圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 §1.6点群 皛体中原子的周期性排列形成了晶体一定的宏观对称性,不同的形式的原子排列形成的宏观对称性, 其对称操作也具有一定的限制 描述晶体周期性的布拉伐格子:{a1+l2a2+l2a3} 经历对称操作后晶体不变,相应的布拉伐格子也不变。 ★对称素 设想有一个对称轴垂直于平面,平面内晶面的格点可以用la1+l2a2来描述,如图XCH001_031所 示。绕转轴的任意对称操作,转过角度为:日; B点转到B点一该点必有一个格点; A点和B点是等价的,以通过B点的轴顺时针转过:O A点转到A点一该点必有一个格点 且有:B"A=nAB--n为整数 XCHOOI B A=AB(1-2cos0), 1-2cos0=n b只能取值:-1,0,1,2,3 相应的的角度:θ=60°,900,120°,180 任何晶体的宏观对称性只能有以下几种对称素:12346 1,2,3,4,6 例如长方形、正三角形、正方形和正六方形可以在平面内 周期性重复排列。 而正五边形及其它正n边型则不能作周期性重复排 列,如图ⅩCH001032所示。 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 §1.6 点群 晶体中原子的周期性排列形成了晶体一定的宏观对称性，不同的形式的原子排列形成的宏观对称性， 其对称操作也具有一定的限制。 描述晶体周期性的布拉伐格子：{ } 1 1 2 2 3a3 l a l a l K K K + + —— 经历对称操作后晶体不变，相应的布拉伐格子也不变。 + 对称素 设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以用 1 1 2 2 l a l a K K + 来描述，如图 XCH001_031 所 示。绕转轴的任意对称操作，转过角度为：θ ； B 点转到 B’点—该点必有一个格点； A 点和 B 点是等价的，以通过 B 点的轴顺时针转过：θ A 点转到 A’点—该点必有一个格点； 且有： B' A' = nAB —— n 为整数 B' A' = AB(1− 2cosθ ) ，1− 2cosθ = n θ 只能取值： −1, 0,1, 2, 3 —— 相应的的角度： 0 0 0 0 θ = 60 , 90 , 120 , 180 任何晶体的宏观对称性只能有以下几种对称素： 1, 2, 3, 4, 6 1, 2, 3, 4, 6 例如长方形、正三角形、正方形和正六方形可以在平面内 周期性重复排列。 —— 而正五边形及其它正 n 边型则不能作周期性重复排 列，如图 XCH001_032 所示。 REVISED TIME: 05-9-29 - 1 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 点群 以10种对称素为基础组成的对称操作群,一般称为点群。 由对称素组合成群时,对称轴的数目、对称轴之间的夹角将受到严格的限制, 例如:两个2重轴之间的夹角只能为:=30,450,600,90 如果存在一个n重轴和与之垂直的二重轴,就一定存在n个与之垂直的二重轴 如图XCH001033所示,2个二重轴2和2 绕轴2的转动计为A,绕轴2的转动计为B。连续进行操作AB,与之垂直的轴上一点N回到原处, 轴2转到2”的位置 N A和B均为对称操作:C=AB一也是对称操作。 C的操作则是绕NN轴转过26角度 其2=60°,90,120°,180 XCH001033 6=30 ★32种点群 理论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群。即晶体的宏观对称只有32个不同类型。 C1:不动操作,只含有一个元素,表示没有任何对称性的晶体 回转群Cn:只包含一个旋转轴的点群:C2,C3,C4,C6,共4个;下标表示是几重旋转轴; 双面群Dn:包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群:D2,D3,D4,D6,共4个; C群:C1群加上中心反演 Cs群:C1群加上反演面 Cm群:Cn群加上与n重轴垂直的反演面,共4个 C灬群:C群加上含有n重轴的反演面,共4个 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 + 点群 以 10 种对称素为基础组成的对称操作群，一般称为点群。 由对称素组合成群时，对称轴的数目、对称轴之间的夹角将受到严格的限制， 例如：两个 2 重轴之间的夹角只能为： 0 0 0 0 θ = 30 , 45 , 60 , 90 如果存在一个 n 重轴和与之垂直的二重轴，就一定存在 n 个与之垂直的二重轴。 如图 XCH001_033 所示，2 个二重轴 2 和 2’； 绕轴 2 的转动计为 A，绕轴 2’的转动计为 B。连续进行操作 AB，与之垂直的轴上一点 N 回到原处， 轴 2 转到 2’’的位置。 A 和 B 均为对称操作：C = AB —也是对称操作。 C 的操作则是绕 NN’轴转过 2θ 角度。 其 0 0 0 0 2θ = 60 , 90 , 120 , 180 0 0 0 0 θ = 30 , 45 , 60 , 90 。 + 32 种点群 理论证明由 10 种对称素只能组成 32 种不同的点群。即晶体的宏观对称只有 32 个不同类型。 C1：不动操作，只含有一个元素，表示没有任何对称性的晶体； 回转群Cn ：只包含一个旋转轴的点群：C2 , C3 , C4 , C6 ，共 4 个；下标表示是几重旋转轴； 双面群 Dn ：包含一个 n 重旋转轴和 n 个与之对应的二重轴的点群： D2 , D3 , D4 , D6 ，共 4 个； Ci 群：C1群加上中心反演； CS 群：C1群加上反演面； Cnh 群：Cn 群加上与 n 重轴垂直的反演面，共 4 个； Cnv 群：Cn 群加上含有 n 重轴的反演面，共 4 个； REVISED TIME: 05-9-29 - 2 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 D群:D群加上与n重轴垂直的反演面,共4个; Da群:Dn群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线的反演面,共2个;D2d,D3d Sn群:只包含旋转反演轴的点群。其中S1=C1,S2=C4,S3=C3,只有S4,S6共2个 O群:立方点群:含有48个对称操作 T群:正四面体点群:含有24个对称操作; O群:立方点群O中的24个纯转动操作 T群:T群中的12个纯转动操作 T群:T群加上中心反演; REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 Dnh 群： Dn 群加上与 n 重轴垂直的反演面，共 4 个； Dnd 群： Dn 群加上通过 n 重轴及两根二重轴角平分线的反演面，共 2 个； D2d D3d , Sn 群：只包含旋转反演轴的点群。其中 S1 Ci S2 Cs S3 C3h = , = , = ，只有 S4 , S6 共 2 个 Oh 群：立方点群：含有 48 个对称操作 Td 群：正四面体点群：含有 24 个对称操作； O 群：立方点群Oh 中的 24 个纯转动操作； T 群：Td 群中的 12 个纯转动操作； Th 群：T 群加上中心反演； REVISED TIME: 05-9-29 - 3 - CREATED BY XCH