2.2.态叠加原理 16/86 子,意味着电子处在缝1的几率是1,是确定的事件,2态的系数必为 零。所以无干涉条纹产生 态叠加原理一般可写为 y=cm1+c2y2+…+cnyn+… lr 当{;}是系统可能状态时,则其线性叠加也是系统可能状态。或说: 当系统处于ψ时,则y是各可能状态{之和 (量子力学中态所具有的性质与希尔伯特空间中矢量所具有性质 是一致的,因此用希尔伯特空间中矢量可表示量子力学的态。量子力 学的数学基础是泛函分析。) 根据态叠加原理,电子波函数可表示为具 有确定动量波函数:ψp(,D)= Aen(p-r0的叠加。首先我们求出归一 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.2. U\n 16/86 f§¿X>f?3¿1AÇ´1§´(½¯§2Xê7 ""¤±ÃZ^«)" U\nµ ψ = c1ψ1 + c2ψ2 + ... + cnψn + ... = X n cnψn {ψi}´XÚUG§KÙ5U\´XÚUG"½`µ XÚ?uψ§Kψ´UG{ψi}Ú" £þfåÆ¥¤äk5FËAm¥¥þ¤äk5 ´§Ïd^FËAm¥¥þL«þfåÆ"þfå ÆêÆÄ:´¼©Û"¤ âU\n§>fżêL«ä k(½Äþżêµψp(r, t) = Ae i ~ (p·r−Et)U\"Äk·¦Ñ8
2.2.态叠加原理 17/86圆6 化因子A, yny'dt=a2 exp (p-p).rdr A2 lim/exp-(p-p) →o 2 sin(Px-PA)N p)n 2 sin =A2 lim → (Pr-ps) A(py-Pr (P2-m2) =A2(2mh)36(p-p) 利用 sin(N3 r) lim 6(ax)==0(x), →oo 1 A2(2mh)36(p-p)=6(-p),A (2mh)32 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.2. U\n 17/86 zÏfA§ Z ∞ −∞ ψ ∗ pψ 0 pdτ = A 2 Z ∞ −∞ exp − i ~ p − p 0 · r dτ = A 2 lim N→∞ Z N −N exp − i ~ p − p 0 · r dτ = A 2 lim N→∞ 2 sin h (px−p 0 x )N ~ i 1 ~ px − p 0 x · 2 sin h (py−p 0 y )N ~ i 1 ~ py − p 0 y · 2 sin h (pz−p 0 z )N ~ i 1 ~ pz − p 0 z = A 2 (2π~) 3 δ(p − p 0 ) |^µ δ(x) = 1 π lim N→∞ sin(Nx) x , δ(ax) = 1 a δ(x), A 2 (2π~) 3 δ(p − p 0 ) = δ(p − p 0 ), A = 1 (2π~) 3/2
§2.2.态叠加原理 18/86 所以可定义归一化波函数:(r)= arh z exp(p·) 叠加原理: w(r,t)=/c(p, Dwp(r)dp t)exp ip r)l dp (2xh)2 lc(p,)2代表波函数v(,1)中所含有平面波vp()的几率,即粒子动 量为p的几率。 3/v (, De h( r)af=(2h) 3/ c(p, tjeilepe-hoep -n)dtdp (2h)2 c(p, t)dp 2Th) ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.2. U\n 18/86 ¤±½Â8zżêµψp(r) = 1 (2π~) 3/2 exp i ~ (p · r) U\nµ ψ(r, t) = Z ∞ −∞ c(p, t)ψp(r)d 3 p = 1 (2π~) 3 2 Z ∞ −∞ c(p, t) exp i ~ (p · r) d~p |c(p, t)| 2Lżêψ(r, t)¥¤¹k²¡Åψp(r)Aǧ=âfÄ þpAÇ" 1 (2π~) 3 2 Z ∞ −∞ ψ(r, t)e − i ~ (p 0 ·r) d~r = 1 (2π~) 3 Z ∞ −∞ c(p, t)e i ~ (p·r) e − i ~ (p 0 ·r) d~rd~p = Z ∞ −∞ c(p, t)d~p Z ∞ −∞ 1 (2π~) 3 e i ~ (p−p 0 )·r d~r
2.2.态叠加原理 19/866 c(p, t)8(p-p)dp 上式可改写为 v(r, t)exp -ip.r) y(r, t)r (p)dr (2丌) 定义归一化波函数: y(p)= exp[-(p·) (2m)2 讨论:c(p,t),v(r,t)互为傅立叶变换。c(p,1)确定后,ψ(r,1)就完全确 定,反之亦然。所以c(p,1),(r,t)是同一个状态的两种不同描述方 式。相当于矢量在 Hilbert space中两不同正交系下的表示 ( representation)。如以坐标为自变量的波函数(p)为正交归一基, 对应为坐标表象,其系数(r,t)是坐标表象下的波函数,如以动量为 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.2. U\n 19/86 = Z ∞ −∞ c(p, t)δ(p − p 0 )d~p þªUµ c(p, t) = 1 (2π~) 3 2 Z ∞ −∞ ψ(r, t) exp − i ~ (p · r) dτ = Z ∞ −∞ ψ(r, t)ψr(p)dτ ½Â8zÅ¼êµ ψr(p) = 1 (2π~) 3 2 exp − i ~ (p · r) ?صc(p, t), ψ(r, t)pFáC"c(p, t)(½§ψ(r, t)Ò ( ½§½,"¤±c(p, t), ψ(r, t)´ÓGü«Øӣ㠪"u¥þ3Hilbert Space¥üØÓXeL« £representation¤"X±IgCþżêψr(p)8ħ éAIL§ÙXêψ(r, t)´ILeżê§X±Äþ
2.2.态叠加原理 20/86 自变量的波函数ψp(r)为正交归一基,对应为动量表象,其系 数c(p,D)是动量表象下的波函数,表象变换的实质是 Hilbert space中的 坐标变换。 容易证明: Ic(p,t)r dp=/l(r, t)12d7=1 即波函数在不同表象下都是归一的。( Hilbert space中矢量的长度不 随基矢选择而改变。) Ic(p, t)1 dp=/c"(p, t)c(p, t)dp o tp(r-r) drdr(, t)y(r (2Th o ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.2. U\n 20/86 gCþżêψp(r)8ħéAÄþL§ÙX êc(p, t)´ÄþLeżê§LC¢´Hilbert Space¥ IC" N´y²µ Z ∞ −∞ |c(p, t)| 2 d~p = Z ∞ −∞ |ψ(r, t)| 2 d~r = 1 =żê3ØÓLeÑ´8"£Hilbert Space ¥¥þÝØ Ä¥ÀJ UC"¤ Z ∞ −∞ |c(p, t)| 2 d~p = Z ∞ −∞ c ∗ (p, t)c(p, t)d~p = Z ∞ −∞ d~pd~rdr ~0ψ ∗ (r, t)ψ(r 0 , t) e i ~ p·(r−r 0 ) (2π~) 3