(2)3a(x-y)-(x-y) (x-y)(3a-1); (3)6(p+q)2-12(q+p) =6(p+q)2-12(p+q) =6(p+g)(p+q- (4)a(m-2)+b(2-m) =a(m-2)-b(m-2) (m-2)(a-b); (5)2(y-x)2+3(x-y =2[-(x-y)]2+3(x-y) 2(x-y)2+3(x-y) (x-y)(2x-2y+3) (6)m(m-n)-m(n-m)2 =mn(m-n)-m(m-n) 2 ] 补充练习 把下列各式分解因式 解:1.5(x-y)3+10(y-x)2 5(x-y)3+10(x-y)2 y)+2] 5(x-y)2(x-y+2) 2.m(a-b)-n(b-a) (a-b)(m+n); 3.m(m-n)+n(n-m) =(m-n)(m-n)=(m-n)2 4.m(m-n)(p-q)-n(n-m)(p-q) m(m-n)(p-q)+n(m-n)(p-q) 5.(b-a)2+a(a-b)+b(b-a) (b-a)2-a(b-a)+b(b-a) b-a)[(b-a)-a+b] =(b-a)(b-a-a+b) =(b-a)(2b-2a) =2(b-a)(b-a) =2(b-a)2 23运用公式法( 、教学目标 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义; 2.使学生掌握用平方差公式分解因式 3.使学生了解,提公因式法是分解因式的首先考虑的方法,再考虑用平方差公式分解因式 教学过程 1.请看乘法公式
16 （2）3a（x－y）－（x－y） =（x－y）（3a－1）; （3）6（p+q）2－12（q+p） =6（p+q）2－12（p+q） =6（p+q）（p+q－2）; （4）a（m－2）+b（2－m） =a（m－2）－b（m－2） =（m－2）（a－b）; （5）2（y－x）2+3（x－y） =2［－（x－y）］2+3（x－y） =2（x－y）2+3（x－y） =（x－y）（2x－2y+3）; （6）mn（m－n）－m（n－m）2 =mn（m－n）－m（m－n）2 =m（m－n）［n－（m－n）］ =m（m－n）（2n－m）. 补充练习 把下列各式分解因式 解：1.5（x－y）3+10（y－x）2 =5（x－y）3+10（x－y）2 =5（x－y）2［（x－y）+2］ =5（x－y）2（x－y+2）; 2. m（a－b）－n（b－a） =m（a－b）+n（a－b） =（a－b）（m+n）; 3. m（m－n）+n（n－m） =m（m－n）－n（m－n） =（m－n）（m－n）=（m－n）2 ; 4. m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q） = m（m－n）（p－q）+n（m－n）（p－q） =（m－n）（p－q）（m +n）; 5.（b－a）2+a（a－b）+b（b－a） =（b－a）2－a（b－a）+b（b－a） =（b－a）［（b－a）－a+b］ =（b－a）（b－a－a+b） =（b－a）（2b－2a） =2（b－a）（b－a） =2（b－a）2 2.3 运用公式法（一） 一、教学目标 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式. 3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式. 二、教学过程 1.请看乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2 (1) 左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是 a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 左边是一个多项式,右边是整式的乘积 利用平方差公式进行的因式分解第(1)个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式,第(2)个等 式可以看作是因式分解中的平方差公式 2.公式讲解 观察式子a2-b2,找出它的特点 答:是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差 如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式 的和与差的积 如x2-16=(x)2-42=(x+4)(x-4) 9m2-4m2=(3m)2-(2n)2 n 3.例题讲解 [例1]把下列各式分解因式: (1)25-16x2; (2)9a2--b2 解:(1)25-16x2=52-(4x)2 =(5+4x)(5-4x) (2)9a2--b2=(3a)2-(-b)2 =(3a+-b)(3a 例2]把下列各式分解因式: (1)9(m+n)2-(m-n) (2)2x3-8x 解:(1)9(m+n)2-(m-n)2 [3(m+n)]2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)一(m-n) (3m+3m+m-n)(3m+3n-m+n) (4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n) (2)2x3-8x=2x(x2-4) =2x(x+2)(x-2 说明:例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式:例2的 (1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,例2的(2)是先提公因 式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式 时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法 、课堂练习 1判断正误 解:(1)x2+y2=(x+y)(x-y) (×) (2)x2-y2=(x+y)(x-y) (√) (3)-x2+y2=(-x+y (×) (4) (x+y)(x-y) (×)
17 （a+b）（a－b）=a 2－b 2 （1） 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a 2－b 2=（a+b）（a－b） （2） 左边是一个多项式，右边是整式的乘积. 利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等 式可以看作是因式分解中的平方差公式. 2.公式讲解 观察式子 a 2－b 2 ,找出它的特点. 答：是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. 如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式 的和与差的积. 如 x 2－16=（x）2－4 2=（x+4）（x－4）. 9 m2－4n 2=（3 m ）2－（2n）2 =（3 m +2n）（3 m －2n） 3.例题讲解 ［例 1］把下列各式分解因式： （1）25－16x 2 ; （2）9a 2－ 4 1 b 2 . 解：（1）25－16x 2=52－（4x）2 =（5+4x）（5－4x）; （2）9a 2－ 4 1 b 2=（3a）2－（ 2 1 b）2 =（3a+ 2 1 b）（3a－ 2 1 b）. ［例 2］把下列各式分解因式: （1）9（m+n）2－（m－n）2 ; （2）2x 3－8x. 解：（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－（m－n）2 =［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］ =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n） =（4 m +2n）（2 m +4n） =4（2 m +n）（m +2n） （2）2x 3－8x=2x（x 2－4） =2x（x+2）（x－2） 说明：例 1 是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例 2 的 （1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例 2 的（2）是先提公因 式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式 时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法. 三、课堂练习 1.判断正误 解：（1）x 2+y 2=（x+y）（x－y）; （×） （2）x 2－y 2=（x+y）（x－y）; （√） （3）－x 2+y 2=（－x+y）（－x－y）; （×） （4）－x 2－y 2=－（x+y）（x－y）. （×）
2.把下列各式分解因式 解:(1)a2b2-m2 Cabt m)(ab-m) (2)(m-a)2-(n+b)2 =[(m-a)+(n+b)][(m-a)-(n+b)] (m-a++b)(m-a-n-b) (3)x2-(a+b-c)2 =[x+(a+b-c)][x-(a+b-c)] (x+a+b-c)(x-a-b+c) (4)-16x4+81y4 =(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x) 3.解:S剩=a2-4b2 当a=36,b=0.8时, S剩=362-4×082=3.62-1.62=5.2×2=104(cm2) 答:剩余部分的面积为104cm2 四、课后作业 1解:(1)a2-81=(a+9)(a-9) (2)36-x2=(6+x)(6-x) (3)1-16b2=1-(4b)2=(1+4b)(1-4b) (4)m2-9m2=(m+3n)(m-3n) (5)0.25q2-12lp (0.5q+11p)(0.5q-1lp) (6)169x2-4y2=(13x+2y)(13x-2y) (7)9a2p2-b2q2 (3ap+bq)(3ap-bg) 7 (8)a2-x2y2=(÷a+xy)(a-xy) 2.解:(1)(m+n)2-m2=(m+n+n)(m+n-n)=m(m+2n) [7(a-b)]2-[4(a+b)]2 [7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)] =(7a-7b+4a+4b)(7a-7b-4a-4b) =(11a-3b)(3a-11b) (3)(2x+y) 2y) =[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)] =(3x+3y)(x-y) (4)(x2+y2)-x2y2 (5)3ax2-3a4 =3a(x+y2)(x-y2) (6)p4-1=(p2+1)(p2-1)
18 2.把下列各式分解因式 解：（1）a 2b 2－m2 =（ab）2－m 2 =（ab+ m）（ab－m）; （2）（m－a）2－（n+b）2 =［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］ =（m－a+n+b）（m－a－n－b）; （3）x 2－（a+b－c）2 =［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］ =（x+a+b－c）（x－a－b+c）; （4）－16x 4+81y 4 =（9y 2）2－（4x 2）2 =（9y 2+4x 2）（9y 2－4x 2） =（9y 2+4x 2）（3y+2x）（3y－2x） 3.解：S 剩余=a 2－4b 2 . 当 a=3.6,b=0.8 时， S 剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2） 答：剩余部分的面积为 10.4 cm2 . 四、课后作业 1.解：（1）a 2－81=（a+9）（a－9）; （2）36－x 2=（6+x）（6－x）; （3）1－16b 2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）; （4）m 2－9n 2=（m +3n）（m－3n）; （5）0.25q 2－121p 2 =（0.5q+11p）（0.5q－11p）; （6）169x 2－4y 2=（13x+2y）（13x－2y）; （7）9a 2p 2－b 2q 2 =（3ap+bq）（3ap－bq）; （8） 4 49 a 2－x 2 y 2=（ 2 7 a+xy）（ 2 7 a－xy）; 2.解：（1）（m+n）2－n 2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）; （2）49（a－b）2－16（a+b）2 =［7（a－b）］2－［4（a+b）］2 =［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］ =（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b） =（11a－3b）（3a－11b）; （3）（2x+y）2－（x+2y）2 =［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］ =（3x+3y）（x－y） =3（x+y）（x－y）; （4）（x 2+y 2）－x 2 y 2 =（x 2+y 2+xy）（x 2+y 2－xy）; （5）3ax2－3ay4=3a（x 2－y 4） =3a（x+y 2）（x－y 2） （6）p 4－1=（p 2+1）（p 2－1） =（p 2+1）（p+1）（p－1）
3.解:S环形=xR2一P2=丌(R2-P2) =丌(R+r)(R-r) 当R=845,=3.45,丌=3.14时, S环形=3.14×(8.45+3.45)(845-345)=3.14×119×5=18683(cm2 答:两圆所围成的环形的面积为18683cm2 Ⅵ活动与探究 把(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc分解因式 f: (a+b+c)(bctcatab)-abc Lat(b+c)] [bcta(b+c)]-abc =abc+a (b+c)+bc (b+c) +a(b+c)2-abc =a(btc)+bc(b+c)+a(b+c)2 =(b+c)[a2+bc+a(b+c)] (b+c) la?tbctabtac] (b+c) la (atb)+c(a+b)] =(b+c)(a+b)(a+c) 运用公式法(二) 、教学目标 1使学生会用完全平方公式分解因式 2.使学生学习多步骤,多方法的分解因式 教学过程 在前面我们不仅学习了平方差公式 (a+b)(a-b) 而且还学习了完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b 三、新课 判断一个多项式是否为完全平方式,要考虑三个条件,项数是三项;其中有两项同号且能写成两个 数或式的平方:另一项是这两数或式乘积的2倍 1.例题讲解 [例1]把下列完全平方式分解因式 (1)x2+14x+49 (2)(m+n)2-6(m+n)+9 [师]分析:大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,然后再根据公式分解因式公式中 的a,b可以是单项式,也可以是多项式 解:(1)x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2 (2)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n)2-2·(m+n)×3+32=[(m+n)-3]2=(m+n-3) [例2]把下列各式分解因式 (1)3ax2+6ax+3a (2)-x2-4y2+4xy [师]分析:对一个三项式,如果发现它不能直接用完全平方公式分解时,要仔细观察它是否有公 因式,若有公因式应先提取公因式,再考虑用完全平方公式分解因式 如果三项中有两项能写成两数或式的平方,但符号不是“+”号时,可以先提取“一”号,然后再 用完全平方公式分解因式 解:(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2+y2) =3a(x+y) (2)
19 3.解：S 环形=πR 2－πr 2=π（R 2－r 2） =π（R+r）（R－r） 当 R=8.45,r=3.45，π=3.14 时， S 环形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2） 答：两圆所围成的环形的面积为 186.83 cm2 . Ⅵ.活动与探究 把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc 分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc =［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc =abc+a 2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc =a 2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2 =（b+c）［a 2+bc+a（b+c）］ =（b+c）［a 2+bc+ab+ac］ =（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］ =（b+c）（a+b）（a+c） 运用公式法（二） 一、教学目标 1.使学生会用完全平方公式分解因式. 2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式. 二、教学过程 在前面我们不仅学习了平方差公式 （a+b）（a－b）=a 2－b 2 而且还学习了完全平方公式 （a±b）2=a 2±2ab+b 2 三、新课 判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个 数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的 2 倍. 1.例题讲解 ［例 1］把下列完全平方式分解因式： （1）x 2+14x+49; （2）（m+n）2－6（m +n）+9. ［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中 的 a,b 可以是单项式，也可以是多项式. 解：（1）x 2+14x+49=x 2+2×7x+72=（x+7）2 （2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2 . ［例 2］把下列各式分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 ; （2）－x 2－4y 2+4xy. ［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公 因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式. 如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再 用完全平方公式分解因式. 解：（1）3ax2+6axy+3ay2 =3a（x 2+2xy+y 2） =3a（x+y）2 （2）－x 2－4y 2+4xy
(x2-4x+4y2) =-[x2-2·x·2y+(2y)2] 四、课堂练习 1.(1)是完全平方式 x-2 +(-)2=(x--) (2)不是完全平方式,因为3ab不符合要求 (3)是完全平方式 m2+3mn+9 (m)2+2×m×3n+(3n)2 (4)不是完全平方式 2.(1)x2-12+36y =x2-2·x·6y+(6y)2 =(x-6y)2 (2)16a4+24a2b2+9b4 =(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2 =(4a2+3b2)2 (3) (x2+2xy+y2) (4)4-12(x-y)+9(x-y)2 =2-2×2×3(x-y)+[3(x-y) =[2-3(x-y)]2 =(2-3x+3y)2 五、课后作业 1.(1)x2y2 (2)9-12+42=(3-2t) (3)y2+y+=(y+) (4)25m2-80m+64=(5m-8)2 (5)x (6)a2b2-4ab+4=(ab-2) (1)(x+y)2+6(x+y)+9 =[(x+y)+3]2 (x+y+3)2 (2)a2-2a(b+c)+(b+c)2 (3)4xy2-4x2y-y3
20 =－（x 2－4xy+4y 2） =－［x 2－2·x·2y+（2y）2］ =－（x－2y）2 四、课堂练习 1.（1）是完全平方式 x 2－x+ 4 1 =x 2－2·x· 2 1 +（ 2 1 ）2=（x－ 2 1 ）2 （2）不是完全平方式，因为 3ab 不符合要求. （3）是完全平方式 4 1 m2+3 m n+9n 2 =（ 2 1 m）2＋2× 2 1 m×3n+（3n）2 =（ 2 1 m +3n）2 （4）不是完全平方式 2.（1）x 2－12xy+36y 2 =x 2－2·x·6y+（6y）2 =（x－6y）2 ; （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4 =（4a 2）2+2·4a 2·3b 2+（3b 2）2 =（4a 2+3b 2）2 （3）－2xy－x 2－y 2 =－（x 2+2xy+y 2） =－（x+y）2 ; （4）4－12（x－y）+9（x－y）2 =22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2 =［2－3（x－y）］2 =（2－3x+3y）2 五、课后作业 1.（1）x 2 y 2－2xy+1=（xy－1）2 ; （2）9－12t+4t 2=（3－2t）2 ; （3）y 2+y+ 4 1 =（y+ 2 1 ）2 ; （4）25m2－80 m +64=（5 m－8）2 ; （5） 4 2 x +xy+y 2=（ 2 x +y）2 ; （6）a 2b 2－4ab+4=（ab－2）2 2.（1）（x+y）2+6（x+y）+9 =［（x+y）+3］2 =（x+y+3）2 ; （2）a 2－2a（b+c）+（b+c）2 =［a－（b+c）］2 =（a－b－c）2 ; （3）4xy2－4x 2 y－y 3