§3.4,§3.5泊松方程和拉普拉斯方程 1泊松方程 均匀、线性各向同性的电介质中, 静电场基本方程之一可以写为 ·D=V.(E)=eV·E=p 将E=-VΦ代入上式,得出 eV·V更=P即为 电位的泊松( Poisson)方程 (3.4.1) 矢量恒等式 Vx(VxE)=V(V·E)-V2E 将静电场基本方程式V×E=0 和v·E=2代入上式,得出 VE -ve (3.4.2) 电场强度的泊松方程 VE= e dr 可以在直角坐标系中分解为三个 VLE 19 标量泊松方程 y (3.4.4) VLE (3.4.5)
1 泊松方程 §3.4 ,§3.5 泊松方程和拉普拉斯方程 均匀、线性各向同性的电介质中， 静电场基本方程之一可以写为: 可以在直角坐标系中分解为三个 标量泊松方程
2拉普拉斯方程 在不存在电荷的无源区域内,p=0,(3.4.1)式成为 (3.4.6) (3.4.6)式称为电位的拉普拉斯方程 在体电荷为均匀分布的区域内,p=常数,(34.2)式成为 VE=0 (3.4.7) 3.4.7)式称为电场强度的拉普拉斯方程这是一个矢量方程,在直角坐标系中,也可以 分解为三个拉普拉斯方程。 3静电场的唯一性定理 静电场问题分为分布型和边值型两大类,已知场中的电荷分布,求场内的电场强度分布 或电位分布这类问题称之为静电场分布型问题 已知两不同媒质分界面上:(主要是指导体电介质的分界面上)的电位边界条件,求解电 佗汨松方程或抆普拉斯方程以获取电介质内的电位分布,这类问题称为静电场边值型问题, 或简称静电场边值问题.在边值问题中,若已知的是导体表面的电位分布,则称为第类边 值问题,或称为狄里赫利( Dirichlet)问题;若已知的是导体表面的电位沿法线方向的方向导
3 静电场的唯一性定理 2 拉普拉斯方程 （3.4.6） （3.4.7） 分解为三个拉普拉斯方程。 静电场问题分为分布型和边值型两大类，已知场中的电荷分布，求场内的电场强度分布 或电位分布这类问题称之为静电场分布型问题。 也可以
数分布(即已知的是导体表面的面电荷密度分布,因为。=一 n 则称为第二类边值 问题,或称为纽曼( Neumann)问题;若在部分导体表面上,已知的是电位分布,而在另一部 分导体表面上,已知的是电位法向导数分布、则称为第三类边值问题,或称为混合边值 问题 求解静电场边值问题,可以用各种不同的方法,包括解析方法和数值方法.那么,用不 同方法求出的解答会一样吗?为了回答这个问题,下面将证明,如果带电导体的形状、尺寸 和位置均已固定,则满足边界亲件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的,这就是静电场 解的唯一性定理 现在以泊松方程为例并釆用反证法来证明这一定理.设在静电场的场域空间中有两个解 1和更2,它们满足同样的边界条件和泊松方程,即 在格林第一定理中,令u==φo,可得 Vav+yv=∮ 更0Vo·dS S V④。|2dV aoas (3.48) 式中,将V取为诸导体外部的无限大空间;S是ⅴ的界面,它为导体表面S(i=1,2,…, N)和无限大球面Sm所围成的闭合面;ds的方向为S的外法线方向,n为沿该方向上的方 向导数(如图3.4.1所示)
静电场的唯一性定理的证明
因为电荷分布在有限区域内,则⊥.SF.“当球面半径r→∞, φo3在无限大球面S的面积分必趋于零,(3.4.8)式成为 a)Φ VΦo|-dv d s (3.4.9) 对第一类边值问题而言,在诸导体表面S1 上更o=φ1-2=0,(3.4.9)式右端为零,得 |2dV=0 因为被积函数V重02不小于零,上式必 然导致 vΦo=V(Φ1-2)=0 即 常数 因为在诸导体表面S,(i=1,2,…,N)上, 已知型1=如,则上式中的常数必为零,即在 图3.4.1静电场唯一性定理 V内各点有 这说明,第一类边值问题的解是唯一的
静电场的唯一性定理的证明
对第二类边值问题而言,在诸导体表面S;上 ④1d中2 刁na 即 n n (3.4.9)式右端为零,同样得 dv=0 和上面所述的理由相同,它必然导致 vΦ。=VΦ1-V 这时,φ0不一定为零,即φ:与φ2相差一个常数,然而,电场强度在V内 各点却是处处相等的,即 E V V④,=E 从这个意义上讲,我们仍然可以认为静电场的解是唯一的 对第三类边值问题而言,它是上述两类边界条件的混合情形,因而可借助 上面的证明方法来证明这类边值问题的解的唯一性
唯一性定理证明续