03拟合优度和模型选择准则概率论与统计学16
概率论与统计学 03 拟合优度和模型选择准则 16
3.拟合优度和模型选择准则定义[中心化R2]中心化R?或决定系数（CoefficientofDetermination）定义为En-ie?R2= 1-Zn-1(Yi - Y)2其中，ei=Yi-Yi，=n-1=Yi是样本均值，即Xoi=1（模型包含截距项）时，可进行正交分解：En=1(Yi - Y)2 = En=1(Yi - Y + Yi - Y)2= En-1(; - Y)2 +En-1e? +2En-1(, - Y)ei= Zr=i(Yi - Y)2 + Zr=1e?概率论与统计学17
概率论与统计学 ➢ 中心化 𝑅 2 或决定系数 (Coefficient of Determination) 定义为 𝑅 2≡ 1 − σ𝑖=1 𝑛 𝑒𝑖 2 σ𝑖=1 𝑛 (𝑌𝑖 − 𝑌ത) 2 其中，𝑒𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖，𝑌ത = 𝑛 −1 σ𝑖=1 𝑛 𝑌𝑖 是样本均值，即 𝑋0𝑖 = 1 （模型包含 截距项）时，可进行正交分解： σ𝑖=1 𝑛 (𝑌𝑖 − 𝑌ത) 2 = σ𝑖=1 𝑛 (𝑌𝑖 − 𝑌ത + 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖) 2 = σ𝑖=1 𝑛 (𝑌𝑖 − 𝑌ത) 2 + σ𝑖=1 𝑛 𝑒𝑖 2 + 2 σ𝑖=1 𝑛 (𝑌𝑖 − 𝑌ത) 𝑒𝑖 = σ𝑖=1 𝑛 (𝑌𝑖 − 𝑌ത) 2 + σ𝑖=1 𝑛 𝑒𝑖 2 17 3. 拟合优度和模型选择准则 定义 [中心化 𝑹 𝟐 ]
3.拟合优度和模型选择准则>其中交叉项nnnZ(-)e=)Yei-yeii=1i=1i=1= 0'En1 Xiei -YZn-1ei=é'X'e-Yl'e= 6'O-YO= 0这里使用了 OLS估计的一阶条件，即X'e =0和 l'e=Zn=1ei =0(因为X包含截距项)。> 因此, Zn(, -)?=En=(Yi -)2-n1e?概率论与统计学18
概率论与统计学 ➢ 其中交叉项 𝑖=1 𝑛 (𝑌𝑖 − 𝑌ത) 𝑒𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝑌𝑖𝑒𝑖 − 𝑌ത 𝑖=1 𝑛 𝑒𝑖 = 𝜃መ ′ σ𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖𝑒𝑖 − 𝑌ത σ𝑖=1 𝑛 𝑒𝑖 = 𝜃መ ′𝑋 ′𝑒 − 𝑌ത𝑙 ′𝑒 = 𝜃መ ′0 − 𝑌ത0 = 0 这里使用了 OLS 估计的一阶条件，即 𝑋′𝑒 = 0 和 𝑙′𝑒 = σ𝑖=1 𝑛 𝑒𝑖 = 0 (因 为 𝑋𝑖 包含截距项)。 ➢ 因此，σ𝑖=1 𝑛 (𝑌 𝑖 − 𝑌ത) 2=σ𝑖=1 𝑛 (𝑌𝑖 − 𝑌ത) 2− σ𝑖=1 𝑛 𝑒𝑖 2 18 3. 拟合优度和模型选择准则
3.拟合优度和模型选择准则》从而e'eR2 = 1 -Zn-1(Yi-Y)?Zn-1(Yi-Y)2-En=1 e?Zn=1(Yi-Y)2Zn1(Pi-Y)2Zr=1(Yi-Y)2>并且有0≤R2≤1概率论与统计学19
概率论与统计学 ➢ 从而 𝑅 2 = 1 − e ′𝑒 σ𝑖=1 𝑛 (𝑌𝑖−𝑌ത) 2 = σ𝑖=1 𝑛 (𝑌𝑖−𝑌ത) 2− σ𝑖=1 𝑛 𝑒𝑖 2 σ𝑖=1 𝑛 (𝑌𝑖−𝑌ത) 2 = σ𝑖=1 𝑛 (𝑌 𝑖−𝑌ത) 2 σ𝑖=1 𝑛 (𝑌𝑖−𝑌ത) 2 ➢ 并且有 0 ≤ 𝑅 2 ≤ 1 19 3. 拟合优度和模型选择准则
3.拟合优度和模型选准则例：[资本资产定价模型与R?的经济含义]：>经典资本资产定价模型（CapitalAssetPricingModel,CAPM）可由以下方程刻画：rit -rft = α +βi(rmt -rft)+ eit,t = 1,2,..,n其中，rit是某资产投资组合（或资产）i在时期t的收益率，rft是无风险资产在时期t的收益率，rmt是市场组合在时期t的收益率。rit-rft是资产投资组合的风险溢价(RiskPremium)，rmt一rft是市场组合的风险溢价，即唯一的系统风险因子。&it是资产投资组合的特质风险因子。概率论与统计学20
概率论与统计学 例: [资本资产定价模型与 𝑹 𝟐 的经济含义]： ➢ 经典资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing Model, CAPM) 可由以下方 程刻画： 𝑟𝑖𝑡 − 𝑟𝑓𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑖 𝑟𝑚𝑡 − 𝑟𝑓𝑡 + 𝜀𝑖𝑡 , 𝑡 = 1,2, ⋯ , 𝑛 其中, 𝑟𝑖𝑡 是某资产投资组合（或资产）𝑖 在时期 𝑡 的收益率，𝑟𝑓𝑡 是无风险资 产在时期 𝑡 的收益率，𝑟𝑚𝑡 是市场组合在时期 𝑡的收益率。 𝑟𝑖𝑡 − 𝑟𝑓𝑡是资产投资组合的风险溢价 (Risk Premium)，𝑟𝑚𝑡 − 𝑟𝑓𝑡 是市场组合的 风险溢价，即唯一的系统风险因子。𝜀𝑖𝑡 是资产投资组合的特质风险因子。 20 3. 拟合优度和模型选择准则