§35直接积分法 以实例来说明直接积分法的应用 例3.5.1有一平行板电容器,设极板之间的距离d远小于极板 平面的尺寸,极板之间充满着个电常数为∈的电介质利均匀分布着体 电荷密度为P的电荷,极板之间的电压为Uo,如图3.5.1所小,试求 极板之间的电位和电场强度 解取直角坐标系,使√z平面与左极 板平面重 因为极板平面的尺寸远大于板间距离d, 则可以忽略边缘效应,板间电位φ近似认为 仅与坐标x有关,它应满足下列一维泊松方 程: V“ 将上式直接积分,得出电位的通解表示式为 + Cix+c 2E
以实例来说明直接积分法的应用 §3.5 直接积分法 例题
式中,C1和C2为积分常数,它可以通过下列边界条件来确定: 0,(当x=0时) 1U,(当x=d时 将上列边界条件代入电位的通解表示式,得出 0⊥Q 2 C2=0 求得极板平面之间的电位和电场强度分别为 十 2e 十 E d④Φ on E V更 e 2E
以实例来说明直接积分法的应用例3.5.2
例3.5.2设有一根长直的同轴电缆,內外导体的半径分别为r 和R,它们之间填充着介电常数为ε的电介质,其截面如图3.5.2 所示.已知内外导体之间的电压为U0,试求内外导体之间的电位 和电场强度分布 解取定圆柱坐标系,使x轴与申缆的中心轴线相重合,则内外 导体之间的电位仅随坐标而变化内外导体之间的电位应满足下 列形式的一维拉普拉斯方程: a g V2φ 从而求出内外导体之间的电位及其电场强度分布分别为 Uo In(o/r R in(r/r) E °pln(R/
直接积分法的应用例3.5.2继续
例3.5.3有一半径为R的球体,均匀分 布着体电荷密度为ρ的电荷.设球内外介质的 介电常数分别为e1和∈2,试求球内外的电位 和电场强度分布 解取定球面坐标系,使坐标原点位于带 电球体的球心 设球内的电位和电场强度分别表示为1 和E1,球外的电位和电场强度分别表示为Φ2 和E2,它们均仅为坐标r的函数参
直接积分法的应用例3.5.2继续 参
虑球坐标下的拉普拉斯方程 Vz① ar (r≤R) V2④2= a/, r 0 ≥R) 上述两方程分别直接积分两次,得出通解为 6 +c 不同介质的分界面上的边界条件 (当r=R时) a中y=621 0Φ (当r=R时)
直接积分法的应用例3.5.2继续 虑球坐标下的拉普拉斯方程