 2 2 D1 x + y ax x y 曲面的方程为 2 2 2 z = a − x − y , 于是 2 2 1 + + y z x z , 2 2 2 a x y a − − = 面积 A z z dxdy D = + x + y 1 2 2 4 1
dxdy - acos =4ad6 以r=1ma2-42 例4求半径为R的球面的表面积 解曲面方程为z=√R2-x2-y A=84=8+2+2dp(由对称性 DiR R R 2 ,2d=8|40 R R =4mR2
− − = 1 2 2 2 4 D dxdy a x y a − = cos 0 2 2 0 1 4 2 a rdr a r a d 2 4 . 2 2 = a − a 求半径为R的球面的表面积 解 曲面方程为 2 2 2 z = R − x − y （由对称性） = = + + 1 2 2 1 8 8 1 D x y A A z z dxdy dxdy R x y R D − − = 1 2 2 2 8 rdr R r R d R − = 2 0 0 2 2 8 2 = 4R 例4
例5计算圆柱面x+=a2 被圆柱面x+y2=a所截的部的面积 解由对称性可知A=8A1 A1的方程z=√a2-x TZ +Z a -x dtdy=「ac 2 2 2 2 a -x - A=80
计算圆柱面 2 2 2 x + z = a 被圆柱面 x 2 + y 2 = a 2 所截的部分的面积 解 由对称性可知A=8A1 A1 的方程 2 2 z = a − x 2 2 2 2 1 a x a z z x y − + + = − − = − 1 2 2 0 0 2 2 2 2 D a a x dy a x a dxdy dx a x a 2 = a 2 A = 8a 例5