圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 §15晶体的宏观对称性 晶体在几何外形上表现岀明显的对称性,同时这些对称性性质也在物理性质上得以体现。 介电常数可以表示为一个二阶张量:EaB(a,B=x,y,2) 电位移分量D=∑EE 可以证明对于立方对称的晶体:Ea=505a--对角张量 所以:D=E-—介电常数可以看作一个简单的标量。 在六角对称的晶体中,如果将坐标轴选取在六角轴和垂直于六角轴的平面内, 00 介电常数具有如下形式:060 00E⊥ 对于平行轴(六角轴)的分量En:Dn=EnE 对于垂直于轴(垂直于六角轴的平面)的分量E1:D1=E⊥E 正是由于六角晶体的各向异性,而具有光的折射现象。而立方晶体的光学性质则是各向同性的。 原子的周期性排列形成晶格,不同的晶格表现出不冋的宏观对称性,怎样描述晶体的宏观对称性? 概括晶体宏观对称性的系统方法就是考察晶体在正交变换的不变性。 在三维情况下,正交变换表示为 cos e 6 au a1 a1 y=sin 6.x+cos 6.y 12a2a23‖y P(x",y") 矩阵{an},1j=1,2,3是正交矩阵。 P(x',y") 如图XCH001062所示,绕z轴转θ角的正交矩 XCH001062 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 §1.5 晶体的宏观对称性 晶体在几何外形上表现出明显的对称性，同时这些对称性性质也在物理性质上得以体现。 —— 介电常数可以表示为一个二阶张量：ε (α, β = x, y, z) αβ —— 电位移分量 = ∑ β α αβ β D ε E 可以证明对于立方对称的晶体： αβ δ αβ ε ε = 0 ——对角张量 所以： D E K K 0 = ε —— 介电常数可以看作一个简单的标量。 在六角对称的晶体中，如果将坐标轴选取在六角轴和垂直于六角轴的平面内， 介电常数具有如下形式： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⊥ ⊥ ε ε ε 0 0 0 0 0 0 // 对于平行轴（六角轴）的分量 E// ： D// //E// = ε 对于垂直于轴（垂直于六角轴的平面）的分量 E⊥ ： D⊥ = ⊥ E⊥ ε 正是由于六角晶体的各向异性，而具有光的折射现象。而立方晶体的光学性质则是各向同性的。 原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同的宏观对称性，怎样描述晶体的宏观对称性？ 概括晶体宏观对称性的系统方法就是考察晶体在正交变换的不变性。 在三维情况下，正交变换表示为： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ z y x a a a a a a a a a z y x z y x 13 13 33 12 22 23 11 12 13 ' ' ' —— 矩阵{aij}, i, j =1, 2, 3是正交矩阵。 —— 如图 XCH001_062 所示，绕 z 轴转θ角的正交矩 REVISED TIME: 05-9-29 - 1 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 cos0 -sine 0 阵:sin 100 中心反演的正交矩阵:0-10 00-1 个变换为空间转动,矩阵行列式等于+1; 一变换为空间转动加中心反演,矩阵行列式等于-1。 一个物体在某一个正交变换下保持不变,称之为物体的一个对称操作,物体的对称操作越多,其对 称性越高 1立方体的对称操作 1)绕三个立方轴转动:五,x,,共有9个对称操作;如图XCH0102601所示。 2)绕6条面对角线轴转动丌,共有6个对称操作;如图XCH00102602所示。 3)绕4个立方体对角线轴转动 共有8个对称操作;如图XCH00102603所示。 XCH001056 00 4)正交变换010也是一个对称操作 5)以上24个对称操作加中心反演仍是对称操 作 立方体的对称操作共有48个。标 记如图XCH001056所示。 (a) (b) REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 阵： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0 θ θ θ θ —— 中心反演的正交矩阵： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 0 0 1 0 1 0 1 0 0 —— 一个变换为空间转动，矩阵行列式等于＋1； —— 变换为空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1。 一个物体在某一个正交变换下保持不变，称之为物体的一个对称操作，物体的对称操作越多，其对 称性越高。 1 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动： 2 3 , , 2 π π π ，共有 9 个对称操作；如图 XCH001_026_01 所示。 2) 绕 6 条面对角线轴转动π ，共有 6 个对称操作；如图 XCH001_026_02 所示。 3) 绕 4 个立方体对角线轴转动 3 4 , 3 2π π ，共有 8 个对称操作；如图 XCH001_026_03 所示。 4) 正交变换 也是一个对称操作； ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5) 以上 24 个对称操作加中心反演仍是对称操 作 —— 立方体的对称操作共有 48 个。标 记如图 XCH001_056 所示。 REVISED TIME: 05-9-29 - 2 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃第一章固体构_20050406 2正四面体的对称操作 四个原子位于正四面体的四个顶角上,显然正四面体的对称操作包含在立方体操作之中。 如图XCH001027所示。 1)绕三个立方轴转动:丌,共有3个对称操作; 2)绕4个立方体对角线轴转动224x 共有8个对称操作; XCH0O1 027 B 3)正交变换010也是一个对称操作; 001 4)绕三个立方轴转动:23 ,加上中心反演,共有6个对 称操作 5)绕6条面对角线轴转动丌,加上中心反演,共有6个对称 操作; 因此正四面体的对称操作共有24个。 3正六面柱的对称操作 n2丌 4丌5丌 1)绕中心轴线转动 共有5个对称操作;如图XCH001028所示 2)绕对棱中点连线转动丌,共有3个对称操作; 3)绕相对面中心连线转动丌,共有3个对称操作 4)正交变换010也是一个对称操作 00 5)以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作 因此正六面柱的对称操作共有24个 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 2 正四面体的对称操作 四个原子位于正四面体的四个顶角上，显然正四面体的对称操作包含在立方体操作之中。 如图 XCH001_027 所示。 1) 绕三个立方轴转动： π ，共有 3 个对称操作； 2) 绕 4 个立方体对角线轴转动 3 4 , 3 2π π ，共有 8 个对称操作； 3) 正交变换 也是一个对称操作； ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 4) 绕三个立方轴转动： 2 3 , 2 π π ，加上中心反演，共有 6 个对 称操作； 5) 绕 6 条面对角线轴转动π ，加上中心反演，共有 6 个对称 操作； 因此正四面体的对称操作共有 24 个。 3 正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动： 3 5 , 3 4 , , 3 2 , 3 π π π π π ，共有 5 个对称操作；如图 XCH001_028 所示。 2) 绕对棱中点连线转动π ，共有 3 个对称操作； 3) 绕相对面中心连线转动π ，共有 3 个对称操作； 4) 正交变换 也是一个对称操作； ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5) 以上 12 个对称操作加中心反演仍是对称操作 因此正六面柱的对称操作共有 24 个。 REVISED TIME: 05-9-29 - 3 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 4对称素 为简洁明了地概括一个物体的对称性,不去一一列举所有的对称操作,而是描述它所具有的“对称 素”。对称素就是一个物体的旋转轴,以及旋转一反演轴 一个物体绕某一个转轴转动——,以及其倍数不变时,称该轴为物体n重旋转轴,计为n。 一个物体绕某一个转轴转动——加上中心反演的联合操作,以及其联合操作的倍数不变时,称该轴 为物体n重旋转一反演轴轴,计为n。 ★立方体 立方轴(,兀,3)为4重轴,计为4:同时也是4重旋转一反演轴,计为4 面对角线(丌)为2重轴,计为2;同时也是2重旋转-反演轴,计为2 体对角线轴(42 )为3重轴,计为3;同时也是3重旋转一反演轴,计为3; XCHOOI 029 ★正四面体 0- 立方轴是4重旋转一反演轴,但不是4重轴 A 面对角线是2重旋转一反演轴,但不是2重轴; 体对角线轴是3重轴,但不是3重旋转一反演轴。 ★对称素2,它的含义:先绕轴转动丌,再作中心反演,如图ⅹCH001029所示。A点实际上是A 点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像,表明对称素2存在一个对称面M。所以称对称素2为镜 面,用m,OrG表示 ★对称操作群 个物体的全部对称操作构成一个对称操作群 5群的基本知识 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 4 对称素 为简洁明了地概括一个物体的对称性，不去一一列举所有的对称操作，而是描述它所具有的“对称 素”。对称素就是一个物体的旋转轴，以及旋转－反演轴。 一个物体绕某一个转轴转动 n 2π ，以及其倍数不变时，称该轴为物体 n 重旋转轴，计为 n。 一个物体绕某一个转轴转动 n 2π 加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时，称该轴 为物体 n 重旋转－反演轴轴，计为 n 。 + 立方体 —— 立方轴（ 2 3 , , 2 π π π ）为 4 重轴，计为 4；同时也是 4 重旋转－反演轴，计为 4 ； —— 面对角线（π ）为 2 重轴，计为 2；同时也是 2 重旋转－反演轴，计为 2 ； —— 体对角线轴（ 3 4 , 3 2π π ）为 3 重轴，计为 3；同时也是 3 重旋转－反演轴，计为 3； + 正四面体 —— 立方轴是 4 重旋转－反演轴，但不是 4 重轴； —— 面对角线是 2 重旋转－反演轴，但不是 2 重轴； —— 体对角线轴是 3 重轴，但不是 3 重旋转－反演轴。 + 对称素 2 ，它的含义：先绕轴转动π ，再作中心反演，如图 XCH001_029 所示。A’’点实际上是 A 点在通过中心垂直于转轴的平面 M 的镜像，表明对称素 2 存在一个对称面 M。所以称对称素 2 为镜 面，用 m, or σ 表示。 + 对称操作群 —— 一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群 5 群的基本知识 REVISED TIME: 05-9-29 - 4 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃第一章固体构_20050406 群代表一组“元素”的集合,G={E,AB、C,D……}这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”,满足下 列性质 1)集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素,即,若A,B∈G则AB=C∈G叫倣群 的封闭性。 2)存在单位元素E,使得所有元素满足:AE=A 3)对于任意元素A,存在逆元素A,有:AA=E 4)元素间的“乘法运算”满足结合律:A(BC)=(AB)C ★几个简单的群 1)所有正实数(0除外)的集合,以普通乘法为运算法则,组成正实数群。 2)所有整数的集合,以加法为运箅法则,组成整数群 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义,其运算法则就是连续操作。 单位元素:不动操作 任意元素的逆元素:绕转轴θ角度,其逆操作为绕转轴-θ角度;中心反演的逆操作仍是中心反演; 连续进行A和B操作,相对于C操作,如图XCH001030 所示。 2π/3 A操作:绕OA轴转动-,S点转到T点; B操作:绕OC轴转动,T点转到S点 XCHOOI 030 上述操作中S和O没动,而T点转动到T点。相当于一个操作C:绕OS轴转动 表示为:C=BA一群的封闭性 可以证明:A(BC)=(AB)C一满足结合律 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 群代表一组“元素”的集合，G≡{E,A,B,C,D……}这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下 列性质： 1) 集合 G 中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素，即，若 A, B ∈ G, 则 AB=C ∈ G. 叫做群 的封闭性。 2) 存在单位元素 E, 使得所有元素满足：AE = A 3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E 4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C + 几个简单的群 1) 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为运算法则，组成正实数群。 2) 所有整数的集合，以加法为运算法则，组成整数群。 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，其运算法则就是连续操作。 单位元素：不动操作 任意元素的逆元素：绕转轴θ 角度，其逆操作为绕转轴 −θ 角度；中心反演的逆操作仍是中心反演； 连续进行 A 和 B 操作，相对于 C 操作，如图 XCH_001_030 所示。 A 操作：绕 OA 轴转动 2 π ，S 点转到 T’点； B 操作：绕 OC 轴转动 2 π ，T’点转到 S 点； 上述操作中 S 和 O 没动，而 T 点转动到 T’点。相当于一个操作 C：绕 OS 轴转动 3 2π 表示为：C = BA —群的封闭性 可以证明： A(BC) = (AB)C －满足结合律 REVISED TIME: 05-9-29 - 5 - CREATED BY XCH