第4章刚体的转动 4.1本章主要内容 4.1.1刚体转动的角量描述 (1)角位移△8：在△时间内角坐标的增量△8称为刚体t时间内角位移。 (2)角速度o:是描述角位移变化快慢的物理量，0=d81t。 (3)角加速度B:是描述角速度变化快慢的物理量，=dt。 (4)角量与线量的关系： 路程与角位移的关系：△s=y△8。 线速度与角速度之间的关系：v=心r。 切向加速度与角加速度的关系：《=B。 法向加速度与角速度之间的关系：《。=心？。 4.1.2力矩、转动惯量、转动定律 (I)力矩的定义式为：M=P阳=网simB:矢量表达式为应=方×京。 (2)转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，J-∑mr=∫rm。 (3)刚体转动第一定律：一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩为零时，则刚体保持原有 的静止或匀角速转动状态。 数学表达式：∑M=0时，心=常量。 (4)刚体转动第二定律：一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩不为零时，则刚体的角加 速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 数学表达式：∑≠0时，M=J邛。 4.1.3力矩的功 ()力矩的功定义为：A=∫成本-Mae (2)恒力矩的功为：A=M(8-8)=M么8 ()转动动能：又-。 (4)转动动能定理：力矩对刚体作的功，等于刚体转动动能的增量。 A=o-@ 2 4.1.4角动量原理和角动量守恒定律
第4章 刚体的转动 4.1 本章主要内容 4.1.1 刚体转动的角量描述 (1) 角位移 ：在 时间内角坐标的增量 称为刚体 时间内角位移。 (2) 角速度ω：是描述角位移变化快慢的物理量， 。 (3) 角加速度β：是描述角速度变化快慢的物理量， 。 (4) 角量与线量的关系： 路程与角位移的关系： 。 线速度与角速度之间的关系： 。 切向加速度与角加速度的关系： 。 法向加速度与角速度之间的关系： 。 4.1.2 力矩、转动惯量、转动定律 (1) 力矩的定义式为： ；矢量表达式为 。 (2) 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度, 。 (3) 刚体转动第一定律：一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩为零时，则刚体保持原有 的静止或匀角速转动状态。 数学表达式： 。 (4) 刚体转动第二定律：一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩不为零时，则刚体的角加 速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 数学表达式： 。 4.1.3 力矩的功 (1) 力矩的功定义为： (2) 恒力矩的功为： (3) 转动动能： (4) 转动动能定理：力矩对刚体作的功，等于刚体转动动能的增量。 4.1.4 角动量原理和角动量守恒定律
(1)角动量是描述刚体转动状态的物理量，L=J (2)冲量矩是描写力矩对时间积累作用的物理量。 恒力矩的冲量：M 变力矩的冲量：上 (3)角动量原理；m=J,,-J,叫 (4)角动量守恒定律：当刚体所受到的合外力矩∑应=0时，角动量守恒。 L=J心=常量 4.1.5质点的直线运动和刚体的定轴转动公式对照表 质点的直线运动 刚体的定轴转动 位移：x 角位移：△8 速度：v= 角速度： a= dt t 加速度： 角加速度： 或 匀速直线运动：x=x,+t 匀角速转动：8=6。+赋 匀变速直线运动： 0常 匀变速转动：9-8=时+片日 v=。+t 0=的。+t p2=+2a(x-x) w2=+2f8-8) 力：京 力矩：M 质量：m 转动惯量：J 牛顿第二定律：F=ma 转动第二定律：M=J8 平动动能： 转动动能： 2 动能定理： 1 P江=m切 转动动能定理：Mr=Jo-Jo 动量：p=mw 角动量：L=Jw 量 定 理 角动 量 定 理 t=m-m,(P为恒力情祝) Mt=J-Ja心，(M恒力矩情况) 动量守恒定律：当Σ成h=0时 角动量守恒定律：当Σ应=0时 ∑my=恒量 ∑J·心=恒量
(1) 角动量是描述刚体转动状态的物理量， (2) 冲量矩是描写力矩对时间积累作用的物理量。 恒力矩的冲量： 变力矩的冲量： (3) 角动量原理； (4) 角动量守恒定律：当刚体所受到的合外力矩 时，角动量守恒。 4.1.5 质点的直线运动和刚体的定轴转动公式对照表 质点的直线运动 刚体的定轴转动 位 移： 速 度： 加速度： 匀速直线运动： 匀变速直线运动： 力： 质量： m 牛顿第二定律： 平动动能： 动能定理： 动 量： 动 量 定 理 ： 动量守恒定律：当 角位移： 角速度： 角加速度： 匀角速转动： 匀变速转动： 力矩： M 转动惯量： J 转动第二定律： 转动动能： 转动动能定理： 角动量： 角 动 量 定 理 ： 角动量守恒定律：当 时
4.6学习指导 (1)解刚体动力学问题，力的分析仍然是关键所在。①解题时应注意对每一个物体应逐个分析，并 列出每个物体相应的牛顿方程：②对于转动的物体求出对定轴的合外力矩，写出转动方程，M=J? ；③有线量与角量的关系，找出联系列出方程。 (2)转动惯量J-Σmr,(适用于质点系)或J-Jym,(适用于质量连续分布)，是描述物体转 动惯性量大小的物理量。转动惯量的大小与刚体的质量、质量分布情况及转轴的位置有关。因此， 说到刚体转动惯量时，必须指明是对哪个转轴的转动惯量。 (3)角速度云和角加速度B是矢量，在定轴转动中，它们方向都是沿转轴，并规定⑧的方向与转动 方向构成右手螺旋关系，而B的方向与⑧的方向一致，当我们规定了沿转轴的正方向后，⑧，的方 向就可以用正、负表示。 4.2基本训练 4.2.1选择题 1.质量为20g的子弹，以400m/s的速率沿图示方向射入一原来静止的 质量为980g的摆球中，摆线长度不可伸缩。子弹射入后与摆球一起运 动的速率为 (A)4m/s (B)8m/s (C)2m/s (D)7m/s 2.已知地球的质量为，太阳的质量为M,地心与日心的距离为R,引力常数为G,则地球绕太阳 作圆周运动的轨道角动量为 (A)m/GMR (B) GMm R (C) Mm. (D) GMm 2R 3.人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A和B,用L和Ex分别表示 卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A)LA >LB,EKA>EKB(B)LA=LB,EKA<EKB (C)LA=LB,EKA>EKB(D)LA<LB,EKA<EKB 4.关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 (A)只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B)取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 (C)取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。 (D)只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关
4.6 学习指导 (１) 解刚体动力学问题，力的分析仍然是关键所在。①解题时应注意对每一个物体应逐个分析，并 列出每个物体相应的牛顿方程；②对于转动的物体求出对定轴的合外力矩，写出转动方程， ；③有线量与角量的关系，找出联系列出方程。 (２) 转动惯量 ，（适用于质点系）或 ，（适用于质量连续分布），是描述物体转 动惯性量大小的物理量。转动惯量的大小与刚体的质量、质量分布情况及转轴的位置有关。因此， 说到刚体转动惯量时，必须指明是对哪个转轴的转动惯量。 (３) 角速度 和角加速度 是矢量，在定轴转动中，它们方向都是沿转轴，并规定 的方向与转动 方向构成右手螺旋关系，而 的方向与 的方向一致，当我们规定了沿转轴的正方向后， ， 的方 向就可以用正、负表示。 4.2 基本训练 4.2.1 选择题 1．质量为20g的子弹，以400m/s的速率沿图示方向射入一原来静止的 质量为980g的摆球中，摆线长度不可伸缩。子弹射入后与摆球一起运 动的速率为 （A）4m/s （B）8m/s （C）2m/s (D) 7m/s 2．已知地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R，引力常数为G，则地球绕太阳 作圆周运动的轨道角动量为 (A) (B) (C) (D) 3．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A和B，用L和EK分别表示 卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A) LA > LB , EKA> EKB (B) LA=LB , EKA<EKB (C) LA=LB , EKA>EKB (D) LA<LB , EKA<EKB 4．关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 (A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 (C) 取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。 (D) 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关
5.几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体 (A)必然不会转动.(B)转速必然不变 (C)转速必然改变(D)转速可能不变，也可能改变 6.一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1和m2的物体(m1<m2)如图所示，绳与轮之间无相对滑 动，若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A)处处相等(B)左边大于右边 (C)右边大于左边(D)无法判断 7.两个均质圆盘A和B的密度分别为PA和PB,若PA>PB,但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘 对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为JA和JB,则 (A)JA>JB (B)JB>JA. (C)JA=JB(D)JA、JB哪个大，不能确定。 8.均匀细棒0A可绕通过其一端0而与棒垂直的水平固定光滑轴转动如 图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位 置的过程中，下述说法那一种是正确的？ 0 (A)角速度从小到大，角加速度从大到小. p 11 (B)角速度从小到大，角加速度从小到大 11 (C)角速度从大到小，角加速度从大到小. (①)角速度从大到小，角加速度从小到大. 9.有两个半径相同，质量相等的细圆环A和B。A环的质量分布均匀，B环的质量分布不均匀。它们 对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为JA和B,则 (A)JA>JB..(B)JA<JB (C)JA=JB.(D)不能确定JA、JB哪个大 10.有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1)这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2)这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零： (3)当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零： (4)当这两个力对轴的合力矩为零时，它门的合力也一定是零。 在上述说法中 (A)只有(1)是正确的。 (B)(1)、(2)正确，(3)、(4)错误。 (C)(1)、(2)、(3)正确，(4)错误
5．几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体 (A) 必然不会转动. （B）转速必然不变. (C)转速必然改变. (D) 转速可能不变，也可能改变 6．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1和m2的物体（m1<m2）如图所示，绳与轮之间无相对滑 动，若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等 (B) 左边大于右边 (C) 右边大于左边 (D) 无法判断 7．两个均质圆盘A和B的密度分别为ρA和ρB，若ρA>ρB，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘 对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为JA 和JB，则 (A) JA>JB (B)JB>JA. (C) JA=JB (D)JA 、JB哪个大，不能确定。 8．均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动如 图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位 置的过程中，下述说法那一种是正确的？ (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小. (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大. (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小. (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大. 9．有两个半径相同，质量相等的细圆环A和B。A环的质量分布均匀，B环的质量分布不均匀。它们 对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为JA和JB，则 (A) JA>JB. . (B) JA<JB (C) JA=JB. (D) 不能确定JA、JB哪个大 10．有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； （4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它门的合力也一定是零。 在上述说法中 （A）只有（1）是正确的。 (B)（1）、（2）正确，（3）、（4）错误。 (C)（1）、（2）、（3）正确，（4）错误
(D)(1)、(2)、(3)、(4)正确。 11.一个人站在有光滑固定转轴的平台上，双臂水平的举二哑铃。在该人把此二哑铃水平收缩到胸 前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的 (A)机械能守恒，角动量守恒。 (B)机械能守恒，角动量不守恒。 (C)机械能不守恒，角动量守恒。 (D)机械能不守恒，角动量也不守恒。 12.如图示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O旋 转，初始状态为静止悬挂。现有一个小球自左方水平打击细杆，设小 球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 (A)只有机械能守恒。 (B)只有动量守恒。 (C)只有对转轴O的角动量守恒。 (D)机械能、动量和角动量均守恒。 13.光滑的水平桌面上有长为2t、质量为m的匀质细杆，可绕过其中 点0且垂直与桌面的竖直固定轴自由转动，转动惯量为多m2,起初杆静 止。有一质量为的小球沿桌面正对着杆的一端，在垂直于杆长的方向 上，以速率V运动，如图所示，当小球与杆端发生碰撞后，就于杆粘在 一起随杆转动。则这一系统碰撞后的转动角速度是 0 A告(B)岁C若(D)兰 14.花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J0,角速度为心。。然后 她将两臂收回，使转动惯量减少为J这时她转动的角速度变为 A)6(B)方，(C)3(D)56 15.一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动。最初板自由下垂，今有小团粘 土，垂直板面撞击方板，并粘在板上，对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力，在碰撞中守恒的量 是 (A)动能(B)绕木板转轴的角动量(C)机械能(D)动量 16.有一半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J,开始时转 台以匀角速度ω，转动，此时有一质量为m的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转 台边缘时，转台的角速度为 (A) J+mR B》7+网RC)品① 4.2.2填空题 1.半径为20cm的主动轮，通过皮带拖动半径为50cm的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动，主动 轮从静止开始作匀角加速转动。在4s内被动轮的角速度达到8πrad.s,则主动轮在这段时间内转 过了圈
(D)（1）、（2）、（3）、（4）正确。 11．一个人站在有光滑固定转轴的平台上，双臂水平的举二哑铃。在该人把此二哑铃水平收缩到胸 前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的 (A) 机械能守恒，角动量守恒。 (B) 机械能守恒，角动量不守恒。 (C) 机械能不守恒，角动量守恒。 (D) 机械能不守恒，角动量也不守恒。 12．如图示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O旋 转，初始状态为静止悬挂。现有一个小球自左方水平打击细杆，设小 球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 (A) 只有机械能守恒。 (B) 只有动量守恒。 (C) 只有对转轴O的角动量守恒。 (D) 机械能、动量和角动量均守恒。 13．光滑的水平桌面上有长为2 、质量为m的匀质细杆，可绕过其中 点O且垂直与桌面的竖直固定轴自由转动，转动惯量为 m 2,起初杆静 止。有一质量为m的小球沿桌面正对着杆的一端，在垂直于杆长的方向 上，以速率v运动，如图所示，当小球与杆端发生碰撞后，就于杆粘在 一起随杆转动。则这一系统碰撞后的转动角速度是 (A) （B） (C) （D） 14．花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J0，角速度为 。然后 她将两臂收回，使转动惯量减少为 J0这时她转动的角速度变为 （A） （B） （C）3 （D） 15．一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动。最初板自由下垂，今有小团粘 土，垂直板面撞击方板，并粘在板上，对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力，在碰撞中守恒的量 是 (A) 动能 （B）绕木板转轴的角动量（C）机械能 （D）动量 16．有一半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始时转 台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转 台边缘时，转台的角速度为 （A） （B） （C） （D） 4.2.2 填空题 1．半径为20cm的主动轮，通过皮带拖动半径为50cm的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动，主动 轮从静止开始作匀角加速转动。在4s内被动轮的角速度达到8πrad·s -1,则主动轮在这段时间内转 过了 圈