《画法几何与工程制图》课程教学资源（教材讲义）第03章曲线曲面.doc

第5章曲线与曲面曲线与曲面也是物体表面的重要组成部分。本章讨论常见的曲线、曲面的投影性质与作图方法。 5.1曲线的形成与投影 1.曲线的形成与分类曲线可以看作为点连续运动的轨迹，也可认为是平面与曲面或两曲面相交而成。若曲线上所有的点属于同一平面，则此曲线称为平面曲线，如圆、椭圆、双曲线、抛物线、渐伸线、摆线等。若曲线上任意四个连续的点不属于同一平面，则此曲线称为空间曲线，如螺旋线等。如图5-1所示，过曲线上点B作割线BD,当点D无限趋近于点B时，割线的极限位置变为BN,即称BN为曲线在点B处的切线。对于平面曲线过切点且垂直于切线的直线，称为过该点的法线。图5-1空间曲线及其投影图5-2不光滑空间曲线如果曲线在其各点处都具有连续改变的切线，则称该曲线为光滑的曲线。如图5-2所示的曲线就不是光滑的，因为在点B处切线不能连续变化。可以用代数方程表示的曲线称为代数曲线。其代数方程的次数就是曲线的次数。对于平面代数曲线的次数，可以用直线与该曲线最大可能交点数来确定。例如，二次曲线椭圆与直线就有两个交点。 2.曲线投影的画法一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确定出它在空间的形状和位置。曲线的投影作图，就是按曲线形成的方法，依次画出曲线上一系列的点的各面投影，然后把各点的同面投影顺次、光滑地连成曲线，这种作图方法称为坐标描点法。为了确保曲线投影的准确和清晰，应优先选择一些具有关键位置的点，称为特殊点，如极限位置的点（最高、最低、最前、最后、最左、最右诸点)以及如椭圆长短轴的端点等。 3.曲线投影的基本性质曲线的投影具有以下的性质，根据这些性质，在作曲线投影时，可以保证投影的正确性和提高投影的准确性。 120

120 第 5 章曲线与曲面曲线与曲面也是物体表面的重要组成部分。本章讨论常见的曲线、曲面的投影性质与作图方法。 5.1 曲线的形成与投影 1.曲线的形成与分类曲线可以看作为点连续运动的轨迹，也可认为是平面与曲面或两曲面相交而成。若曲线上所有的点属于同一平面，则此曲线称为平面曲线，如圆、椭圆、双曲线、抛物线、渐伸线、摆线等。若曲线上任意四个连续的点不属于同一平面，则此曲线称为空间曲线，如螺旋线等。如图 5-1 所示，过曲线上点 B 作割线 BD，当点 D 无限趋近于点 B 时，割线的极限位置变为 BN，即称 BN 为曲线在点 B 处的切线。对于平面曲线过切点且垂直于切线的直线，称为过该点的法线。如果曲线在其各点处都具有连续改变的切线，则称该曲线为光滑的曲线。如图 5-2 所示的曲线就不是光滑的，因为在点 B 处切线不能连续变化。可以用代数方程表示的曲线称为代数曲线。其代数方程的次数就是曲线的次数。对于平面代数曲线的次数，可以用直线与该曲线最大可能交点数来确定。例如，二次曲线椭圆与直线就有两个交点。 2.曲线投影的画法一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确定出它在空间的形状和位置。曲线的投影作图，就是按曲线形成的方法，依次画出曲线上一系列的点的各面投影，然后把各点的同面投影顺次、光滑地连成曲线，这种作图方法称为坐标描点法。为了确保曲线投影的准确和清晰，应优先选择一些具有关键位置的点，称为特殊点，如极限位置的点（最高、最低、最前、最后、最左、最右诸点）以及如椭圆长短轴的端点等。 3.曲线投影的基本性质曲线的投影具有以下的性质，根据这些性质，在作曲线投影时，可以保证投影的正确性和提高投影的准确性。 N C D A B a b c d n H A B E a e b F C f c 图 5-1 空间曲线及其投影图 5-2 不光滑空间曲线

122 如图 5-5a 所示，圆的 H 面投影 ab 为直线，等于圆的直径 AB。V 面投影为椭圆，由于圆的直径 CD 平行于 V 面，其投影长度不变，cd＝CD 成为椭圆的长轴，而圆的直径 AB 处于对 V 面最大斜度线位置，其投影是各直径投影中最短者，投影后成为椭圆的短轴 ab，由于 AB 是一条水平线，其 V 面投影 ab可根据投影关系求得。已知椭圆长、短轴，则可画出椭圆。如果需要求一般点，可采用投影变换的方法。如图 5-5b 所示求Ⅰ、Ⅱ两点的投影。 3．圆所在的平面为一般位置平面当圆所在的平面为一般位置平面时，圆的两个投影均为椭圆。故只要分别求出长、短轴，即可作出椭圆。椭圆的长轴应为平行于投影面的直径的投影，其短轴应在对该投影面成最大斜度线的直径的投影上。如图 5-6 所示，已知圆心为 O，半径为 R，位于一般位置平面 P 上，求作圆的 V 面投影及 H 面投影。作图方法一：利用平面上投影面平行线及最大斜度线，确定长、短轴的方向与长度（见图 5-7）。作图步骤如下：（1）求圆的水平投影椭圆的长轴。即过 O 点作水平直径 AB 的 H 投影，截取 ab＝2R，则 ab 即为长轴；（2）求圆的水平投影椭圆的短轴。过 O 点作对 H 面的最大斜度线 cd（作 cd⊥ab，延长 cd 交 ml 于 s），用三角形法求出其α及 oS0，在 oS0 上截取 oS1＝R 得 c，并取 od＝oc，则 dc 即为 H 投影椭圆的短轴。（3）根据 ab、cd 作出椭圆。（4）同理可作出圆正面投影的长轴 ef 和短轴 gh，作出椭圆。作图方法二：上图所示圆的投影也可利 A B C E D F G H L K M N X O a c b d l k m n o m n l k g e h f o H a b c d e f g h l k m n o s X T T S S t m t g f l k b h o a e n 图 5-6 一般位置平面上的圆图 5-7 应用最大斜度线法作一般位置圆的投影 D n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l m c o a b d n k b o c a d k n m l l k g h f e o m D X X H V X 1V H o1 V 1 H m1 k1 h1 1 g 1 f e1 图 5-8 应用换面法作一般位置圆的投影

用换面法来作出其长短轴（图5-8）。如作圆的水平投影，首先将四边形平面变换成投影面垂直面，即以V面代替V面，则在V/H体系中圆为垂直面，可根据圆在投量影面垂直面上的作图方法作出其投影。圆的正面投影也可类似地作出 5.1.2圆柱螺旋线圆柱螺旋线是工程上应用最广泛的空间曲线。下面讨论其形成及投影作图方法。 b) c 图5-9圆柱螺旋线的形成、投影和展开 1.圆柱螺旋线的形成一动点在正圆柱表面上绕其轴线作等速回转运动，同时沿圆柱的轴线方向作等速直线运动，则动点在圆柱表面上的轨迹称为圆柱螺旋线。如图5-9妇所示，点 A的轨迹即为圆柱螺旋线。点A旋转一圈沿轴向移动的距离（如A4z)称为导程(P)。当圆柱的轴线为铅垂线时，从前方垂直向后看，如螺旋线的可见部分为自左向右上升的则称为右旋螺旋线，反之称为左旋螺旋线。 2.圆柱螺旋线的投影作图方法圆柱直径为d,导程为P的右旋螺旋线，其投影的作图步骤如下（图5-9b): (1)作出直径为d的圆柱面的两投影，然后将其水平投影（圆）和正面投影上的导程分成相同的等分（图中为12等分）。 (2)从导程上各分点作水平线，再从圆周上各分点作垂直投影连线，它们相应的交点如a9、a9、a9.,即为螺旋线上各点的正面投影。 (3)依次光滑地连接这些点的投影即得螺旋线的正面投影，在可见圆柱面上的螺旋线是可见的，其投影画成实线，在不可见圆柱面上的螺旋线是不可见的，其投影画成虚线，螺旋线的水平投影重影在圆柱面的水平投影圆周上。如将圆柱表面展开，则螺旋线随之展成一直线（图5-9），该直线为直角三角形的斜边，底边为圆柱面圆周的周长（πd),高为螺旋线的导程(P)。显然螺旋线的一个导程的长度为Vd}+P ，直角三角形斜边与底边的夹角α称为螺旋线的升角。 a-arctan P. 斜边与另一直角边的夹角称为螺旋角，以B表示，由此可见a+B=90°。 22

123 ( ) 2 2 d + Pn 用换面法来作出其长短轴（图 5-8）。如作圆的水平投影，首先将四边形平面变换成投影面垂直面，即以 V1 面代替 V 面，则在 V1/H 体系中圆为垂直面，可根据圆在投影面垂直面上的作图方法作出其投影。圆的正面投影也可类似地作出。 5.1.2 圆柱螺旋线圆柱螺旋线是工程上应用最广泛的空间曲线。下面讨论其形成及投影作图方法。 1.圆柱螺旋线的形成一动点在正圆柱表面上绕其轴线作等速回转运动，同时沿圆柱的轴线方向作等速直线运动，则动点在圆柱表面上的轨迹称为圆柱螺旋线。如图 5-9a 所示，点 A 的轨迹即为圆柱螺旋线。点 A 旋转一圈沿轴向移动的距离（如 A0A12）称为导程（Pn）。当圆柱的轴线为铅垂线时，从前方垂直向后看，如螺旋线的可见部分为自左向右上升的则称为右旋螺旋线，反之称为左旋螺旋线。 2.圆柱螺旋线的投影作图方法圆柱直径为 d，导程为 Pn 的右旋螺旋线，其投影的作图步骤如下（图 5-9b）：（1）作出直径为 d 的圆柱面的两投影，然后将其水平投影（圆）和正面投影上的导程分成相同的等分（图中为 12 等分）。（2）从导程上各分点作水平线，再从圆周上各分点作垂直投影连线，它们相应的交点，如 a0、a1、a2.，即为螺旋线上各点的正面投影。（3）依次光滑地连接这些点的投影即得螺旋线的正面投影，在可见圆柱面上的螺旋线是可见的，其投影画成实线，在不可见圆柱面上的螺旋线是不可见的，其投影画成虚线，螺旋线的水平投影重影在圆柱面的水平投影圆周上。如将圆柱表面展开，则螺旋线随之展成一直线（图 5-9c），该直线为直角三角形的斜边，底边为圆柱面圆周的周长（πd），高为螺旋线的导程（Pn）。显然螺旋线的一个导程的长度为，直角三角形斜边与底边的夹角α称为螺旋线的升角。斜边与另一直角边的夹角称为螺旋角，以β表示，由此可见 α+β＝90°。 A A A A A A A A A A A A A A a a a a a a a a a a a a a d a） b） c）图 5-9 圆柱螺旋线的形成、投影和展开 d Pn π  = arc t an

5.2曲面的形成与表达方法 5.2.1概述 1.曲面的形成与分类 (1)曲面的形成曲面可以用不同的方式给定，在画法几何学中，主要以运动方法来研究曲面的形成（并根据运动规律解决曲面上的定位问题和度量问题），曲面可以看作一条线在空间按一定规律连续运动而成，或者说曲面是动线所有位置的集合。形成曲面的动线称为母线，该线可以是直线，也可以是曲线，其形状可以是不变的，也可以是不断变化的。控制母线运动规律的线或面称为导线或导面。母线按规律运动形成的曲面称为规则曲面。母线也可作不规则运动，形成的曲面称为不规则曲面。同一个曲面常可以用不同的方法形成。如圆柱面（图5-10）可以是圆母线沿轴线方向平移而成，也可以是直母线绕轴线旋转而成。还可以是以各点距轴线等远的曲线作母线，绕轴线旋转形成圆柱面。在以上不同形式的母线中，一般应采用最简单的母线来描述曲面的形成。 (2)曲面的分类根据不同的分类标准，曲面可有许多不同图5-10曲面的形成的分类方法。如：按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面：按母线的运动情况分类曲面可分为移动面和回转面：按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母线面和变母线面：按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则曲面和不规则曲面：按曲面是否能无皱褚地难平在一个平面上来分类，则可分为可展曲面和不可展曲面。按以上各种方法分类，对于同类曲面可能会有跨种类的现象，例如同属直线面的两个曲面，就有可能分属于可展曲面和不可展曲面。下面是一个按母线的性质来划分一些规则曲面的简表：可展幽面直线面直线回转面双曲回转双曲物面不可展曲面曲线面椭圆面、韩阅抛物面本章重点介绍规则曲面中定母线运动形成的曲面，并以直线面为主，对于曲线面，则只介死曲线回转面。 2.曲面的投影在投影图上表示一个曲面，只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就可确定一个曲面，因为母线、导线或导面给定以后，形成的曲面将唯一确定在实际作图中，为了更加形象地表示曲面，除了给出几何要素外，还要画出曲面外形轮廓线的投影。曲面的外形轮图5-11曲面的投影 124

124 5.2 曲面的形成与表达方法 5.2.1 概述 1.曲面的形成与分类（1）曲面的形成曲面可以用不同的方式给定，在画法几何学中，主要以运动方法来研究曲面的形成（并根据运动规律解决曲面上的定位问题和度量问题），曲面可以看作一条线在空间按一定规律连续运动而成，或者说曲面是动线所有位置的集合。形成曲面的动线称为母线，该线可以是直线，也可以是曲线，其形状可以是不变的，也可以是不断变化的。控制母线运动规律的线或面称为导线或导面。母线按规律运动形成的曲面称为规则曲面。母线也可作不规则运动，形成的曲面称为不规则曲面。同一个曲面常可以用不同的方法形成。如圆柱面（图 5-10）可以是圆母线沿轴线方向平移而成，也可以是直母线绕轴线旋转而成。还可以是以各点距轴线等远的曲线作母线，绕轴线旋转形成圆柱面。在以上不同形式的母线中，一般应采用最简单的母线来描述曲面的形成。（2）曲面的分类根据不同的分类标准，曲面可有许多不同的分类方法。如：按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面；按母线的运动情况分类，曲面可分为移动面和回转面；按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母线面和变母线面；按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则曲面和不规则曲面；按曲面是否能无皱褶地摊平在一个平面上来分类，则可分为可展曲面和不可展曲面。按以上各种方法分类，对于同类曲面可能会有跨种类的现象，例如同属直线面的两个曲面，就有可能分属于可展曲面和不可展曲面。下面是一个按母线的性质来划分一些规则曲面的简表：曲面直线面柱面、锥面、切线面可展曲面直线回转面圆柱面、圆锥面单叶双曲回转面不可展曲面柱状面、锥状面、双曲抛物面曲线面曲线回转面椭圆面、椭圆抛物面本章重点介绍规则曲面中定母线运动形成的曲面，并以直线面为主，对于曲线面，则只介绍曲线回转面。 2.曲面的投影在投影图上表示一个曲面，只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就可确定一个曲面，因为母线、导线或导面给定以后，形成的曲面将唯一确定在实际作图中，为了更加形象地表示曲面，除了给出几何要素外，还要画出曲面外形轮廓线的投影。曲面的外形轮图 5-10 曲面的形成 T t H 图 5-11 曲面的投影

《画法几何与工程制图》课程教学资源（教材讲义）第03章 曲线曲面

《画法几何与工程制图》课程教学资源（教材讲义）第03章曲线曲面