式中k的下标表示的是各层内外界面半径的序数(例如,若两层圆筒系统的外层材料为b,则 圆柱隔热居的临界厚度 在许多情况下,金属管的热阻与其隔热层的热阻相比,可忽略不计(参见习题2.27),并且 管壁的温度与管内流体温度通常也几乎相同对于单层隔热材料,单位管长的传热速率为 2x(T;-T) g=ULAT=[inr/r:)/k]+(1 式中各符号定义见图2-11 T h。=h (a)官系 (b)杆或线系统 图2-11 作为r的函数,q/L的最大值出现在 因此,当r<r=1(对于直径小的管、杆或线材这种情况时有发生),热损速率随着隔热层厚度 热损速率总是随着然会,而后当隔热层厚度进一步增加时则减小另一方面,当r;>ram 2.8肋片传热 在换热器、内燃机或电子元件中常用扩展表面(或肋片)来增加对流传热的有效面积 等截面肋 两种常见的肋片——矩形助和杆肋,都是等截面肋,因而可用相同的方法进行分析 矩形肋图2-12所示的是一种矩形肋片,其根部的温度为Tb,周圉流体的温度为T对肋 片上一厚度为△x的徽元应用热力学第一定律,在稳态下可得 (在x处传导入的能量)=(在x+Δx处传导出的能量)+(对流传出的能量) 假定x或z方向的温度不变,上述三项能量分别为 x“x+=~ ka dx lr+△x,qm=h(P△x)(T-T) 式中,P是周长,等于2(ω+t)设导热系数k为常数,将上述三个表达式代入第一定律,两边 可除以△x,并取极限△x→0,得 d2t hp (2.38) 令0=T-T以及n=√hP/A,式(238)变为 20 其通解是
第二章一维稳定导热 Tb 0(x)=C1e+C 上式的一个边界条件是θ(0)=T6-T如=0,由此可得C1+C2=0表2-1给出了对应于三 种可供选择的第二个边界条件的解第三种情况中的h1是肋片端面的平均传热系数;它与助 片侧面的h可以不同 矩形肋片 第二边界条件 0/B 情形1 e(+∞)=0 无限长,濑面温度为周围流体温度 情形2 anshIn(L-r) 有限长,端面绝热 cosby L dx=hro(L) cosh[n(L-r)-(hink)sinh[n(L-r) 限长,端面有对流热损 coshnL-(hi/nk)sinnnL 上述三种情形下的肋片的散热速率均可通过计算进入肋片根部的传导热流很容易求得 de 其中,A=vt,x=0处的温度梯度由表2-1推得.由此可得 情形1. Ang (2.41) 情形2 走 Ane, tanhnL (2.42) 情形3 sinhnL +(hi/nk)coshnL q=kAnto (243) 讨论(a):对于薄肋,如》t,且P≈2w,故 n 讨论(b):杆肋(或针助)的温度分布以及热流的解与矩形肋的相同,但P和n的表达式不 同.若杆的半径为r
传热学 针或杆:n 五 (2.45) 讨论(c):肋端面绝热情形的解(2.42)常被用于端面是裸露的情形,此时肋侧面热损一般 远大于其端面热损这种情形下,采用式(2.42)计算热流q只需将其中的L用修正长度表示 即可 矩形肋:L=L+5 杆或针肋: =L+ 变截面肋 变截面肋温度分布的微分方程为 d2,1A妲_五s 0 式中,A=A()和S=S()分别是可变的截面积和表面积 均厚环肋考虑图2-13所示的环肋对于无周向温度变化且t同r2-r:相比较小的情况,其 温度仅是r的函数(=r),截面积和表面积分别为A(r)=2xr和S(r)=2n(r2-r2),于是 式(2.46)变为 0,1d (2.47) 图2 此为零阶的贝塞尔( Bessel)微分方程,其通解是 8= ClIo(nr)-C2Ko(nr (2.48) 式中,n=√2h/k,I0=修正的第一类贝塞尔函数,K=修正的第二类贝塞尔函数常数C 和C2由以下边界条件确定 ap 第二个边界条件用了肋端无热损假定.这一点对于环肋通常要比矩形助更切合实际,因其表面 积随r急剧增加 得到C1和C2后,式(2.48)变为 -I0(n)K1(nmr2)+K0(mr)1m2) 6I0(n1)K1(nr2)+K(nr1)I1(n2) (2.49) 肋片散热速率可通过计算其根部的热传导获得 K,(nr,I,(nr2)-,(nr,K,(nra 9= 2rkto, (nri)lo(nr:KI(nr2)+Ke(nri)I(nr2) (2.50)
第二拿一维稳定导热 Jahnke,E.,F.Emde和F. Lasch所著的“ Tables of Higher Functions”(第六版, McGraw-Hill, New York,1960)给出了贝塞尔函数表,其精度足以满足大多数工程应用的需要 三角形直肋 式(246)对应于图2-14所示肋片的解(t《L 时温度只是x的函数)为 e Io(2 px (2.51) lo(2pL. 式中 kf=√1+(/2L)2 对肋根部应用傅里叶定律可得每单位宽度(z方向) 助的热损为 k(bI1(2p12) 图214 q=L1210(2p12) 肋效率 使用肋片的主要目的在于增加换热器中与流体接触的有效传热面积肋片性能通常用肋 效車犷表示,其定义为 肋片实际传热 v-整个肋表面处于肋基温度下的传热 (2.53) 由v的定义,加肋后的总传热速率可简单表示为 (2.54) 式中A是肋片的总表面积,A是肋片间板或管等的表面积(见图2-15) (a) 图2-15 几种常用助型的效率v的解析表达式较易获得.如对无端面热损的矩形肋这一简单情 况,其肋效率由式(242)得 hPkAO, tanhnL tanan h PLa (2.55 若肋很薄,则由式(2.44)得 1/2 2h 1/2 (2.56) 式中,Ap=Lt为矩形肋的纵剖面面积 助效率?/(见式(2.55与n/212(见式(2.56))的关系曲线绘于图216,其中L已换成 L4=L+(t/2)以计及端面热损类似的三角形直肋和均厚环肋的效率曲线也一并给出.注意
对矩形肋和环肋纵剖面积A2为乘积L4,面对于三角形育功,A,仅是L的一半.当然,三角 形直助无需进行长度修正,对于环肋,r2=r2+(t/2 Le(h/kA 2= nLe 例题详解 2.1试推导通用导热方程式(2.1) 零对于图21所示的控制体,热力学第一定律可以表示为单位时间内 (传入的热)+(传入的功量)+(体内其他能量转换的热量) (传出的热量)+(传出的功量)+(体内储存能量(内能)的增加) (1) 对于不可压缩物质外界对控劍体所做的净功转变为内能体内(因做功或化学反应等)的能转换热 以q"表示,则式(1)为 考察式(2)中的传热项,用傅里叶定律可将x方向的两项合并成 (3) 注意,导热系数k可与温度有关,因而与空间位置有关在中心点P处进行泰勒( Taylor)级数展开 k5+ 则式(3)变为 △y△z (4 类似地 △△z△ (6) 最后,每单位体积单位温升所储存的内能为材料密度和比热容的乘积,于是 将式(4)-(7)代入式(2),两边同除以微元体积△Δy△x,并取△x、△y和Δz问时趋于零的爱限,即得