除此以外还有另外两个定解条件 0 (当r=∞时) 0 (当r=0时) 最终得出球内外电位和场强分布 nQ代 O X Ep (r≤R) R (r≥R) a g E,=-va =er dr=er or (r<R) E aΦ E,=_如2=ear R (r>R) E2r
直接积分法的应用例3.5.2继续 电位和场强分布
§3.6直角坐标系中分离变量法 当电位函数是一个多变量函数时,一般难以用直接求积分的方法求得 结果,分离变量法是常用方法之一。这种方法中,将待求未知函数表示为 三个未知函数的乘积,其中每一个函数仅为一个坐标变量的函数,将这个 表示为乘积的电位表示式代入拉普拉斯方程,则该偏微分方程转化为三个 常微分方程。按通常求解常微分方程的解法就可以求得问题的解。 用分离变量法来求解边值问题时,必须选择适当的坐标系以使 得坐标面与边界面相一致只有这样才能比较方便地利用边界条件 确定边值问题的解.本节将只讨论直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中,拉普拉斯方程(34.6)可表示为 (36.1) 将未知函数表示为三个未知函数F(x),G(y),H(z)的乘积 φ=F(x)G(y)H(z) (3.6.2) (362)带入(361)之中 G()H(2)出F(x)+F(x)H(2)G(y)+F(x)G()H()=0 dy d定
§3.6 直角坐标系中分离变量法 当电位函数是一个多变量函数时，一般难以用直接求积分的方法求得 结果，分离变量法是常用方法之一。这种方法中，将待求未知函数表示为 三个未知函数的乘积，其中每一个函数仅为一个坐标变量的函数，将这个 表示为乘积的电位表示式代入拉普拉斯方程，则该偏微分方程转化为三个 常微分方程。按通常求解常微分方程的解法就可以求得问题的解。 (3.6.1) (3.6.2) (3.6.2)带入(3.6.1)之中
用(3.6.2)式除上式各项,有 d ' F(x dG( dh(z) F()dx G(y)d H( 0 3,5.3) d 要满足(363)式,每一项必然与任何坐标变量都无关,即均为常数 令(363式左端三项分别等于常数一k2,-k和-k2,即 d F(x) +k2F(x)=0 (3.6.4) dx d2G(y) G(y)=0 3.6.5) dH(e) +k2H(z)=0 (3.6.6) de 式中,k2,k,k称为分离常数它们应该满足下列方程: 3.6.7) 它意味着,三个分离常数不是相互独立的.例如,若k2,k大于零,即kx与k为实数, 则k2=-(k2+k2)必然小于零,k2为虚数 方程式(364)~(3.66)具有相同的形式,只需要讨论其中一个方程的通解就可以了、 以方程式(3.64)为例,当k2>0,kx为实数时,它的通解可以表示为 F(x)=Aje+a2eki2e Bi sin krr B2 cos ksI 3.6.8)
§3.6 直角坐标系中分离变量法 (3. 6. 4) (3. 6. 5) (3. 6. 6) (3. 6. 7) (3. 6. 8)
当k2<0,k为虚数时,它的通解可以表示为 F(r)=Ale A2e- kir B1 sinh krIx+B2 cosh kIx (3.6.9) 当k2=0时,它的通解可以表示为 F(x)=C1+ C2x 3.6.10) 对方程式(365)和(366)而言,其通解都具有与F(x)相同的形式 当Fx(y),H(z)的通解求出来以后.它们的乘积即成为拉普拉斯方程 (3.6.1)的通解.通常,这个通解中的分离常数可以取各种不同的值.在这种情 况下,这些解的线性组合仍然是方程的解 例361有一只长直的金属槽,其横截 面如图3.61所示上方的盖板与槽壁有无限 小的间隙以使之相互绝缘,盖板的电位为= U0,槽壁电位为零.试求该槽内的电位分布、 解取定如图36.1所示直角坐标系.可 认为槽电位与z坐标无关,其电位分布 φ(x,y)应满足二维拉普拉斯方程 图3.6.1
§3.6 直角坐标系中分离变量法例题 (3. 6. 9) (3. 6. 10)
0 (3.6.11) 其边界条件可以表示为 φ(0,y)=φ(a,y)=0 (0≤y≤b) (3.6.12) Φ(x,0)=0,φ(x,b)=U (0≤x≤a) (3.6.13) 这是一个狄里赫利边值问题.由于在槽内沿x轴方向将在x=0和x=a处出现电位零 点,即电位沿x轴方向必为三角函数分布,它意味着k220和k2=-k2≤0,则方程(3 6.11)的通解应选择成下列形式 φ(x,y)=(A1+A2x)(B1+B2y) +(C sin k t+C2 cos k r)(D, sinh k, ly+ D2 coshk, ly) (3.6.14) 将边界条件φ(0,y)=0(0≤y≤b)代入上式,得出 0=A(B,+B2y)+C2(D1 sinh I h kvly) 上式要在满足0≤y≤b的所有y值上均成立,必有A1=C2=0,所以(3.6.14)式成为 9(x,)=A2(BI+ B2y)+C1 sin kaI(D, sinh k,ly+D2 cosh k, iy) (315) 将边界条件φ(a,y)=0(0≤y≤b)代入上式,得出 0= A2a(B1+ B2y)+C1 sin ka(D 同理,必有A2=0和C1sink2a=0,这里,C1≠0,否则将导致槽内电位(x,y)≡0,与实 际情况不符,因而只可能有snka=0,即
§3.6 直角坐标系中分离变量法例题 同理， .6. 11 点, 际情况不符