第二章一维稳定导热 23 式(2.1). 22从通用导热方程出发,证明图24中的线性温度分布是正确的 邮选直角坐标系较为恰当因而相应的方程为式(2.2) 假定 平板在y和z方向很大,则 小数 △y△z很大的数 而且,它们的变化率(臂如△T/△y随y变化)更小,于是 aT 0 2.无内热源,因此q"=0 稳态 根据假定的条件12和3,导热方程简化为 积分两次得T=C1x+C2,为线性温度分布选择积分常数C1和C2以满足边界条件 T1-C1TI+C2. T2=C1 2+ C2 23试直接由适当的稳态导热方程求出图26所示的单层圆筒的dT/dr,并将其代入傅里 叶定律以导出式(2.13) 解由于这是圆柱形、稳态、无内热源阿题故适用的导热方程为 T=31 3T+12 + 假定:圆筒很长(或z方向的温度变化可忽略)并且澀度不随方位角变化;则有 a-t=o 这样,方程简化为 1#-0数()0 积分一次有 再次积分得 由边界条件T(r1)=T1和T(r2)=T2得 T-t 傅里叶定律变为 k(2πrL)=-k(2πL)B=2πk 」12 此即所要的结果 24有一实验室用的炉,炉墙用0.2米厚、导热系数k。=1.0W/m·K的耐火砖砌成其外表 面包以003米厚、导热系数kb=0.07W/m·K的隔热层炉墙的内表面温度为1250K 隔热层的外表面温度为310K.试计算通过炉墙的稳态传热速率,单位为W/m2;并确定 耐火砖与隔热层间的界面温度T2 解卸应用方程(2.11)(同图2-5),其中外表面1和3上的温度分别取为1250K和310K,但该间 题中材料a(耐火砖)的厚度大于材料b(隔热层)的厚度由式(211)得 A(△r。/kn)+(△rb/k)-(0.2m/1.0W/m·K)+(0.03m/0.07W/m
24 将方程(210)用于耐火砖层或隔热层可求得界面温度T2,若选耐火砖层,有 T r2=12530-14150110m.x)=31K或6X℃ 25确定给定传热速率下的隔热层厚度为一↑常见的工程问题若习题24中通过炉墙的 最大容许传热速率为900w/m2,问隔热层应为多厚?耐火砖和隔热层材料均与题24 相同 解应用方程(21),式中仅隔热层厚度△x未知因此 900w/m2 m/10W/m·K)+(△x/0.07W/m·K) 解得△xb为 △x=(0.0)900-0.m=0.059m 26许多美国房屋的天花板是由固定在珩条上厚度为5/8英寸的纤维板组成珩条间填充 松散的玻璃棉隔热材料(见图217).忽略木制珩条的影响,试确定:当天花板底面温度 为85F和玻璃棉顶面温度为45下时,每单位面积的传热速率 玻璃棉 ” 解平均温度657的玻璃棉的导热系数可取为k≈0.0192Bu/(hfT),纤维板的导热系 为k≈0.028Bu/h·ft·T(后者为90下时的值,这在木问题中是可以接受的)由电模拟(见图217 (b)),有 9T1-T 单位面积纤维板和玻璃棉隔热层的热阻分别是 R,=a6312)15=1.86n2,T/Bm R,=6.0192Bm/h.m.下=23.87h·f2,T/Bm (85-45) A(1.86+2387)h·f2,T/ 1.5sBtu/(h·f2) 27一复合三层壁由0.5cm厚的铝板、025cm厚的石棉以及2cm厚的玻璃棉(93℃时,k= 00548W/mK)组成;中间层为石棉铝板外表面温度为400℃,玻璃棉外表面温度为 50℃.试确定单位面积上的热流 解酽由附表B1(S查得,400℃时k=249W/(mK) 由附表B2(S)查得,51℃时,k=0.166w/(mK) 93℃时,k=0.0548W/mK 注意:石棉板的平均温度肯定高于51℃,但这是表中仅能查到的k值但另外两个导热系数所取的温
第二章一维稳定导 度对于本问题是适当的由式(2.12)得 (400-50)t A[(0.5×107/249)+(0.25×10-/0.166)+(2.0×10-2/0.0548)1m/W/(m·K 920. 28就由石棉和玻璃棉组成且有相同总温差的复合二层壁问题,重新计算习题2 解郾取求解题2.7时所用的导热系数值,并应用式(2.12) q 400-50 A[(0.25×10-2/0.160)+(2.0×102/0.0548)]m/W/(m,K) 显然,铝板的热阻小到可忽略不计 29有一简单的导热系数测定装置,见图2-18.其中 心为一导热系数k未知的金属棒棒的顶面用 电加热器维持在80℃,而底面用通过板式换热 器的冷却水流保持在22℃假定方程(1.9)中的 绝热层 b在22至80℃的温度范围内为零输入的电功 率为1845W,并且试样的长度和直径分别为 样品 01m和0.03m,试确定k的值.查阅附表B1 (SI),是否有导热系数与此相近的金属? 解当b=0时,k与温度无关则有 因而 T/△ =-1845W,A=40.03m)2=7.07×10m2 AT=58K △y=0.1m 于是 18,45W)(01m) (S8KX)(7.07×10-1m2)=4.99W/(mK) 由附表B(S),导热系数k=44.9W/(m·K)的金属可能是含碳量为1.0%的钢因为在0至100℃ 范围内,其导热系数值k=43w/(mK) 210一外径3英寸的钢管外表面包了层厚为1/2英寸的石棉(p=36lhm/fe),面石棉又被 厚为2英寸的玻璃棉(p=4lbm/ft)覆盖求(a)单位英尺管长的稳态传热速率;(b)石 棉与玻璃棉间的界面温度设管子外表面温度为400F,菝璃棉外表面温度为100 解据文献,石棉与玻璃棉在392下和2007F时的导热系数分别为 =0.0317,Bu 上述温度可认为与这两种材料的实际平均温度是比较接近的 (a)由式(2.15), =a2043 x(400-100) k+[n(4.0/2.0)]/k 2r(30 (0.288/0.120Btu/(h·f:T))+(0.693/0.0317Btu/(h·ft·下)) 1884.967 24.26th·ftF/Btu (b)因单位管长的传热速率已求出,故可用单层圆筒导热方程(2.13)确定界面温度因此,若考虑玻 璃棉层,则有
传热学 (100F)= T2=270.37+100 我们也可通过考虑石棉层求得T2,因为在稳态时q/L对于两者都是相同的注意,玻璃棉的平均温 度约为235F,这同所先导热系数的对应温度较为接近 211一外径为50cm的钢管(k=45.0W/(m·K)被一层厚为42cm的氧化镁隔热材料(k 007W/(mK)所包裹,而氧化镁外又包了一层2.4cm厚的玻璃纤维隔热材料(k 0.048W/(mK))若钢管外壁面温度为370K,玻璃纤维隔热层外壁面温度为305K 问:氧化镁与玻璃纤维间的界面温度为多少? 解参见图2-7并使用式(2.15),此处材料a是纯度为85%的氧化镁,材料b为玻璃纤维于 r1=2.5cm=0.025m, r2=6.7cm=0.067m r3=10.cm=0.101m, T1=370K, T2=305K =km=0.0W/(m·K),b=h=0.048W/(m:K) 由式(2.15)得 L((1/0.07)hn(6.7/2.5)+(1/0.048)hn(10.1/6.7)jm,K/W 8.55=18.04W/m 所要求的界面温度为图2-7中的T2 根据方程(2.14)和已求得的q/L=18.04W/m,有 18.04w/m= 2πx0.07W/(m·K)(370K-T 30K-7:=18003K+20.010404K 试惟导式(2.17) 解郾出导热系数与温度线性相关式k=ka(1+),傅里叶定律变为(温度变量用6表示) q=-k0(1+b)A2或 a dz=-ko(1+60)d6 积分上式(稳态时,q/A为常数)得 (x2-x1)=k0B1-82+1(2- 记x2-x1=△x,62“1=T2-T(=△T,km的定义同式(218),最后方程变为 与式(2.17)相同 213试给出图2-19所示平板温度分布T(x)的解析表达式设平板在x1和x2处分别有 均匀的表面温度T1和T2,导热系数随温度线性变化:k=k0(1+bT) 解彭对傅里叶定律进行分离变量,得 从x1积分至任意x,得
二章一维稳定导热 (I+bT)dT ()(b>0) 将方程右边整理成乎方差 (i)(b<0) f+ 因曲线(1)必须通过点(x2,T2),则 (x2-x1)=(T T1+ 图2-19 式中T=(T1+T2)/2.式(1)除以式(2),解得 +[(x+b)+2(xn+)( (3) 若b=0,可直接从傅里叶定律得 r=r1+1-T(x-x)(b=0 2.14参考习题2.13,试证明当b>0时,平板内温度分布的剖面曲线是如图219所示的那 样向上凸的 对傅里叶定律 =(1+bT) 求相对于x的微分,得 + 或写 dT< 阶导数为负正如图2-19(1)所示,曲线上凸注意:这一结论与边界条件无关 2.15内外半径分别为r1和n2的中空圆柱稳态传热时,n1和r2处的内、外表面温度分 别是T1和T2,若其导热系数可表示为k=k0(1+60).试导出单位长度圆柱传热速率 的表达式 解鄯温度用8表示的傅里叶定律为 q=-kA 式中A,为垂直于r向的面积将k=k0(1+)和A,=2mL(L为圆柱长度)代入上式,得 q-(+10(x)2或r2=-1(1+6 稳态时,q/2rL是常数因而沿整个圆筒壁的径向积分并整理得 k1+y(02+1) 由平均导热系数的定义式(218),该结果可简化为 2.16在一个简单的测量铜板导热系数的实验中纯铜板的厚度为2cm,两表面分别维持在 500℃和300℃,测得通过铜板的热流密度为3.63MW/m2(1MW=10w).该材料在 150℃时导热系数的报导值为k=371.9W/(mK)试导出形如式(1.9)的k(T)的表达 式