第13章数值分析 每当难以对一个函数进行积分、微分或者解析上确定一些特殊的值时,就可以借助计 算机在数值上近似所需的结果。这在计算机科学和数学领域,称之为数值分析。至此,可以 猜到, MATLAB提供了解决这些问题的工具。本章将介绍这些工具的使用 13.1绘图 说到绘图,只要计算函数在某一区间的值,并且画出结果向量,这样就得到了函数的 图形。在大多数情况下,这就足够了。然而,有时一个函数在某一区间是平坦的并且无激励 而在其它区间却失控。在这种情况下,运用传统的绘图方法会导致图形与函数真正的特性相 去甚远。 MATLAB提供了一个称为 fplot的巧妙的绘图函数。该函数细致地计算要绘图的函 数,并且确保在输出的图形中表示出所有的奇异点。该函数的输入需要知道以字符串表示的 被画函数的名称以及2元素数组表示的绘图区间。例如: >>fplot(humps,0 2) >>title(FPLOT OF HUMPS) 在0和2之间计算函数 humps,并显示该函数的图形。(见图13.1)。 FPLOT OF HUMPS 100 0.5 图13.1函数 humps的图形
第 13 章 数值分析 每当难以对一个函数进行积分、微分或者解析上确定一些特殊的值时，就可以借助计 算机在数值上近似所需的结果。这在计算机科学和数学领域，称之为数值分析。至此，可以 猜到，MATLAB 提供了解决这些问题的工具。本章将介绍这些工具的使用。 13.1 绘图 说到绘图，只要计算函数在某一区间的值，并且画出结果向量，这样就得到了函数的 图形。在大多数情况下，这就足够了。然而，有时一个函数在某一区间是平坦的并且无激励， 而在其它区间却失控。在这种情况下，运用传统的绘图方法会导致图形与函数真正的特性相 去甚远。MATLAB 提供了一个称为 fplot 的巧妙的绘图函数。该函数细致地计算要绘图的函 数，并且确保在输出的图形中表示出所有的奇异点。该函数的输入需要知道以字符串表示的 被画函数的名称以及 2 元素数组表示的绘图区间。例如： >>fplot(‘ humps ‘ , [0 2]) >>title(‘ FPLOT OF HUMPS ‘) 在 0 和 2 之间计算函数 humps，并显示该函数的图形。（见图 13.1)。 0 0.5 1 1.5 2 -20 0 20 40 60 80 100 FPLOT OF HUMPS 图 13.1 函数 humps 的图形
在这个例子中, humps·是 MATLAB的M文件函数 function y=humps(x) HUMPS A function used by QUADDEMO, ZERODEMO and FPLOTDEMO o HUMPS(X) is a function with strong maxima near x= 3 and x.9 See QUADDEMO, ZERODEMO and FPLOTDEMO Copyright(c)1984-93 by The Math Works, Inc y=1/(x-.3).^2+.01)+1,/(x-.9)^2+.04)-6; fplot适用于任何具有单输入和单输出向量的函数M文件。即如同 humps,输出变量y 返回一个与输入x同样大小的数组,在数组到数组意义上y和x有联系。在使用 fplot(以 及其它数值分析函数)的过程中,最普遍犯的错误是忘记把函数名加上引号。即 fplot需要 知道字符串形式的函数名。如果输入 fplot( humps,|0,2), MATLAB认为hmps是工作空 间中的一个变量,而不是函数的名称。注意把变量 humps定义为所需要的字符串,就可避 免这个问题。 >>humps="humps >>fplot(hump, [0 这时, MATLAB从变量 humps中获得字符串 humps 对于可表示成一个字符串的简单的函数,如y=2e-sin(x), fplot绘制这类函数的曲 线时,不用建立M文件,只需把x当作自变量,把被绘图的函数写成一个完整的字符串 >>f=2*exp(-x).*sin(x) 式中,运用数组乘法定义了函数f(x)=2e-sin(x) >> fplot(f,[08]) >>title(f), xlabel(x)
在这个例子中，‘ humps ‘是 MATLAB 的 M 文件函数。 function y=humps(x) % HUMPS A function used by QUADDEMO, ZERODEMO and FPLOTDEMO. % HUMPS(X) is a function with strong maxima near x= .3 and x= .9. % See QUADDEMO, ZERODEMO and FPLOTDEMO. % Copyright (c) 1984-93 by The MathWorks, Inc. y=1 ./ ((x - .3) .^ 2+ .01)+1 ./ ((x - .9) .^ 2+ .04) - 6; fplot 适用于任何具有单输入和单输出向量的函数 M 文件。即如同 humps，输出变量 y 返回一个与输入 x 同样大小的数组，在数组到数组意义上 y 和 x 有联系。在使用 fplot（以 及其它数值分析函数）的过程中，最普遍犯的错误是忘记把函数名加上引号。即 fplot 需要 知道字符串形式的函数名。如果输入 fplot(humps , [0 , 2])，MATLAB 认为 humps 是工作空 间中的一个变量，而不是函数的名称。注意把变量 humps 定义为所需要的字符串，就可避 免这个问题。 >>humps=‘ humps ‘; >>fplot(hump , [0 2]) 这时，MATLAB 从变量 humps 中获得字符串‘ humps‘。 对于可表示成一个字符串的简单的函数，如 y e x x = − 2 sin( ) ，fplot 绘制这类函数的曲 线时，不用建立 M 文件，只需把 x 当作自变量，把被绘图的函数写成一个完整的字符串。 >>f=‘ 2*exp(-x) .* sin(x) ‘; 式中，运用数组乘法定义了函数 f x e x x ( ) = sin( ) − 2 >>fplot(f , [0 8]); >>title(f) , xlabel(‘x‘)
2'exp(-×).*sin(x) 0.71 0.2 图132f(x)=2e-sin(x)的曲线 在区间0≤x≤8绘出上述函数,产生如图13.2所示的图形 除了这些基本特性,函数 fplot还有很多强大的功能,有关详细的信息,参阅《 MATLAB 参考指南》或在线帮助。 132极小化 作图除了提供视觉信息外,还常常需要确定一个函数的其它更多的特殊属性。在许多 应用中,特别感兴趣的是确定函数的极值,即最大值(峰值)和最小值(谷值)。数学上, 可通过确定函数导数(斜率)为零的点,解析上求出这些极值点。检验 humps的图形在峰 值和谷值点上的斜率就很容易理解这个事实。显然,如果定义的函数简单,则这种方法常常 奏效。然而,即使很多容易求导的函数,也常常很难找到导数为零的点。在这种情况下,以 及很难或不可能解析上求得导数的情况下,必须数值上寻找函数的极值点。 MATLAB提供 了两个完成此功能的函数fmin和 fmins。这两个函数分别寻找一维或n维函数的最小值。 这里仅讨论fmin。有关 fmins的详细信息,参阅《 MATLAB参考指南》。因为f(x)的最大 值等于-fx)的最小值,所以,上述fmin和 fmins可用来求最大值和最小值。如果还不清楚, 把上述图形倒过来看,在这个状态下,峰值变成了谷值,而谷值则变成了峰值。 为了解释求解一维函数的最小值和最大值,再考虑上述例子。从图13.2可知,在 附近有一个最大值,并且在xmm=4附近有一个最小值。而这些点的解析值为 Xma=兀/4≈0.785和Xmin=5m/4≈393。为了方便,用文本编辑器编写一个脚本M文 件,并用fmin寻出数值上极值点,给出函数主体如下 2*exp(-X)*sin(x) %o define function for min xmin=fmin(fn, 2, 5) lo search over range 2<x<5
0 2 4 6 8 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 x 2*exp(-x).*sin(x) 图 13.2 f x e x x ( ) = sin( ) − 2 的曲线 在区间 0 x 8 绘出上述函数，产生如图 13.2 所示的图形。 除了这些基本特性，函数 fplot 还有很多强大的功能，有关详细的信息，参阅《MATLAB 参考指南》或在线帮助。 13.2 极小化 作图除了提供视觉信息外，还常常需要确定一个函数的其它更多的特殊属性。在许多 应用中，特别感兴趣的是确定函数的极值，即最大值（峰值）和最小值（谷值）。数学上， 可通过确定函数导数（斜率）为零的点，解析上求出这些极值点。检验 humps 的图形在峰 值和谷值点上的斜率就很容易理解这个事实。显然，如果定义的函数简单，则这种方法常常 奏效。然而，即使很多容易求导的函数，也常常很难找到导数为零的点。在这种情况下，以 及很难或不可能解析上求得导数的情况下，必须数值上寻找函数的极值点。MATLAB 提供 了两个完成此功能的函数 fmin 和 fmins。这两个函数分别寻找一维或 n 维函数的最小值。 这里仅讨论 fmin。有关 fmins 的详细信息，参阅《MATLAB 参考指南》。因为 f(x)的最大 值等于-f(x)的最小值，所以，上述 fmin 和 fmins 可用来求最大值和最小值。如果还不清楚， 把上述图形倒过来看，在这个状态下，峰值变成了谷值，而谷值则变成了峰值。 为了解释求解一维函数的最小值和最大值，再考虑上述例子。从图 13.2 可知，在 xmax=0.7 附近有一个 最大值， 并且在 xmin=4 附近 有一个最 小值。而 这些点的 解析值为： xmax = / 4 0.785 和 xmin = 5 / 4 3.93 。为了方便，用文本编辑器编写一个脚本 M 文 件，并用 fmin 寻出数值上极值点，给出函数主体如下： % ex_fmin.m fn=‘ 2*exp(-x)*sin(x) ‘; % define function for min xmin=fmin(fn , 2 , 5) % search over range 2<x<5
emin=5*pi/4-xmin lo find error x-Xmin, need x since fn has x as its variable ymin=eval(fn) evaluate at xmin fx=-2*exp(-x)*sin(x) define for max note minus sign maximin( fx, 0, 3) lo search over range 0<x<3 emax=pi/4-xmax find error need x since fn has x as its variable al( evaluate at xmax 下面是M文件的运行结果 >>ex-fmin Xmin- 3.9270 emin 14523e-006 0.0279 xmax- 0.7854 1.378le-005 ymax- 0.6448 这些结果与上述图形非常吻合。注意,fmin的工作方式很像 fplot。要计算的函数可用 函数M文件表达,或者只给出一个x为自变量的字符串。上述例子就是使用后一种方 法。这个例子也使用了函数eval,它获取一个字符串,并解释它,如同在 MATLAB提示符 下输入该字符串。由于要计算的函数以x为自变量的字符串形式给出,那么设置x等于xmin 和xmax,允许eva计算该函数,找到ymin和ymax。 最后,特别注意,求数值上的最小值包含一个搜索过程,fmin不断计算函数值,寻求 其最小值。如果计算的函数需要很大的计算量,或者该函数在搜索区间不止一个最小值,则 该搜索过程所花的时间比较长。在有些情况下,搜索过程根本找不到结果。当fmin找不到 最小值时,它会停止运行并提供解释 与函数fmin一样,函数 fmins搜索最小值。不过, fmins搜索向量的标量函数的最小 值。即 fmins寻找 f(x) 这里x是函数()的向量参数,函数f()返回标量值。函数 fmins利用单纯形法求最小值,它 不需要精确的梯度计算。任何一种优化工具箱中具有更多扩展的优化算法
emin=5*pi / 4-xmin % find error x=xmin; % need x since fn has x as its variable ymin=eval(fn) % evaluate at xmin fx=‘ -2*exp(-x)*sin(x) ‘; % define for max:note minus sign xmax=fmin(fx , 0 , 3) % search over range 0<x<3 emax=pi / 4-xmax % find error x=xmax; % need x since fn has x as its variable ymax=eval(fn) % evaluate at xmax 下面是 M 文件的运行结果： >>ex-fmin xmin = 3.9270 emin = 1.4523e-006 ymin = -0.0279 xmax = 0.7854 emax = -1.3781e-005 ymax = 0.6448 这些结果与上述图形非常吻合。注意，fmin 的工作方式很像 fplot。要计算的函数可用 一个函数 M 文件表达，或者只给出一个 x 为自变量的字符串。上述例子就是使用后一种方 法。这个例子也使用了函数 eval，它获取一个字符串，并解释它，如同在 MATLAB 提示符 下输入该字符串。由于要计算的函数以 x 为自变量的字符串形式给出，那么设置 x 等于 xmin 和 xmax，允许 eval 计算该函数，找到 ymin 和 ymax。 最后，特别注意，求数值上的最小值包含一个搜索过程，fmin 不断计算函数值，寻求 其最小值。如果计算的函数需要很大的计算量，或者该函数在搜索区间不止一个最小值，则 该搜索过程所花的时间比较长。在有些情况下，搜索过程根本找不到结果。当 fmin 找不到 最小值时，它会停止运行并提供解释。 与函数 fmin 一样，函数 fmins 搜索最小值。不过，fmins 搜索向量的标量函数的最小 值。即 fmins 寻找 x min f(x) 这里 x 是函数 f(.)的向量参数，函数 f(.)返回标量值。函数 fmins 利用单纯形法求最小值，它 不需要精确的梯度计算。任何一种优化工具箱中具有更多扩展的优化算法
13.3求零点 正如人们对寻找函数的极点感兴趣一样,有时寻找函数过零或等于其它常数的点也非 常重要。一般试图用解析的方法寻找这类点非常困难,而且很多时候是不可能的。在上述函 数 humps的图中(如图13.3所示),该函数在x=12附近过零。 FPLOT OF HUMPS 0.5 1.5 图13.3 humps函数的图形 MATLAB再一次提供了该问题的数值解法。函数 fzero寻找一维函数的零点。为了说 明该函数的使用,让我们再运用 humps例子 >>xzero-fzero(humps, 1.2) look for a zero near 1.2 Zero- >>zero=humps(zero, 1.2) lo evaluate at zero 3.5527e-15 所以, humps的零点接近于1.3。如前所述,寻找零点的过程可能失败。如果 fzero没有找到 零点,它将停止运行并提供解释。 当调用函数 fzero时,必须给出该函数的名称。但由于某种原因,它不能接受以x为自 变量的字符串来描述的函数。这样,即使在 fplot和fmin中都具有的这个特性, fzero将不 fzero不仅能寻找零点,它还可以寻找函数等于任何常数值的点。仅仅要求一个简单的
13.3 求零点 正如人们对寻找函数的极点感兴趣一样，有时寻找函数过零或等于其它常数的点也非 常重要。一般试图用解析的方法寻找这类点非常困难，而且很多时候是不可能的。在上述函 数 humps 的图中(如图 13.3 所示)，该函数在 x=1.2 附近过零。 0 0.5 1 1.5 2 -20 0 20 40 60 80 100 FPLOT OF HUMPS 图 13.3 humps 函数的图形 MATLAB 再一次提供了该问题的数值解法。函数 fzero 寻找一维函数的零点。为了说 明该函数的使用，让我们再运用 humps 例子。 >>xzero=fzero(‘ humps ‘ , 1.2) % look for a zero near 1.2 xzero= 1.2995 >>yzero=humps(xzero , 1.2) % evaluate at xzero yzero= 3.5527e-15 所以，humps 的零点接近于 1.3。如前所述，寻找零点的过程可能失败。如果 fzero 没有找到 零点，它将停止运行并提供解释。 当调用函数 fzero 时，必须给出该函数的名称。但由于某种原因，它不能接受以 x 为自 变量的字符串来描述的函数。这样，即使在 fplot 和 fmin 中都具有的这个特性，fzero 将不 工作。 fzero 不仅能寻找零点，它还可以寻找函数等于任何常数值的点。仅仅要求一个简单的