《通信原理》第九讲 2.6正弦波加窄带高斯噪声 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰,为了减少噪声的影响,通常在接 收机前端设置一个带通滤波器,以滤除信号频带以外的噪声。因此,带通滤波器 的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成 波,所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。 设合成信号为 r(t=Acos(@t +0)+n(o) (2.6-1) 式中m(t)=n(t) coS O t-n,(l) sin @t为窄带高斯噪声,其均值为零,方差为σ; 正弦信号的A,O均为常数,O是在(0,2x)上均匀分布的随机变量。于是 r(O=lAcos0+n(o]cos@ t-[Asin 8+n,(OIsin@ t (D) (2.6-2) (cos@ t+P(oI 式中 (1)=Acos6+n2( (2.6-3) ,(1)=Asin6+n2() (2.6-4) 合成信号r(t)的包络和相位 ()==(0)+:(0:20 (2.6-5) 9()=-5() (0≤q≤2x) (2.6-6) 二(1) 利用上一节的结果,如果θ值已给定,则z、z是相互独立的高斯随机变量,且 2-1
2-1 《通信原理》 第九讲 §2．6 正弦波加窄带高斯噪声 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接 收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器 的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成 波，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。 设合成信号为 r(t) Acos( t ) n(t) = ωc +θ + （2.6-1） 式中 n t n t t n t t c ω c s ω c ( ) = ( ) cos − ( )sin 为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为 2 σ n ； 正弦信号的 A ωc , 均为常数，θ 是在( 0, 2π ) 上均匀分布的随机变量。于是 ( ) cos[ ( )] ( ) cos ( )sin ( ) [ cos ( )]cos [ sin ( )]sin z t t t z t t z t t r t A n t t A n t t c c c S c c c s c ω ϕ ω ω θ ω θ ω = + = − = + − + （2.6-2） 式中 z (t) Acos n (t) c = θ + c （2.6-3） z (t) Asin n (t) s = θ + s （2.6-4） 合成信号r(t)的包络和相位 ( ) ( ) ( ) , 0 2 2 z t = zc t + zs t z ≥ （2.6-5） , (0 2 ) ( ) ( ) ( ) 1 ϕ = ≤ ϕ ≤ π − z t z t t tg c s （2.6-6） 利用上一节的结果，如果θ 值已给定，则 c z 、 s z 是相互独立的高斯随机变量，且
EL=Acos E[=,]=A a2=a2=o2 所以,在给定相位O的条件下的z和=,的联合概率密度函数为 (:1)=1-1(:-40+(-4mn) 利用上一节相似的方法,可以求得在给定相位O的条件下的z和φ的联合概率密 度函数为 f(=g1b)=(a,,10)55) =2·f(=,,/0) d(a2, 2) 2To 2[=2+A2-2Acos(0-q) 求条件边际分布,有 f(/0)=f(=,q/6)d exp --5[=-+A'-2AzcoS(0-o1do 2 cos(6-) 由于 explx cos elda=Io(x) (2.6-7) 故有 A expl-2cos(0-p)dp=1o 式中,l0(x)为零阶修正贝塞尔函数。当x≥0时,l0(x)是单调上升函数,且有 0(0)=1
2-2 有 2 2 2 [ ] sin [ ] cos c s n s c E z A E z A σ σ σ θ θ = = = = 所以，在给定相位θ 的条件下的 c z 和 s z 的联合概率密度函数为 [( cos ) ( sin ) ] } 2 1 exp 2 1 ( , / ) 2 2 2 2 θ θ πσ σ f z z θ zc A zs A n n c s − + − ⎩ ⎨ ⎧ = − 利用上一节相似的方法，可以求得在给定相位θ 的条件下的 z 和ϕ 的联合概率密 度函数为 ( ,ϕ /θ ) ( , /θ ) c s f z = f z z ( , ) ( ) , ξ ϕξ ξ ξ a c s ∂ ∂ ( , /θ ) c s = z⋅ f z z [ 2 cos( )] } 2 1 exp 2 2 2 2 2 θ ϕ πσ σ + − − ⎩ ⎨ ⎧ = − z A Az z n n 求条件边际分布，有 θ ϕ ϕ πσ σ σ θ ϕ ϕ πσ σ θ ϕ θ ϕ π π π d z z A Az z A Az d z f z f z d n n n n n ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = − = − + − − = ∫ ∫ ∫ exp cos( ) 2 exp 2 [ 2 cos( )]} 2 1 exp{ 2 ( / ) ( , / ) 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 由于 exp[ ] cos ( ) 2 1 0 2 0 x d = I x ∫ θ θ π π （2.6-7） 故有 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ∫ 2 0 2 2 0 exp cos( ) 2 1 n n Az d I Az σ θ ϕ ϕ π σ π 式中， ( ) 0 ( ) 0 0 I x 为零阶修正贝塞尔函数。当 x ≥ 时，I x 是单调上升函数，且有 I 0 (0) = 1
因此 f(/0)=-exp-2(2+A2)f 由上式可见,f(=/0)与θ无关,故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数 为 a:-20(2+)|k z≥0 (2.6-7) 这个概率密度函数称为广义瑞利分布,也称莱斯(Rice)密度函数。 上式存在两种极限情况: (1)当信号很小,A→>0,即信号功率与噪声功率之比 2a2)→0时, 值很小,有J0(x)=1,这时合成波r()中只存在窄带高斯噪声,由莱斯分布退化 为瑞利分布。 (2)当信噪比r很大时,有10(x)-=,这时在z≈A附近,f()近似于 27x 高斯分布,即 (z-A)2 f(二)≈ 2TO 由此可见,信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时,它接 近于瑞利分布;大信噪比时,它接近于高斯分布;在一般情况下才是莱斯分布。 图2-8(a)给出了不同的r值时f()的曲线 关于信号加噪声的合成波相位分布∫(q),比较复杂,这里就不再演算了。 图2-8(b)给出了不同的r值时f(q)的曲线 2-3
2-3 因此 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅ − + 0 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 ( / ) exp n n n Az z A I z f z σ σ σ θ 由上式可见， f (z/θ )与θ 无关，故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数 为 ( ) 0 2 1 ( ) exp 0 2 2 2 2 2 ≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − + z Az z A I z f z σ n σ n σ n （2.6-7） 这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）密度函数。 上式存在两种极限情况： （1）当信号很小， A → 0，即信号功率与噪声功率之比 γ σ = 2 2 2 n A → 0时，x 值很小，有 I 0 (x) = 1，这时合成波r(t)中只存在窄带高斯噪声，由莱斯分布退化 为瑞利分布。 （2）当信噪比 r 很大时，有 x e I x x 2π ( ) 0 ≈ ，这时在 z ≈ A附近， f (z)近似于 高斯分布，即 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ≈ ⋅ − 2 2 2 ( ) exp 2 1 ( ) n n z A f z πσ σ 由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，它接 近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下才是莱斯分布。 图 2-8（a）给出了不同的 r 值时 f (z)的曲线。 关于信号加噪声的合成波相位分布 f (ϕ) ，比较复杂，这里就不再演算了。 图 2-8（b）给出了不同的 r 值时 f (ϕ) 的曲线
(z) 图2-8正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布
2-4 图 2-8 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布