二重积分的概念和性质 在一元函数积分学中,我们已经知道,定积 分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形 式的和式的极限,由于科学技术和生产实践的发 展,需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空 间物体的质量、重心、转动惯量等,定积分已经 不能解决这类问题,另一方面,从数学逻辑思维 的规律出发,必然会考虑定积分概念的推广,从 而提出了多元函数的积分学问题
二重积分的概念和性质 在一元函数积分学中，我们已经知道，定积 分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形 式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发 展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空 间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经 不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维 的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从 而提出了多元函数的积分学问题
当人们把定积分解决问题的基本思想—“分 割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问 题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象 概括出来,就得到多元函数积分学。 具体地说就是推广到:定义在平面区域上的二元 函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段 平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧 上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数,从 而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。 这就是多元函数积分学的内容。 本章将讨论重积分,包括二重积分、三重积分的 概念、性质、计算和应用
当人们把定积分解决问题的基本思想——“分 割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问 题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象 概括出来，就得到多元函数积分学。 具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元 函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段 平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧 上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从 而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。 这就是多元函数积分学的内容。 本章将讨论重积分，包括二重积分、三重积分的 概念、性质、计算和应用
重点:重积分的计算方法,交换累次积分次序。 难点:选择坐标系,确定积分次序,定积分限。 基本要求 ①理解重积分概念,了解其基本性质 ②熟练掌握重积分的计算方法 ③掌握累次积分的换序法 ④掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元 ⑤理解重积分的实际背景,能用重积分解决立体体 积、曲面面积、重心、转动惯量等实际问题
重点：重积分的计算方法，交换累次积分次序。 难点：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。 基本要求 ①理解重积分概念，了解其基本性质 ②熟练掌握重积分的计算方法 ③掌握累次积分的换序法 ④掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元 ⑤理解重积分的实际背景，能用重积分解决立体体 积、曲面面积、重心、转动惯量等实际问题
问题的提出 1.曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点:平顶 z=f(x,y 柱体体积=? 特点:曲顶 D 曲顶柱体
一、问题的提出 １．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶. z = f (x, y) D 柱体体积=？ 特点：曲顶
求曲顶柱体的体积采用“分割、求和 取极限”的方法,如下动画演示
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．