y∈s2x∈s 于是Y=E(X,Y)≤E(X,Y)≤E(x’,Y)=V 定义4,设G'={s∵,s';E}是矩阵对策G={s1,s;A}的混合扩充。如果 max(min E(X, Y))= min(max E(X, y)) x∈sy∈S2 y∈s2’x∈S 记其值为VG,则称V为对策G的值,使上式成立的混合局势,(X,Y)为G在混合决策意义 下的解,X、Y分别称为局中人I和Ⅱ的最优混合决策 现约定:以下对G={s1,s2:A}及其混合扩充G={s’,s‘;E}一般不加区别。通常用G={s, s2;A}表示,当G在纯策略意义下,解不存在时,自动认为讨论的是在混合策略意义下的解。相应 局中人I的赢得函数为E(X.Y),和定理1类似,可以给出矩阵对策G在混合策略意义下解存在的 鞍点型充要条件。 定理2矩阵对策G={s1,s2;A}在混合策略意义下,有解的充要条件是,存在X∈S’,Y∈S2 使(X,Y)的函数E(X.Y)的一个鞍点,即对一切X∈S,Y∈Sz有 E=(X.Y)≤E(X.Y)≤E(X.Y) 解例7考虑矩阵对策G={s1,s2;A} S,={a1.a2} 54 S2={B.β2 解,例7已讨论知G在纯策略意义下,解不存在 于是设X=(x1,x2)为局中人I的混合策略 y=(y1,y2)为局中人Ⅱ的混合策略 S={(x,x2)x,x2≥0x+x2=1(概率和为1) S={(y,yz)y,y2≥0y∈y2=1} 局中人I的赢得期望是 E(X,Y)=3x1y+6x1y2+5x2y1+4x2y2 =3x1y1+6x1(-y1)+5y(1-x1)+4(1-x1)(1-y1)=-4(x1-1/4)y1-1/2)+9/2 由此式可知当x1=1/4,x2=1-1/4=3/4时,E(X,)=9/2,就是说,当局中人I以概率1/4 选取纯策略α1,以概率3/4选取纯策略α2时他的贏得至少是9/2,同样局中人Ⅱ只有取 H1=1/2,Y2=1-1/2=1/2,才能保证他的输出不会多于9/2 取X=(1/4,3/4) r=(1/2,1/2) 则E(X,y)=9/2 E(X,Y)=E(X,)=9/2 即有E(X,Y)≤E(X,Y)≤E(X,Y) 故 X=(1/4,3/4)和Y=(1/2,1/2)分别为局中人 Ⅰ和Ⅱ的最优策略,对策值(局中人I的赢得期望值)VG=9/2 一般矩阵对策在纯策略意义下的解,往往是不存在的,但是可以证明,般矩阵在混合策略意义 下的解,却总是存在的,这一系列定理我们略表不讲了,但在一个构造性的证明中,引出了矩阵对 策的基本方法一线性规划方法 11
11 y∈s2 * x∈s1 * 于是 Y =E(X,Y* )≤E（X *，Y *）≤E（X * ，Y）=V2 定义 4，设 G * ={s1 *，s1 *；E}是矩阵对策 G={s1，s2；A}的混合扩充。如果 max(min E(X,Y))= min(max E(X,Y)) x∈s1 * y∈ * 2 S y∈s2 * x∈ * 1 S 记其值为 VG ，则称 VG 为对策 G *的值，使上式成立的混合局势，（X *，Y *）为 G 在混合决策意义 下的解，X *、Y *分别称为局中人 I 和Ⅱ的最优混合决策。 现约定:以下对 G = {s1，s2；A}及其混合扩充 = * G {s1 *，s2 *；E}一般不加区别。通常用 G = {s1， s2；A}表示，当 G 在纯策略意义下，解不存在时，自动认为讨论的是在混合策略意义下的解。相应 局中人 I 的赢得函数为 E （X.Y）,和定理 1 类似,可以给出矩阵对策 G 在混合策略意义下解存在的 鞍点型充要条件。 定理 2 矩阵对策 G = {s1，s2；A}在混合策略意义下，有解的充要条件是，存在 X *∈S1 *，Y *∈S2 * 使（X *，Y *）的函数 E （X.Y）的一个鞍点，即对一切 X∈S1 *，Y∈S2 *有 E =（X.Y *）≤ E （X * .Y *）≤ E （X.Y * ） 解例 7 考虑矩阵对策 G = {s1，s2；A} 3 6 1 S ={α1,α2} 5 4 5 4 2 S ={β1,β2} 解， 例 7 已讨论知 G 在纯策略意义下，解不存在 于是 设 X = （x1,x2）T 为局中人 I 的混合策略 Y = （y1,y2） T 为局中人Ⅱ的混合策略 则 = * 1 S {(x1,x2) x1,x2≥0 x1+x2=1(概率和为 1) } * 2 S ={(y1,y2) y1,y2≥0 y1∈y2=1} 局中人 I 的赢得期望是: 3 1 1 6 1 2 5 2 1 4 2 2 E(X,Y) = x y + x y + x y + x y 3 6 (1 ) 5 (1 ) 4(1 )(1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 = x y + x − y + y − x + − x − y = −4(x1 −1/ 4)(y1 −1/ 2) + 9/ 2 由此式可知当 x1 = 1/4 , x2 = 1-1/4=3/4 时, E(X ,Y) = 9 / 2 , 就是说，当局中人 I以概率1/4 选取纯策略 1 ,以概率 3/4 选取纯策略 2 时他的赢得至少是 9/2 ,同样局中人Ⅱ只有取 Y1 =1/ 2 ，Y2 =1-1/2=1/2，才能保证他的输出不会多于 9/2。 取 T X (1/ 4,3/ 4) * = T Y (1/ 2,1/ 2) * = 则 ( , ) 9/ 2 * * E X Y = ( , ) ( , ) 9/ 2 * * E X Y = E X Y = 即有 ( , ) ( , ) ( , ) * * * E X Y E X Y E X Y 故 T X (1/ 4,3/ 4) * = 和 T Y (1/ 2,1/ 2) * = 分别为局中人 I 和Ⅱ的最优策略，对策值（局中人 I 的赢得期望值） VG = 9 / 2 一般矩阵对策在纯策略意义下的解，往往是不存在的，但是可以证明，般矩阵在混合策略意义 下的解，却总是存在的，这一系列定理我们略表不讲了，但在一个构造性的证明中，引出了矩阵对 策的基本方法—线性规划方法。 A=
这是给出一个矩阵对策优超纯策略的定义: 定义5设有矩阵对策G={s1,s2;A} 其中S1={a,a2,…a,}S2={B1,B2,…;βa A=(an)m如果对一切j=1,2,…,n都有 ao.≥a 甲矩阵A的第i°行元均不少于第k0行的对应元,则称局中人I的纯策略a。优超于a 同样,若对一切i=1,2,…,m,都有 即矩阵A的第°列元均不少于第j列的对应元,则称局中人II的纯策略β优超于β 定理10,设G={s1,s2;A}为矩阵对策 其中S1={a,aa,…,a。}S2={B1,B,…,B} A=(an)m如果纯策略a1被其余纯策略a2,a,…a中之所优超,由G可得到一个 新的纯阵对策G’: 其中G=S1,S2;A A =(ai) A,=ani=2,…,m,j=1,2,…n 于是有 (2)G′中局中人II的最优策略就是其在G中的最优策略: (3)若(x2,x3,xn)是G中局中人I的最优策略,则X=(0,x,x2,,x)是其在G中的 最优策略。 例9.设赢得矩阵为 5 203 46875.5 08 求解这个矩阵对策。 解:由于第4行优于第1行、第3行优于第2行,故可划在第1行和第2行,得到新的赢得矩 阵 A+46875.5 由于A第1列优超于第3列,第2列优超于第4列 1/3×(第1列)+2/3×(第2列)优超于第5列,因此去掉第3、4、5列,得到
12 这是给出一个矩阵对策优超纯策略的定义： 定义 5 设有矩阵对策 G = {s1，s2；A} 其中 1 S ={α1,α2,…αm} 2 S ={β1,β2,…,βn} A = aij mn ( ) 如果对一切 j=1,2,…,n 都有 i j k j a 0 a 0 即矩阵 A 的第 i 0 行元均不少于第 k 0 行的对应元，则称局中人 I 的纯策略 0 i a 优超于αk0 同样，若对一切 i=1,2,…,m,都有 0 0 ij il a a 即矩阵 A 的第 l o 列元均不少于第 j o 列的对应元，则称局中人 II 的纯策略βj o 优超于β 0 l 定理 10，设 G = {s1，s2；A}为矩阵对策 其中 S1 = {α1,α2,…,αm} S2 = {β1,β2,…,βn} A = aij mn ( ) 如果纯策略α1 被其余纯策略α2,α3,…αm 中之所优超，由 G 可得到一个 新的纯阵对策 G ： 其中 G = S1 , S2 ; A = S1 {α2,α3,…,αm} A =(αij ) (m−1)n Aij = aij i=2,…,m ,j=1,2,…n 于是有 (1) VG = VG (2) G 中局中人 II 的最优策略就是其在 G 中的最优策略： (3)若 ( , ,..., ) * * 3 * 2 m x x x T 是 G 中局中人 I 的最优策略，则 T m X (0, x , x ,..., x ) * * 2 * 1 * = 是其在 G 中的 最优策略。 例 9.设赢得矩阵为 2 2 0 3 0 5 0 2 5 9 A= 7 3 9 5 9 4 6 8 7 5.5 6 0 8 8 3 求解这个矩阵对策。 解：由于第 4 行优于第 1 行、第 3 行优于第 2 行，故可划在第 1 行和第 2 行，得到新的赢得矩 阵。 7 3 9 5 9 A1 = 4 6 8 7 5.5 6 0 8 8 3 由于 A1 第 1 列优超于第 3 列，第 2 列优超于第 4 列 1/3×（第 1 列）+2/3×（第 2 列）优超于第 5 列，因此去掉第 3、4、5 列，得到