设h=max(h,k=1:m),M2=max(x(),1≤t≤1+) 则nl≤M2h2,及 lerr n+1 ≤"2h2+(1+M)ern ≤2h2(∑(1+h))+(1+hL)+er k=0 lenn+1 M2n2(1+hL)y+1-1M2(p n+IhL 2L T)h ∴er O 以上说明显式欧拉法是一阶收敛的算法
( ) !! ( 1) 2 (1 ) 1 2 ( (1 ) ) (1 ) 2 (1 ) 2 , 2 max( , 1: ), max( ( ), ), 1 2 ( 1) 1 2 2 1 0 1 0 2 2 2 2 1 2 2 1 2 0 1 err o h e h L M hL hL h M err h hL hL err M h hL err M err h M T h h k n M x t t t t n n hL n n n n k k n n n k n 则 及 设 以上说明显式欧拉法是一阶收敛的算法
2、隐式欧拉法 Jxn+1=xn+hn, f(xn+1, n+1) n=0,1,2, 阶收敛的方法,即ern+l=o(h 3、改进的欧拉法(隐式) Jxn+l=xn+ h,[f(xns, n)+f(xn+1, tn+1)] 0.1 二阶收敛的方法,即ernl=0(h2)
2、隐式欧拉法 二阶收敛的方法，即 。 、改进的欧拉法（隐式 ） 一阶收敛的方法，即 ( ) 0,1,2, [ ( , ) ( , )] 3 ( ) 0,1,2, ( , ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 err o h n x x h f x t f x t err o h n x x h f x t n n n n n n n n n n n n n n
龙格-库塔法(RK) 我们的目的是构造更高阶的单步法! 结论:若单步法的局部截断误差Tn+1=O(hP+),则此单 步法的整体误差/ern+l=o(h)即此单步法为p阶方法 分析:由x(tn+)=x(n)+"f(x(,1 利用拉格朗日求积公式 h=tn+1-tn,=1n+a1h,0≤a1≤1,=0:m "f(x().)h=∑c/(x(7),r)+Ohm2) 令k=f(x(),r),j=0:m x(n1)2=x(n)+∑c/k+0(hm2)…(*)
二、龙格-库塔法（RK) 我们的目的是构造更高阶的单步法！ 步法的整体误差 即此单步法为 阶方法。 结论：若单步法的局部 截断误差 则此单 err o h p T o h p n p n ( ). ( ), 1 1 1 ( ) ( ) (*) ( ( ), ), 0 : . ( ( ), ) ( ( ), ) , ,0 1, 0 : ( ) ( ) ( ( ), ) 2 0 1 2 0 1 1 1 1 x t x t c k o(h ) k f x r r j m f x t t dt c f x r r o(h ) h t t r t a h a i m x t x t f x t t dt m m j n n j j j j j m m j j j j t t n n i n i i t t n n n n n n 令 利用拉格朗日求积公式 分析：由
取 则k0=f( x(tu).t x(r)=x(r1-1)+(a )hk1-1+ =x(n)+b∑(a1-a1)k1-1+O(h2) x(Gn)+b∑bnk1b待定 k,=f(x(tn)+h2bjiki-1,tn +a,h)
1: (**) ( ( ) , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ), 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 0 j m k f x t h b k t a h x t h b k b x t h a a k o h x r x r a a hk r t k f x t t n j j i j n ji i ji j i n ji i j i n i i i j j j j j n n n 待定 取 ，则
由式(*)和式(*)可知:适当选取参数c,a1,b可构造出m阶 的显式单步法: xn+1=xn+〉cnk, =0 ko=f(n, tn) k=f(x+b∑bnk1,+anh) j=1:m 称此结构为m+1级龙格-库塔法。它最多是m+1阶的
的显式单步法： 由式（ *）和式（ **）可知：适当选取参数 c j , a j ,bji可构造出 m 1阶 m j xn xn c jk j 0 1 1: ( , ) ( , ) 1 1 0 j m k f x h b k t a h k f x t n j j i j n ji i n n 称此结构为m+1级龙格-库塔法。它最多是m+1阶的