第三章图像变换 ChapTER 3 OIMAGE TRANSFORM §1傅里叶变换(F斤「和性质) §2可分离的图像变换 §3 Hotelling变换 版权所有,1997(c) Dale Carnegie& Associates,nc
第三章 图像变换 版权所有， 1997 (c) Dale Carnegie & Associates, Inc. •CHAPTER 3 •IMAGE TRANSFORM •§1 傅里叶变换(FFT和性质) •§2 可分离的图像变换 •§3 Hotelling变换
83.1傅里叶变换 傅里叶变换在图像处理中应用较多。 §3,1.1傅里叶变换:(仅考虑离散情况)。 1D傅里叶变换对 正变换: F(u)=(1/N)∑f(X)exp[-2jux/N],u=0,…N-1 F(u)是复函数,即 F(U =R (u) +jI (u)=F(u explo(ul F(u)|=[R(u)2+I(u)2]2;幅度函数(傅里叶频谱) d(u=arct [I (U)/R(u)]: 相位角 反变换:f(u)=∑F(u)exp[-2jux/N],x=0,…N-1;
§3.1 傅里叶变换 傅里叶变换在图像处理中应用较多。 §3.1.1 傅里叶变换：（仅考虑离散情况）。 一、 1D傅里叶变换对 正变换： F（u）= （1/N） f（x）exp[-2jux/N] ，u=0,…,N-1； F（u）是复函数，即 F（u） = |R（u）+j I（u）| = |F（u）| exp[j(u)] ； |F（u）| = [R（u）2+I（u）2 ] 1/2；幅度函数（傅里叶频谱） (u) = arctg [I（u）/R（u）]； 相位角 反变换：f（u）= F（u）exp[-2jux/N] ，x=0,…,N-1；
§3.1.1傅里叶变换(续1) 、二维傅里叶变换对 正变换F(uM)=(1/N2)2∑f(x,y)exp-2jπ(u+w)/N u=0,…,N-1;V=0,…,N-1 反变换f(xy)=∑∑F(u)exp-2jπ(ux+wy)/N], x=0…,N-1;y=0,…,N-1 §3.1.2傅里叶变换性质 分离性 exp[-2jT(UX+vy)/N]= exp[-2jTuX/N] exp[-2jTVy/N] F(X,V)=((1/N) 2 f(,y) exp[-2jTVy/N]S,V=0,,N-1 F(u, v)=f(1/N) 2F (X, v) exp[-2jTUXN]],u=0,, N-1 ∴一个2D傅里叶变换可由连续2次运用1D傅里叶变换来实现, 先进行y(列)变换,后进行x(行)变换;
§3.1.1 傅里叶变换（续1） 二、二维傅里叶变换对 正变换 F（u,v）= （1/N2） f（x,y）exp[-2j（ux+vy）/N] ，u=0,…,N-1；v=0,…,N-1 反变换f（ x,y ）= F（u,v）exp[-2j（ux+vy）/N]， x=0,…,N-1；y=0,…,N-1 §3.1.2 傅里叶变换性质 一、分离性： ∵ exp[-2j（ux+vy）/N] = exp[-2jux/N] exp[-2jvy/N] F（x,v）= {（1/N） f（x,y）exp[-2jvy/N] }，v=0,…,N-1 F（u,v）= {（1/N）F（x,v）exp[-2jux/N] }，u=0,…,N-1 ∴一个2D傅里叶变换可由连续2次运用1D傅里叶变换来实现， 先进行y（列）变换，后进行x（行）变换；
33.12傅里叶变换性质(续1) 平移性(不影响幅值,由级数展开可得出对应关系◇) f(X,y) exp[-2jT(uoX+Voy)/N]F(u-Uo/V-Vo 表明原f(xy)用f(xy)exp[-2jπ(uox+Vy)/N]替换后 进行傅里叶变换,则变换后的频域中心平移到了新位置 类似:f(Xx0yy0)F(u)exp-2j(uxo+w0)/N] 表明F(u,)与一个指数项相乘后再进行傅里叶反变换,则 变换后的空域中心平移到了新位置。 三、周期性和共轭对称性 F(Uv)=F(u+Nv)=F(Uv+N=F(u+NV+N) 利用周期性和共轭对称性,只需一个周期的变换就可确定f (xy)或反之,方便了分析和计算
§3.1.2 傅里叶变换性质（续1） • 二、平移性（不影响幅值，由级数展开可得出对应关系 ） f（x,y）exp[-2j（u0x+v0y）/N]F（u-u0 ,v-v0） • 表明原f（x,y）用f（x,y ）exp[-2j（u0x+v0y）/N]替换后 进行傅里叶变换，则变换后的频域中心平移到了新位置。 类似：f（x-x0 ,y-y0） F（u,v）exp[-2j（ux0+vy0）/N] • 表明F（u,v）与一个指数项相乘后再进行傅里叶反变换，则 变换后的空域中心平移到了新位置。 • 三、周期性和共轭对称性 • F（u,v）= F（u+N,v）= F（u,v+N）= F（u+N,v+N） • 利用周期性和共轭对称性，只需一个周期的变换就可确定f （x,y ）或反之，方便了分析和计算
83.1,2傅里叶变换性质(续2) 四、旋转性质(借助极坐标变换可证明) f(r0+00)=F(φ+0); 将f(xy)旋转0度对应于将F(uV)也旋转0;反之一样。 五、卷积 1.fe和g的含义 设一维时f采样长为A的序列,g采样长为B的序列 当M=A+B-1时,卷积周期M才不会重叠,且是相邻接的 若A〈M,B〈M,需扩展f,g为M序列,方法是补充0 即 e(x) f(x 0≤X<A-1 (X)=0 A<X<M-1
§3.1.2 傅里叶变换性质（续2） 四、旋转性质（借助极坐标变换可证明） f（r, +0）= F（+0）； 将f（x,y）旋转0度对应于将F（u,v）也旋转0 ；反之一样。 五、卷积 1. f e 和g e的含义 设一维时f 采样长为A 的序列，g 采样长为B 的序列； 当M=A+B-1时，卷积周期M才不会重叠，且是相邻接的； 若A〈 M，B〈 M，需扩展f , g 为M序列，方法是补充0； 即： f e（x）= f（x） 0 x A-1 f e（x）= 0 A x M-1