34 固体物理概念题和习题指导 h, h, h hi h2 h3=0. h'h2 [解答] 设原胞坐标系中的倒格子基矢为b,b2,bs,则晶面(h1h2h3), (h1hh3)及h红h红3)的倒格矢分别为 Kn=hb,th2b2+h3b Kx=hb,th2b2th1b3. K≈hb1+h如b2+hb 当三个晶面共晶带时,它们的交线相互平行,这些交线都垂直子倒 格矢K,Kh,K,即K,K,k"位于同一平面上,于是有 K·(KXK)=0 利用正倒格子的关系 2r[b2×b]2x[bXb] 丌b×b 得 K×K={h1h-h2h1)b1Xb2十(h2h-hh2)b2×b十 (h3h1-h1h3)b3×b 「ih:h a:+ a1+ a h2 h 式中Q’为倒格原胞体积于是得到 K·(KXK h +h hi h2 h:h.h 代入(1)式,得
第一章晶体的结构 35 h, h2 h hi h2 h3=0 3.晶面(h2hh3),(hh3)的交线与晶列 R1=l;a1+l242+l3a3 平行,证明 hh l1 l2 h3 hi [解答] 与晶面(hh2h2),(h1hh3)垂直的倒格矢分别为, Kh=h,61+h2b2th3b3 K=h1b1+h2b2+h多b3, 晶面的交线应同时与K和K垂直,即与KXK平行,而 h, h h, h, Kh XKh 6,Xb2+ 62Xb,t b xb h, h h. h a4+ a h2 h 式中=b1·(b2×b3)为倒格原胞体积、a1,a2、a3为正格原胞基 矢 已知晶面(h1h2h3),(h1h2h3)的交线与晶列R=la1+la2+ l:a3平行,即R和KkXK平行,因此l1,l2,l可取为 h. hs h.h l1 hh hih l4.今有正格矢 u=la+ma2tna
固体物理概念题和习题指导 a1n a tn a W=l“a1+m'a2+n"a 其中1,m,n;",m,n及",m",n"均为整数,试证a,p,M可选作基矢 的充分条件是 ±1. n [解答] 解法 固体物理原胞的选取方法有无数种,但它们有一个共同的特 点,即它们的体积都相等是晶体的最小重复单元,因此,,v,w 可选作基矢的充分条件是,由基矢u,y,w构成的原胞体积一定等 于由基矢a1,a2,a3构成的原胞体积,即 a:(v×w)=a1(a2×a3)=2 将 u=lat++na,, a1+m'a2+ 即=la1+m'a2+n'a3, 代人a·(vX脚),得 ·(v×v) =·[{lm"-mP")(a1xa2)+(mn"-nm")(a2xa3 +(n{"-n")(a3×a1)] n{(l'm"-ml")Q+lmn"-nm"la+m\n”-ln" mn n 72 将上式代入(])式得
第一章晶体的结构 37 nn 解法二: 设a=+y+W,当u,,w为基矢时,x,y,z应取整数值 将 十 Ala tma, t na3 y=la+m'a2tn'as w=latma2tn'a3r 代入a1=x+y+z,得 1"ru+ y+aw (xltyl'tal )a1+(xm tym'tem )a2+(rntyn'+zn)a3. 由此得方程组 lx+ly+2=1, mx+m'ytm"z=0 nrtn'y+nz=0. 解方程组得 0m 0n′ y △/m0m z=|mm'0, 式中
3 固体物理概念题和习题指导 n nn 由于x,y,z的表示式中的三个分子的行列式的值均为整数,x,y,z 为整数,因此u,,w可选作基矢的充分条件是 士1 nn 15.对于面心立方晶体,已知晶面族的密勒指数为(hD),求 对应的原胞坐标系中的面指数(h1h2h3).若已知(hh2h2),求对应 的密勒指数(hL) [解答] 由《固体物理教程》(1.3)式和(1.14)两式得面心立方晶体原 胞坐标系中的倒格基矢b1,b2,b3与晶胞坐标系中的倒格基矢a’, b,c'的关系为 b1=(-计j+k)=(-a’十b'十c'), b2=(i-j+k)=(a'一b'+c') b;=(i+jk)=(a’+b'-c) 也即 (b2+b) j=(b3+b1) k=(b1+b2) 与晶面族(hk)垂直的倒格矢