解:根据矩阵A有 min ai 1 -3 max a 于是 max( min a)=min( max a)=2 由定义1 VG=2,G的解为(a2,β2),a2,B2分别是局中人I和II的最优纯策略。 从例4可以看出,矩阵A的元素a2既是所在行的最小元素,又是所在列的最大元素,即 a2≤a22≤a2y i=1,2,3,4;j=1,2,3 将这一事实推广到一般矩阵对策,可得如下定理: 定理1矩阵对策G={s、s2;A}在纯策略意义下有解的充要条件是:存在纯局势 (a,b,),使得对一切i=1,2,…,m,j=1,2,…n均有 ≤a,,≤a 证(略) 为了便于对更为广泛的对策情况进行分析,现引进关于二元函数鞍点的概念: 定义2设f(x,y)为一个定义在x∈A及y∈B上的实值函数,如果存在x*∈A,y*∈B,使 得对一切,x∈A和y∈B,有 f(x,y*)≤∫(x*,y*)≤∫(x*,y) 则称(x*,y*)为函数S的一个鞍点 注1.由定义2及定理1可知,矩阵对策G在纯策略意义下有解,且VG=a;r的充要条件是:ar 是矩阵A的一个鞍点。在对策论中,矩阵A的鞍点也称为对策的鞍点。 定理1中或a,≤a≤a;的直观解释是: 如果a…既是矩阵A=(an)mxn中的第i'行的最小值。又是A中第j列的最大值,则a…是对 策的值,且(α,β)就是对策的解,其对策意义是:一个平衡局势(a,β,)应具有这样的 性质,当局中人Ⅰ选取了纯策略α后,局中人Ⅱ为了使其所失最小,只有选择纯策略β,否则就 可能丢的更多:;反之,当局中人Ⅱ选取了纯策略β;后,局中人Ⅰ为了得到最大的赢得也只能选取纯 策略a;。否则就会赢得更少,双方的竞争在局势(a,βj)下达到了一个平衡状态。 例5,设有矩阵对策G={s,sz;A},其中S1={a1,a2,as,al,S2={B,β2,B3,β4}, 贏得矩阵为
6 解：根据矩阵 A 有 于是 max(min aij) = min(max aij) = 2 i j j i 由定义 1 VG =2，G 的解为（α2，β2），α2，β2 分别是局中人 I 和 II 的最优纯策略。 从例 4 可以看出，矩阵 A 的元素 a22 既是所在行的最小元素，又是所在列的最大元素，即 ai2 a22 a2 j i=1,2,3,4； j=1,2,3 将这一事实推广到一般矩阵对策，可得如下定理： 定理 1 矩阵对策 G = {s1、s2；A}在纯策略意义下有解的充要条件是：存在纯局势 ( * , * ) i j a b ，使得对一切 i=1,2,…,m,j=1,2,…,n 均有 ij i j i j a * a * * a * 证（略） 为了便于对更为广泛的对策情况进行分析，现引进关于二元函数鞍点的概念： 定义 2 设 f（x，y）为一个定义在 x∈A 及 y∈B 上的实值函数，如果存在 x*∈A，y*∈B，使 得对一切，x∈A 和 y∈B，有 f （x,y*）≤ f （x*,y*）≤ f (x*,y) 则称（x*,y*）为函数 S 的一个鞍点 注 1.由定义 2 及定理 1 可知，矩阵对策 G 在纯策略意义下有解，且 VG =ai*j*的充要条件是：ai*j* 是矩阵 A 的一个鞍点。在对策论中，矩阵 A 的鞍点也称为对策的鞍点。 定理 1 中或 ij i l i j a * a * * a * 的直观解释是： 如果 ai*j*既是矩阵 A = aij mn ( ) 中的第 i *行的最小值。又是 A 中第 j *列的最大值，则 ai*j*是对 策的值，且（αi*，βj*）就是对策的解，其对策意义是：一个平衡局势（αi*，βj*）应具有这样的 性质，当局中人 I 选取了纯策略αi*后，局中人Ⅱ为了使其所失最小，只有选择纯策略βj*，否则就 可能丢的更多；反之，当局中人Ⅱ选取了纯策略βj*后，局中人 I 为了得到最大的赢得也只能选取纯 策略αi*。否则就会赢得更少，双方的竞争在局势（αi*，βj*）下达到了一个平衡状态。 例 5，设有矩阵对策 G={s1，s2；A}，其中 1 S ={α1，α2，α3，α4}， 2 S ={β1，β2，β3，β4}， 赢得矩阵为 β1 β2 β3 min aij α1 α2 α3 α4 -7 3 16 -3 1 2 -1 0 -8 4 -3 5 -8 2 -3 -3 max ij a 16 2 5
6565 A142-1 0262 解:直接在A提供的赢得表上计算,有 B, B2 B3 P4 min 42-1-1 5 于是max( mina)=min(maxa1)=a=5 其中i’=1,3 j=2,4 故(a1,β2),(aβ,(a3,β2),(a3,β)四个局势都是对策的解,且VG=5 由此例可知,一般矩阵对策的解可以是不唯一的,当解不唯一时,解之间的关系具有下面两条 性质: 性质1无差别性,即若(aa,βn)和(a,βg)是对策G的两个解,则(aa,βn)和 (a,βg)也是解。 性质2可交换性,即若(α,βn)和(a2,βg)是对策G的两个解,则(a,βg)和 a2,βn)也是解。 证明留给读者。这两条性质表明,矩阵对策的值是唯一的 证明留给读者,这两条性质表明,矩阵对策的值是唯一的 下面举一个实际应用的例子 例6.某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用煤的贮量问题,已知在正常的冬季气温条件要耗 煤15吨,在较暖与较冷的气温条件要消耗10吨和20吨,假定冬季时的煤价随天气寒冷程度而有所 变化,在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为10元、15元和20元,又设秋季时煤价为 每吨10元,在没有关于当年冬季准确的气象预报的条件下,秋季贮煤多少吨,能使单位的支出最少? 解:这一贮量问题,可以看成是一个对策问题,把采购员当作局中人,他有三个策略,在秋天 时买10吨、15吨与20吨,分别论为a1、a2、a3 把大自然看作局中人II(可以当作理智的局中人来处理),大自然(冬季气温)有三种策略 出现较暖的、正常的、与较冷的各季,分别记为B1、β2、B3 现在把该单位冬季取暖用煤实际费用(即秋季时的购煤费用与冬季不够时再补购的费用总和, 作为局中人I的赢得,赢得矩阵如下
7 6 5 6 5 A = 1 4 2 -1 8 5 7 5 0 2 6 2 解：直接在 A 提供的赢得表上计算，有 1 2 3 4 min 1 6 5 6 5 * 5 2 1 4 2 -1 -1 3 8 5 7 5 * 5 4 0 2 6 2 0 max 8 * 5 7 * 5 于是 max(minaij)=min(maxail)=ai*j*=5 I j j i 其中 i * =1，3 j * =2，4 故 (α1，β2)，(α1，β4)，(α3，β2)，(α3，β4)四个局势都是对策的解，且 VG =5 由此例可知，一般矩阵对策的解可以是不唯一的，当解不唯一时，解之间的关系具有下面两条 性质： 性质 1 无差别性，即若（αi1，βj1）和（αi2，βj2）是对策 G 的两个解，则（αi1，βj2）和 （αi2，βj2）也是解。 性质 2 可交换性，即若（αi1，βj1）和（αi2，βj2）是对策 G 的两个解，则（αi1，βj2）和 （αi2，βj1）也是解。 证明留给读者。这两条性质表明，矩阵对策的值是唯一的 证明留给读者，这两条性质表明，矩阵对策的值是唯一的 下面举一个实际应用的例子 例 6. 某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用煤的贮量问题，已知在正常的冬季气温条件要耗 煤 15 吨，在较暖与较冷的气温条件要消耗 10 吨和 20 吨，假定冬季时的煤价随天气寒冷程度而有所 变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为 10 元、15 元和 20 元，又设秋季时煤价为 每吨 10 元，在没有关于当年冬季准确的气象预报的条件下，秋季贮煤多少吨，能使单位的支出最少？ 解：这一贮量问题，可以看成是一个对策问题，把采购员当作局中人，他有三个策略，在秋天 时买 10 吨、15 吨与 20 吨，分别论为α1、α2、α3。 把大自然看作局中人 II（可以当作理智的局中人来处理），大自然（冬季气温）有三种策略， 出现较暖的、正常的、与较冷的各季，分别记为β1、β2、β3。 现在把该单位冬季取暖用煤实际费用（即秋季时的购煤费用与冬季不够时再补购的费用总和， 作为局中人 I 的赢得，赢得矩阵如下
B1(较暖)B2(正常)B3(较冷)min 175 300 a2(15顿)-150 a3(20顿)-200 200 200 max 200 max(min ai)=min(max a)=a33=-200 故对策解为(a3,β3),即秋季贮煤20吨合理,现在,我们会问,是否对于每一个决策G在纯 策略中都有解呢?上面所举的例3、4、5、6都是有解的,但也有在纯策略中没有解的对策,如例1 的“石头一剪子一布”对策,就没有解,因为从甲的贏得矩阵A中,我们可以算出。 mIn max max (mina;i)=-1+ min(maxair=l 所以“石头一剪子一布”游戏的对策问题中,在纯策略中无解 再如例2的,齐王赛马的对策。可以算出 B1 B2 B3 B4 Bs B min 1 3 max max(min a;i)=-1* min (max a;i )=3 故知在齐王赛马的对策中,双方都没有最优纯策略。 那么在纯策略意义下,没有解的对策问题,局中人又应如何选取策略参加对策呢?下讲我们来 解决这一问题。 第5、6讲 (二)矩阵对策的混合策略 由上节(讲)讨论可知,对矩阵对策G={s,s2;A}来说,局中人I有把握的至少赢得是
8 1 (较暖) 2 (正常) 3 (较冷) min 1 (10 顿) -100 -175 -300 -300 α2(15 顿) -150 -225 -225 -250 α3(20 顿) -200 -200 -200 -200 max -100 -150 -200 max(min aij) = min(max aij) = a33 = −200 i j j i 故对策解为（α3，β3），即秋季贮煤 20 吨合理，现在，我们会问，是否对于每一个决策 G 在纯 策略中都有解呢？上面所举的例 3、4、5、6 都是有解的，但也有在纯策略中没有解的对策，如例 1 的“石头—剪子—布”对策，就没有解，因为从甲的赢得矩阵 A 中，我们可以算出。 β1 β2 β3 min α1 0 1 -1 -1 α2 -1 0 1 -1 α3 1 -1 0 -1 max 1 1 1 max (minaij)= -1 min(maxaij)=1 i j j i 所以“石头—剪子—布”游戏的对策问题中，在纯策略中无解。 再如例 2 的，齐王赛马的对策。可以算出 β1 β2 β3 β4 β5 β6 min α1 3 1 1 1 1 -1 -1 α2 1 3 1 1 -1 1 -1 α3 1 -1 3 1 1 1 -1 α4 -1 1 1 3 1 1 -1 α5 1 1 -1 1 3 1 -1 α6 1 1 1 -1 1 3 -1 max 3 3 3 3 3 3 max(min aij)= -1 min (max aij)=3 i j j i 故知在齐王赛马的对策中，双方都没有最优纯策略。 那么在纯策略意义下，没有解的对策问题，局中人又应如何选取策略参加对策呢？下讲我们来 解决这一问题。 第 5、6 讲 (二)矩阵对策的混合策略 由上节(讲)讨论可知，对矩阵对策 G={s1，s2；A}来说，局中人 I 有把握的至少赢得是
=max (min a 局中人ⅠI有把握的至多损失是 V,=min( max ai j) 般,局中人I赢得不会多于局中人II的所失值,即总有V≤V2,当V1=V2时,矩阵对策G存在 纯策略意义下的解,且V=V1-V2。然而,一般情况不总是如此,实际中出现的复杂情况是V<V2,这 样根据定义1,对策不存在纯策略意义下的解,例1、2都是V<V2,这又会出现什么情况呢?下面来 看一个例子。 例7给定一个矩阵对策G={s1,s;A} 其中S1={a1,a2}S2={Bn,B2} A=54 V=max(min a= V2=min( max a)=5j÷1 V2=a21=5>4=a2=V1 于是,当双方各根据最不利情形中选最有利结果的原则,选择纯策略时,应分别选取a2和β1此 时局中人Ⅰ将赢得5,比预期赢得v1=4还多,原因就在于局中人II选择了β1,使他的对手多得了 原来不该得的赢得,故β1对局中人II来说并不是最优的,因而也会考虑B2,局中人I亦会采取相 应的办法,改出α以使贏得为6,而局中人II又可能仍取策略β1来对付局中人Ⅰ的策略α1,这样, 局中人I出a1或α2的可能性及局中人ⅡI出β1或β2的可能性都不能排除,对两个局中人来说,不 存在一个双方均可接受的平衡局势,或者说当v<v2时,矩阵对策G不存在纯策略意义下的解,在这 种情况下,一个比较自然且合乎实际的想法是:既然各局中人没有最优纯策略可出,是否可以给出 一个选取不同策略的概率分布,如在例7中,局中人I可以制定如下一种策略:分别以概率1/4和 3/4选取纯策略α1和α2,这种策略是局中人I的策略集{a1,a2}上的一个概率分布,称之为混合 策略,同样,局中人∏Ⅰ也可制定这样一种混合策略:分别以概率1/2,1/2选取纯策略β,βz下 面给出矩阵对策混合策略的严格定义: 定义3设有矩阵对策G={s,sa;A},其中S1={a,a2,…an},S2={B1,β2,…Ba},A (a;)m×n,则我们把纯策略集合对应的概率问量 ≥0i=1,2, ∑ j=1,2,…,n:∑y
9 V1 =max(min aij) i j 局中人 II 有把握的至多损失是 V2 =min( max aij) j i 一般，局中人 I 赢得不会多于局中人 II 的所失值，即总有 V1≤V2，当 V1=V2 时，矩阵对策 G 存在 纯策略意义下的解，且 VG =V1-V2。然而，一般情况不总是如此，实际中出现的复杂情况是 V1<V2，这 样根据定义 1，对策不存在纯策略意义下的解，例 1、2 都是 V1<V2，这又会出现什么情况呢？下面来 看一个例子。 例 7 给定一个矩阵对策 G={s1，s2；A} 其中 1 S ={α1，α2} 2 S ={β1，β2} 3 6 A＝ 5 4 V1 =max(min ij a )=4 i* =2 i j V2 =min(max ij a )=5 j* =1 j i V2 = 21 a =5>4= 22 a =V1 于是，当双方各根据最不利情形中选最有利结果的原则，选择纯策略时，应分别选取α2 和β1 此 时局中人 I 将赢得 5，比预期赢得 v1=4 还多，原因就在于局中人 II 选择了β1，使他的对手多得了 原来不该得的赢得，故β1 对局中人 II 来说并不是最优的，因而也会考虑β2，局中人 I 亦会采取相 应的办法，改出α1 以使赢得为 6，而局中人 II 又可能仍取策略β1 来对付局中人 I 的策略α1，这样， 局中人 I 出α1 或α2 的可能性及局中人 II 出β1 或β2 的可能性都不能排除，对两个局中人来说，不 存在一个双方均可接受的平衡局势，或者说当 v1<v2 时，矩阵对策 G 不存在纯策略意义下的解，在这 种情况下，一个比较自然且合乎实际的想法是：既然各局中人没有最优纯策略可出，是否可以给出 一个选取不同策略的概率分布，如在例 7 中，局中人 I 可以制定如下一种策略：分别以概率 1/4 和 3/4 选取纯策略α1 和α2，这种策略是局中人 I 的策略集{α1，α2}上的一个概率分布，称之为混合 策略，同样，局中人 II 也可制定这样一种混合策略：分别以概率 1/2,1/2 选取纯策略β1，β2，下 面给出矩阵对策混合策略的严格定义： 定义 3 设有矩阵对策 G = {s1，s2；A},其中 1 S ={α1，α2，…αn}， 2 S ={β1，β2，…βn}，A = （aij）m n，则我们把纯策略集合对应的概率问量 X = （x1,x2 ,…,xM） T xi≥0 i=1,2,…,m; = m i X i 1 与 Y = （y1,y2,…yn） T yj≥0 j=1,2,…,n; = n j Yj 1
分别称作局中人Ⅰ、II的混合策略。(x,y)称一个混合局势。 个混合策略X=(x1,x2…xn)可设想成两个当局人多次重复进行对策G时,局中人I分别 采取纯策略q1,a2…a,的频率。 纯策略也可以看成是混合策略的特殊情况。例如局中人取纯策略α,则对应于局中人Ⅰ的混合 策略为(0,…,1,0…0)所以有时把混合策略简称为策略,(只进行一次对策,混合对策x=(x,x )可设想成局中人I对各纯策略的偏爱程度)。 如果局中人I选取的策略为X=(X12X2,…,Xn)「局中人I选取的策略为 Y=(H1,2…Fn) 由于两个局中人分别选取纯策略α,β;的事这件可以看成是相互独立的(随机事件),所以局 势(α;,β)出现的概率是x;y,从而局中人I赢得an的概率是x,βj,于是数学期望。 E(XY=2∑aXy 就是局中人I的赢得值 记S={X=(x1,X2,…,Xm),x201=12…,m∑X=1 S={Y=(,2…yn),y≥0,j=12,…,n∑y=1 E=E(x,y)|X∈S,Y∈S2 则称G'={S},S2;E 为G的混合扩充 设两个局中人仍象前面一样地进行有理智的对策,当局中人Ⅰ采取混合策略X时。他只能希望 获得(最不利的情形) min E(x, y) 因此局中人应选取x∈S',使上式取极大值(最不利当中的最有利情形),即局中人I可保证取 赢利的期望值不少于 max( min E (x, y)) ∈ 同理,局中人Ⅱ可保证自己所失期望值至多是 V2=min(maxE(x, y)) y∈s2x∈s1 注意到上二式v1、V2表达式是有意义的,且是s、s上的连续函数,仍然有v≤v2事实上 it max(minE (x, y))=E(x, y) x∈sy∈s2 min maxE(x, y)=E(x, y)
10 分别称作局中人 I、II 的混合策略。（x,y）称一个混合局势。 一个混合策略 X = （x1，x2…xm） T 可设想成两个当局人多次重复进行对策 G 时，局中人 I 分别 采取纯策略α1，α2…αm 的频率。 纯策略也可以看成是混合策略的特殊情况。例如局中人取纯策略αi，则对应于局中人 I 的混合 策略为（0,…0, 1,0…0）T 所以有时把混合策略简称为策略,(只进行一次对策,混合对策 x=（x1,x2,… xm）T 可设想成局中人 I 对各纯策略的偏爱程度)。 如果局中人 I 选 取 的 策 略 为 ( , , , ) X = X1 X2 X m T 局中人 II 选 取 的 策 略 为 T Y Y Y Yn ( , , , ) = 1 2 由于两个局中人分别选取纯策略αi，βj 的事这件可以看成是相互独立的（随机事件），所以局 势（αi，βj）出现的概率是 xiyj，从而局中人 I 赢得 aij 的概率是 xi，βj，于是数学期望。 E （X,Y） j m i n j ij i a X y = = = 1 1 就是局中人 I 的赢得值 记 = = = = = m i i T m i S X X X X X i m X 1 1 2 * 1 ( , ,, ) , 0, 1,2,, ; 1 = = = = = n j j j T S Y Y Y Yn Y j n Y 1 1 2 * 2 ( , ,, ) , 0, 1,2,, ; 1 E = {E（x,y）|X∈ * 1 S ，Y∈ * 2 S } 则称 * G ={ * 1 S ， * 2 S ； E } 为 G 的混合扩充 设两个局中人仍象前面一样地进行有理智的对策，当局中人 I 采取混合策略 X 时。他只能希望 获得（最不利的情形）。 min E (x,y) 因此局中人应选取 x∈S1 * ,使上式取极大值（最不利当中的最有利情形），即局中人 I 可保证取 赢利的期望值不少于 V1 = max ( min E (x,y) ) y∈s2 * x∈s1 * 同理，局中人Ⅱ可保证自己所失期望值至多是 V2 = min (maxE(x,y)) y∈s2 * x∈s1 * 注意到上二式 v1、v2 表达式是有意义的，且是 s1 *、s2 *上的连续函数，仍然有 v1≤v2 事实上 设 max(minE (x,y))= E (x,y* ) x∈s1 * y∈s2 * min max E (x,y)= E (x* ,y)