湖北广播电视大学：《线性代数》第三次作业（答案）

第三次作业解答 1.化下列矩阵为行阶梯形矩阵： 「31 0 2 (2) -1 2 3-4 解： 1 0 311 2 -1 2-1 1 -1 - 3 1 00 4 3 -4 1 3 4 4 266 100 4 「1 12 2 1 0 2 1 5 -1 (3) 21 0 3 -1 3 10 4 解： 12 2 11 1 2 2 17 0 2 1 5 0 2 15 2 0 3 -1 3 1 0 4 1 4 -1 2 0 3 -1 3 2 2 17 [1 1 3 17 0 2 1 5 -1 0 0 -2 2 2 0 20 -2 -2 0 -2 -1 -5 1 520 0 0 0 0 2.化下列矩阵为行最简形矩阵： 6 47 (1) -4 1 6 1 2 -5 Γ63 4 1 2 解： 1 2 5 16 564 100 299 100 0 12

第三次作业解答 1.化下列矩阵为行阶梯形矩阵： （1） 1 4 2 3       − 解： 1 2 1 4 1 4 2 2 3 0 11 r r +         →     − （2） 3 1 0 2 1 1 2 1 1 3 4 4     − −       − 解： 1 2 3 1 0 2 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 0 2 1 3 4 4 1 3 4 4 r r      − −         − − →         − − 1 2 3 2 1 3 3 1 1 2 1 1 1 2 1 0 4 6 5 0 4 6 5 0 4 6 5 0 0 0 0 r r r r r r − + − − +     − − − − → − → −                 − （3） 1 1 2 2 1 0 2 1 5 1 2 0 3 1 3 1 1 0 4 1     −     −     − 解： 3 4 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1 2 0 3 1 3 1 1 0 4 1 1 1 0 4 1 2 0 3 1 3 r r          − −     →     − −         − − 3 1 2 4 4 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 2 1 5 1 0 0 0 0 0 r r r r r r − + −         − − → →         − − − −         − − − 2.化下列矩阵为行最简形矩阵： （1） 6 3 4 4 1 6 1 2 5   −   −       − 解： 1 3 2 3 1 2 1 3 4 6 6 3 4 1 2 5 1 2 5 1 2 5 4 1 6 4 1 6 0 9 14 0 9 14 1 2 5 6 3 4 0 9 26 0 0 12 r r r r r r r r  + + − +         − − − −         − → − → − → −                         − − −

-5 1 9 14n % 00 → 29 → 010 0 0 0 100 0 001 「1 3 2 (2) 2 3 3 2 -1 解： 1 「1 -2 2 22 1 -4 → - -21 0 -1 -10 7 3 2 1 -4 3 1 3 > 0 000 -7 1 0 1 10 1 1- -10+n 3 0 1 10 -7 → 010 75 1-7 0 0 -14 10 0 1 57 001- 「111 11 (3) 11122 23 11123 2 解： 「11111 11112 11 -n+ 2 2 3 0 0 011 1 11123 0 0 0 012 「111 0 17 [1 110 0 -+奶 0 0 1 1 0 0 01 0 0 0001 -1 0 0001 -3 3.设 4 -1 2 求E12AC3· 解： E12AC3就是将A的第1,2两行对换，再第3列乘以k 所以EAC 4利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵： B (1

3 2 3 2 2 1 3 1 1 1 14 9 2 12 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 1 0 0 0 9 14 0 9 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 r r r r r r r r + − + +         − − − → − → → →                                 （2） 1 1 3 2 2 1 4 3 2 3 2 1   −   −       − 解： 1 2 2 3 1 3 2 1 2 3 2 3 1 3 2 2 10 1 7 14 1 1 3 2 1 1 3 2 2 1 4 3 0 1 10 7 2 3 2 1 0 1 4 3 1 0 0 0 1 1 3 2 1 0 7 5 1 0 1 10 7 0 1 10 7 0 1 0 7 0 0 14 10 5 0 0 1 5 7 0 0 1 7 r r r r r r r r r r r r r r − + + − + − − − + + −     − −     − → − − →     − −       − −           − → − →               −     −     −     （3） 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 3 1 1 1 2 3 2           解： 1 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 3 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 3 2 0 0 0 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 r r r r r r r r r r − + − + − + − + − +         →         → →         − − 3.设 12 3( ) 1 2 3 , 4 1 2 E AC k   −     − 求 。 解： E AC 12 3( ) k 就是将 A 的第 1，2 两行对换，再第 3 列乘以 k 所以 12 3( ) 3( ) 4 1 2 4 1 2 1 2 3 1 2 3 k k k E AC C k     − − = =         − − 4.利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵： （1） 3 2 7 5      

解： -3+511-2 3 「-12 (2) 24 -2 305 解： -1 2 -3 1 0 07 「-1 -310 Ox 24 1 0 0 1 0 0 56 -6 21 0 -2 0 0 0 4 1 「1 -2 - 0 0] -23 -1 0 0 3+5 05 -6 1 0 01 -1 -1 -n+奶 0 1 -1 2 -1 0 5 -62 10 「10 1 3 -2 27 「1 0 1 3 -2 3 25+ → 01-1 2 1 0 1 -1 -5n L00 -1 6 0 28 为 1 1 00 -5 4 10 10 -7 0 01 365 「-1 2 「-5 所以 2 1 0 08 > 61 -2 「12 1 ~17 (3) 0 1-1 1 0 1 1 0 0 1 解： 21 -11 0 0 0 -4+ 3 「1 1 0 100 1 0 1-11 0 1 0 0 -4+ 4+ 01-10 010 -1 01 1 0 0 1 0 001 0 001 -1 0 00 1 0 0 0 0001 000 1

解： 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 3 3 2 1 0 7 5 0 1 1 1 2 1 7 5 0 1 3 2 1 0 3 2 1 0 1 1 2 1 1 0 5 2 1 0 5 2 0 1 7 3 0 1 7 3 0 1 7 3 r r r r r r r r r  − − + + −       −       → →             − − − → → →             − − − − − 所以 1 3 2 5 2 7 5 7 3 −     − =         − （2） 1 2 3 2 1 0 4 2 5   − −         − 解： 1 2 1 3 1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 4 2 5 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 2 1 0 0 1 0 0 5 6 2 1 0 4 2 5 0 0 1 0 6 7 4 0 1 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 0 5 6 2 1 0 0 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 1 0 5 6 2 1 0 1 0 1 3 2 2 0 1 1 2 1 1 0 0 1 8 6 5 r r r r r r r r r r r r r + + −  − + + − +     − − − −     → −     − −     − − − − → − → − −         − − −  − → − −    − − − 3 3 2 3 1 1 0 1 3 2 2 0 1 1 2 1 1 0 0 1 8 6 5 1 0 0 5 4 3 0 1 0 10 7 6 0 0 1 8 6 5 r r r r r − + − +    −    → − −        −   − − → −         − 所以 1 1 2 3 5 4 3 2 1 0 10 7 6 4 2 5 8 6 5 −     − − − −     = −             − − （3） 1 2 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1   −   −         解： 4 3 4 2 4 1 1 2 1 1 1 0 0 0 1 2 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r r r r r − + − + +     −     − − −     →     −        

「120010-127 [10001-2-361 0100011 -2 -2n+ 010 0011 2 0010001 -1 0010001 -1 00010001 00010001 [121 -1]1 「1-2-3 6 01-11 0 11 所以 001 1 001 -1 L0001 0 00 1 5.设：Ax=B,A= 1 解：A=9≠0，A可逆， A-Ax=A-B.x=A-B= 删 2-31-9 6利用逆矩阵求解下列线性方程组： 2x1-x2=1 (1) 4x+5x=2 解：原线性方程组可化为 =成4-子}-日4A同选，不习 rwra时a=調目 x1+2x2+3x3=0 (2) 2x+2x2+x3=1 3x+4x2+3x3=0 解：原线性方程组可化为 「123] 「0 Ax=B,A= 221,B=11A=2≠0，A可逆， 343

3 2 3 1 2 1 2 1 2 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 1 2 3 6 0 1 0 0 0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r r r r r + − + − +     − − −     − − → →         − −         1 1 2 1 1 1 2 3 6 0 1 1 1 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 −     − − −     − −     =     −         所以 5. 设： 2 3 1 , , , . 1 3 1 Ax B A B x     − = = =         求 解：|A|=9≠0，A 可逆， 1 1 3 3 9 1 2 A −   =     − 1 1 1 2 1 1 3 3 1 6 3 , 9 9 1 2 1 1 1 9 A Ax A B x A B − − −           = = = = =               −       6.利用逆矩阵求解下列线性方程组： （1） 1 2 1 2 2 1 4 5 2 x x x x  − =   + = 解：原线性方程组可化为 2 1 1 , , , 4 5 2 Ax B A B     − = = =         |A|=14≠0，A 可逆， 1 1 5 1 14 4 2 A −   =     − 1 1 1 1 2 1 1 1 5 1 1 7 , 2 14 14 4 2 2 0 0 x A Ax A B x A B x − − −             = = = = = =         −             （2） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0 2 2 1 3 4 3 0 x x x x x x x x x  + + =   + + =   + + = 解：原线性方程组可化为 1 2 3 0 , 2 2 1 , 1 , 3 4 3 0 Ax B A B         = = =             |A|=2≠0，A 可逆

2310 3 10 0 23 2 1 01 2 2 1 0 430 0 001 00 -2 -6 -3 0 0-2 -1 1 0 0 0 1 -2+n 0 -2 -5 -2 1 0 → 0 36 lo 0-1 -1 -11 00 0 -1 251 「100 1 1 0 321 -3 0 2524 1 3 A= 32 -3 952 1 1 -1 1 3 x= =A-B= 3-2 2521 1 [3x1+2x2+x3=5 (3) 2x-x2+x3=6 x+5x2=-3 解：原线性方程组可化为 「3 2 17 Ax=B,A= 2-1 1 B= 6 A=-2≠0，A可逆， 11 5 0 321 211 0 0] 「15 00017 -1101 0 2 -1 101 0 5 000 1 3 2 1100 1 5 00 0 17 [1 50 00 1 -21+5 0-11 1 -3+ 1 5+ 0 2 0 -11 1 )-1311 0 -3 -1311 0 -3

1 2 1 3 2 1 3 1 2 3 3 2 2 3 2 3 2 5 1 2 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 2 5 2 1 0 3 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 0 2 5 2 1 0 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 3 2 3 5 0 1 0 3 2 2 r r r r r r r r r r r r r r − + − + + − + − + − + − −         → − − −     − − −     − − − → − − − → − −         − − − − − − − → − − 0 0 1 1 1 1           −   1 1 3 2 3 5 3 2 2 1 1 1 A −   −   = − −       −   1 1 2 3 1 3 2 0 3 3 5 3 1 3 2 2 0 1 1 1 1 x x x A B x −   −               = = = − − = −                         −   （3） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 2 6 5 3 x x x x x x x x  + + =   − + =   + = − 解：原线性方程组可化为 3 2 1 5 , 2 1 1 , 6 , 1 5 0 3 Ax B A B         = = − =             − |A|=-2≠0，A 可逆， 3 1 3 2 1 1 0 0 1 5 0 0 0 1 2 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 1 5 0 0 0 1 3 2 1 1 0 0 r r          − → −             1 2 3 2 1 3 2 3 1 5 0 0 0 1 1 5 0 0 0 1 0 11 1 0 1 2 0 2 0 1 1 1 0 13 1 1 0 3 0 13 1 1 0 3 r r r r r r − + − + − +     → − − → −                 − − − −