82.1.波函数的统计解释 6/86 x表示对(微观离子所能到达的)全空间积分,满足此条件的波函数 y称为归一化波函数 波函数的归一化条件相当于波函数的平方可积条件 lul dT=C<A C是确定正实常数 则 dT=1 即是归一化波函数,是归一化因子 注1:相位不确定性,由于lm=1(m为任意实常数,相位) eoψ与ψ描述的是相同的微观粒子运动状态(简称为状态)。(这是 因为小不对应物理实在,仅师对应几率波) 注2:一般而言,微观粒子运动状态可分为两类,束缚态(运动 状态被限定在一定范围内,E<0),自由态(运动状态不受限制, ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 6/86 ∞L«é£*lf¤U¤ mÈ©§÷vd^żê ψ¡8zżê" żê8z^użê²È^µ Z ∞ |ψ| 2 dτ = C < A, A, , C´(½¢~ê Kµ Z ∞ ψ √ C 2 dτ = 1 = ψ √ C ´8zÅ¼ê§ 1 √ C ´8zÏf" 51µ Ø(½5§du e iα = 1£α?¿¢~ê§ ¤§ e iαψ ψ£ã´Ó*âf$ÄG£{¡G¤"£ù´ Ï ψØéAÔn¢3§= |ψ| 2éAAÇŤ 52µ ó§*âf$ÄG©üa§åP£$Ä G½3½S§ E < 0¤§gd£$ÄGØɧ
82.1.波函数的统计解释 7/86 E>0)。对束缚态,平方可积条件显然满足,但对自由态,则不成 对自由粒子波函数ψ=Aek,|2称为相对几率密度 例1:箱归一化,即:我们定义波函数在边长L的立方体内是归 化的 sJ4eWkr-0,r∈L3 rE 如果L很大(L>10mm,L很大成立的条件,1*计算表面态原子数目 与总原子数的比例,p≈"=“My=6%;2*比较电子(一般而言 则是准粒子)运动自由程l与系统尺度L的大小,L<l表示系统还不 足够大,L>l表示L足够大。) 边界条件对体积V=L3内粒子运动影响很小,所以我们可以构 造周期性边条件:ψ(x,y,z)=ψ(x+L,y,z)=叭(x,y+L,z) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 7/86 E > 0¤"éåP§²È^w,÷v§égd§Kؤ á" égdâfżê ψ = Aei(k·r−ωt)§|ψ| 2¡éAÇÝ" ~1µ8z§=µ·½Âżê3>LáNS´8 z" ψ = ( Aei(k·r−ωt) , r ∈ L 3 0, r < L 3 XJLé£L 10nm§Lé¤á^§1*OL¡fê8 ofê'~§p ≈ 6L 2 L3 = 6×1002 1003 = 6%¶2*'>f£ ó K´Oâf¤$Ägd§ lXÚºÝL§L < lL«XÚØ v §L > lL«Lv "¤ >.^éNÈV = L 3Sâf$ÄK駤±·± E±Ï5>^µψ(x, y, z) = ψ(x + L, y, z) = ψ(x, y + L, z) =
2.1.波函数的统计解释 8/86 (x,y,z+L)来代替实际的边界条件。 ll dr Adt=a2l3=1 VEL 所以:A= VV VL3 归一化波函数为:k(,D)=e1k=0 边界条件则限制了波失k的取值 krL=2nr,kyL= 2nyI,k,L=2nzT 即 2 2丌 k k h2 E=ho(k)= k m (n2+n2+n2),自由粒子能谱 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 8/86 ψ(x, y, z + L)5O¢S>.^" Z ∞ |ψ| 2 dτ = Z V=L3 A 2 dτ = A 2L 3 = 1 ¤±µA = 1 √ V = 1 √ L3 8zżêµψk(r, t) = 1 √ V e i(k·r−ωt) >.^K Åkµ kxL = 2nxπ, kyL = 2nyπ, kzL = 2nzπ =µ kx = nx 2π L , ky = ny 2π L , kz = nz 2π L E = ~ω(k) = p 2 2m = ~ 2 2m k 2 x + k 2 y + k 2 z = 2π L 2 ~ 2 2m n 2 x + n 2 y + n 2 z , gdâfUÌ
82.1.波函数的统计解释 9/86 所以波函数可以写为: ok(r, t) vp(2) nr-w(k)t=pr(r) -io(k) pk(r)= (当L→∞时,相临k值及能量值趋于零,即自由粒子对应 于连续谱。) 正交归一:现在证明归一化波函数小k()构成一个正交归一函数系 (类比笛卡儿坐标系) Pi(r)yk(r)dr =(kk)=ok,k 2 L/2 L/2 42=/些a e-k少dy (k2-k2)zdz L/2 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 9/86 ¤±Å¼ê±µ ψk(r, t) = 1 √ V exp i 2π L n · r − ω(k)t = ψk(r)e −iω(k)t ψk(r) = 1 √ V e ik·r = 1 √ V exp i 2π L n · r £L → ∞§ k 9Uþªu"§=gdâféA uëYÌ"¤ 8µy3y²8zżêψk(r)¤8¼êX £a'(kIX¤µ Z V ψ ∗ k (r)ψk 0(r)dτ = k k 0 = δk,k 0 k k 0 = 1 L3 Z L/2 −L/2 e i(k 0 x−kx)x dx Z L/2 −L/2 e i(k 0 y−ky)y dy Z L/2 −L/2 e i(k 0 z−kz)z dz
82.1.波函数的统计解释 1086回6 /p(-m)a/p(2-) /2 L/2 L/2 exp L/2 1 sin(I(n'-nx)) sin((ny-ny)) sin(I(n2-n2) n-n ny (Z( sin((nf-nx) sIn(丌 (ny-ny )) sin(r(n'2-n2) n 丌(m-n 丌(n 当mx≠n时,sin[(m2-nx)=0, 当n=n时,(一m)可 1 nx)丌 所以:(k|k)=6n1m①16m=k,这样k()就构成正交归一函数 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 10/86 = 1 L3 Z L/2 −L/2 exp i 2π L n 0 x − nx x dx Z L/2 −L/2 exp i 2π L n 0 y − ny y dy Z L/2 −L/2 exp i 2π L n 0 z − nz z dz = 1 L3 · sin π n 0 x − nx π L n 0 x − nx · sin π n 0 y − ny π L n 0 y − ny · sin π n 0 z − nz π L n 0 z − nz = sin π n 0 x − nx π n 0 x − nx · sin π n 0 y − ny π n 0 y − ny · sin π n 0 z − nz π n 0 z − nz n 0 x , nx§ sin n 0 x − nx π = 0§ n 0 x = nx§ sin n 0 x − nx π n 0 x − nx π = 1 ¤±µhk | k 0 i = δnxn 0 x δnyn 0 y δnzn 0 z = δkk0§ùψk(r)Ò¤8¼ê