2.1.波函数的统计解释 11/86 系。并且函数系k(r)是完备的,即不存在不属于yk()函数系另外的函 数d与所有的yk(r)都正交 数学上可以证明任意波函数都可以表示为正交归一完备函数 集{yk(r)}的展开系数 ∑ Ckk(r), Ck=(k I o)=/ yi(y(r)dr 中k(r)也叫希尔伯特空间( Hilbert space)中的正交归一基。希尔伯特 空间是定义在复数域上的一个有限维或无限维的完备矢量空间,在这 个空间中定义了内积,即对线性复函数集中任一对函数y(x)和p(x)赋 予一个复数与之对应,内积满足以下4个条件: 1*p)=∫ydr=(J9'dr)=(9) 2*《y|q1+q2)=|q1)+{y|g2) 3*《|Cy)=C|p)〉,C是复数 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 11/86 X"¿ ¼êXψk(r)´§=Ø3Øáuψk(r)¼êX, ¼ êφ¤kψk(r)Ñ" êÆþ±y²?¿Å¼êψѱL«8¼ê 8{ψk(r)}ÐmXêµ ψ = X k Ckψk(r), Ck = hk | ψi = Z V ψ ∗ k (r)ψ(r)dτ ψk(r)FËAm£Hilbert Space¤¥8Ä"FËA m´½Â3Eêþk½Ã¥þm§3ù m¥½Â Sȧ=é5E¼ê8¥?é¼êψ(x)Úϕ(x)D EêéA§SÈ÷v±e4^µ 1* hψ | ϕi = R ψ ∗ϕdτ = R ϕ ∗ψdτ ∗ = (hϕ | ψi) ∗ 2* hψ | ϕ1 + ϕ2i = hψ | ϕ1i + hψ | ϕ2i 3* hψ | Cϕi = C hψ | ϕi§C´Eê
82.1.波函数的统计解释 12/866 4*|少)≥0,仅当=0时,(|)=0 (完备的内积空间就是希尔伯特空间,关于希尔伯特空间的严格 理论请阅读泛函分析方面的书籍。) 量子力学中,微观粒子运动状态用波函数描述,而波函数就对应 希尔伯特空间中的态矢(就象经典物理学中物质运动状态用位置和动 量描述,而位置和动量对应于笛卡尔坐标系中的矢量) 由波函数归一条件: bydr C∑Ckk)dr CCk/dr=∑CCok=∑C=1 Ck2就是在态失ψ中发现具有动量p=hk粒子的几率。即:粒子动 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 12/86 4* hψ | ψi > 0§=ψ = 0§hψ | ψi = 0 £SÈmÒ´FËAm§'uFËAmî nØ Ö¼©Û¡Ö7"¤ þfåÆ¥§*âf$ÄG^żê£ã§ żêÒéA FËAm¥¥£Ò²;ÔnÆ¥Ô$ÄG^ ÚÄ þ£ã§ ÚÄþéAu(kIX¥¥þ¤" dżê8^µ Z V ψ ∗ψdτ = Z V X k C ∗ kψ ∗ k X k 0 Ck 0ψk 0 ! dτ = X k,k 0 C ∗ kCk 0 Z V ψ ∗ kψk 0dτ = X k,k 0 C ∗ kCk 0δkk0 = X k |Ck| 2 = 1 |Ck| 2Ò´3 ψ ¥uyäkÄþ p = ~k âfAÇ"=µâfÄ
2.1.波函数的统计解释 13/86圆6 量为p的几率也可由波函数求出。 例2:多粒子体系的波函数,ψ(1,2,…,Fy), 1(x1,y1,z1),2(x2,y2,z2),…,FM(xN,yN,zN)分别表示各粒子的坐标。 归一化条件表示为: w(1,i2, N)dxdy1dz1xnd'yNdZN=1 即:波函数一般而言表示的是多维空间中的几率波。不是我们日常生 活中的三维空间。 212统计解释对波函数提出的要求 1*单值性:单值,但对则不一定; 归一性:一个真实的波函数要求满足归一化条件,但也不排 除在量子力学中可以使用一些不能归一化的理想的波函数。如在散射 理论中,常使用理想平面波函数描述入射粒子的状态,这是因为在这 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 13/86 þ p AÇdżê¦Ñ" ~2µõâfNXżê§ψ(~r1, ~r2, ..., ~rN)§ ~r1(x1, y1, z1), ~r2(x2, y2, z2), ..., ~rN(xN, yN, zN)©OL«âfI" 8z Z ^L«µ ∞ ψ(~r1, ~r2, ..., ~rN) 2 d 3 x1d 3 y1d 3 z1...d 3 xNd 3 yNd 3 zN = 1 =µÅ¼ê óL«´õm¥AÇÅ"Ø´·F~) ¹¥nm" 2.1.2 ÚO)ºéżêJѦ 1* ü5µ|ψ|ü§éψKؽ¶ 2* 85µý¢Å¼ê¦÷v8z^§Øü Ø3þfåÆ¥±¦^ ØU8znżê"X3Ñ nØ¥§~¦^n²¡Å¼ê£ã\âfG§ù´Ï3ù
82.1.波函数的统计解释 14/86 类问题中粒子动量基本确定,且各处概率密度相同。(曾谨言 卷I:page52) 3*对波函数奇点的要求:波函数的平方可积条件并不排斥在空 间某些孤立奇点处ψ(r→∞。例如,r=ro是ψ(r)的一个孤立奇 点,0+M2dr<M,即波函数平方在ro邻域内积分收敛。70+表示包 围r0的任意小体积。 n维空间,当d→0,M→,F2(r)2→0 即:n-2s>0,s<n/2 所以对于一维,要求:s<1/2;二维,s<1;三维:s<3/2。 即:波函数的平方可积条件限制了波函数绝对值在孤立奇点处发 散的速度。 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 14/86 a¯K¥âfÄþÄ (½§ ?VÇÝÓ"£Q>ó òIµpage 52¤ 3* éżêÛ:¦µÅ¼ê²È^¿Øü½3 m, áÛ:?|ψ(r)| → ∞"~X§r = r0´ψ(r)áÛ :§R r0+ |ψ| 2 dτ < M§=żê²3r0SÈ©Âñ"r0+L« r0?¿NÈ" n m§dr → 0§|ψ| → 1 |dr| s§|ψ| 2 (dr) n → 0§ =µn − 2s > 0§s < n/2 ¤±éu§¦µs < 1/2¶§s < 1¶nµs < 3/2" =µÅ¼ê²È^ żêýé3áÛ:?u ÑÝ"
2.2.态叠加原理 15/86 822态叠加原理 如果,2是系统两个可能的状态,那么它们的线性叠加: y C1y1+ C202 也是系统的一个可能状态。(根据统计解释,le1y12,|c22分别对应 系统处在1,2两个状态的几率。) 用几率波概念和态叠加原理说明电子双缝干涉实验 1*双缝,电子出现几率正比于 M2=1+v2=(v+v2)1+v2) 2+22+1+v2 后两项正是干涉项,是产生干涉条纹的原因。 2*挡住一条缝,或在一条缝处观察到电子穿过,都是等效的 即都对应一个“纯粹”的态(比如说是态1)。已经在缝1处观察到电 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.2. U\n 15/86 §2.2 U\n XJψ1, ψ2´XÚüUG§@o§5U\µ ψ = c1ψ1 + c2ψ2 ´XÚUG"£âÚO)º§|c1ψ1| 2 , |c2ψ2| 2©OéA XÚ?31§2üGAÇ"¤ ^AÇÅVgÚU\n`²>fV¿Z¢µ 1* V¿§>fÑyAÇ'uµ |ψ| 2 = |ψ1 + ψ2| 2 = ψ ∗ 1 + ψ ∗ 2 (ψ1 + ψ2) = |ψ1| 2 + |ψ2| 2 + ψ ∗ 2ψ1 + ψ ∗ 1ψ2 ü´Z§´)Z^«Ï" 2* 4^¿§½3^¿?* >fBL§Ñ´ § =ÑéA“X{”£'X`´1¤"®²3¿1?* >