学习资料 新教科书的3.2部分 32A的零空间:求解AX=0 这部分是关于AX=0的解空间的问题題。A是方阵或一般的矩阵。显然 X=0是它的解。若A是可逆阵,则X=0是唯一解。若A不可逆,则 AX=0有非零解。每个解X都属于A的零空间.下面我们要找出所有的这些 解,弄清这个重要的子空间 定义:A的零空间是由AX=0的所有的解向量枸成的线性空间。记为 N(4) 验证所有的解向量构成一个子空间。任取解向量X,Y∈N(A)即AX= 0,AY=0.由矩阵乘法有A(X+Y)=0+0=0,A(cX)=cAX=c0=0.因此 X+Y,cX∈N(A)故N(A)为子空间 强调一点:解向量有n个分量。这些解向量X都是R中的向量.故N(A)是 F的子空间。列空间C(A)也是R的子空间 若AX=b,b≠0,则AX=b的解不构成一个子空间。只有b=0时向量 ⅹ=0才是方程的解,而当解集合中不包含X=0时,解集合不构成子空间 3.4节将说明AX=b的解的结构 例1:x+2y+3z=0,即AX=0,其中A=123,X=y Aⅹ=0的解空间是过原点的一个平面。这个平面就是A的零空间。方程x+ 2y+3z=6的解向量也构成一个平面,但不是一个子空间 例2:描述A= 36的零化空间 解:对于AX=0,用消元法
✁ ✂✄ ☎✝✆✝✞✝✟✝✠ 3.2 ✡✝☛ 3.2 A ✠✝☞✍✌✝✎✑✏✓✒✝✔ AX = 0 ✕ ✡✖☛✘✗✚✙✜✛ AX = 0 ✠✘✔✚✌✘✎✜✠✚✢✜✣✘✤ A ✗✘✥✚✦✜✧✘★✘✩✠✘✪ ✦ ✤✓✫✭✬ X = 0 ✗✭✮ ✠✭✔✭✤✓✯ A ✗✭✰✭✱✲✦✴✳✓✵ X = 0 ✗✭✶✭★✔✭✤✓✯ A ✷✸✰✭✱✭✳✓✵ AX = 0 ✹✸✺☞✝✔✝✤✼✻✝✽✝✔ X ✾✝✿✝✛ A ✠✝☞✍✌✝✎✑✤✼❀✍❁✑❂✝❃✝❄✝❅✍❆✑❇✹ ✠✕✝❈ ✔ ✳✓❉✝❊✕✽✝❋✝❄✝✠✝●✍✌✝✎✑✤ ❍✘■✏ A ✠✘☞✚✌✘✎ ✗✚❏ AX = 0 ✠✘❇✹ ✠✘✔✚❑✜▲✘▼✘◆✘✠✘❖✘P✚✌✘✎✜✤❘◗✘❙ N(A) ✤ ❚✘❯❇ ✹ ✠✘✔✚❑✜▲✘▼✘◆★✽✭●✚✌✭✎✜✤❘❱✘❲✭✔✚❑✴▲ X, Y ∈ N(A) ❳ AX = 0, AY = 0 ✤ ❏ ✪ ✦✜❨✘❩✘✹ A(X + Y )=0+0=0,A(cX)=c·AX=c·0=0 ✤✸❬✜❭ X + Y ,cX ∈ N(A) ❪ N(A) ❙✝●✍✌✝✎✑✤ ❫✝❴ ★✝❵✏❛✔✍❑✑▲✹ n ✽ ☛ ▲✝✤ ✕✝❈✔✍❑✑▲ X ✾✝✗ Rn ❜ ✠✍❑✑▲✝✤ ❪ N(A) ✗ Rn ✠✝●✍✌✝✎✑✤✓❝✍✌✝✎ C(A) ❞✝✗ Rn ✠✝●✍✌✝✎✑✤ ✯ AX = b, b 6= 0 ✳❛✵ AX = b ✠✝✔✷▼✝◆★✽✝●✍✌✝✎✑✤❢❡ ✹ b = 0 ❣ ❑✑▲ X = 0 ❤✑✗✝✥✝✐✠✝✔✳✴❥✍❦ ✔✝❧✝♠ ❜ ✷✍♥✑♦ X = 0 ❣✝✳ ✔✓❧✝♠✷▼✝◆✝●✍✌✝✎✑✤ 3.4 ♣✑q✝r✍s AX = b ✠✝✔✝✠✝t✝▼✝✤ ✉ 1 ✏ x+2y+3z = 0 ✳✈❳ AX = 0 ✳①✇ ❜ A= h 1 2 3 i ✳ X = x y z ✤ AX = 0 ✠✝✔✍✌✝✎ ✗✝②✝③✝❵✠ ★✽✝④✍❁✑✤ ✕✽✝④✍❁✑⑤✗ A ✠✝☞✍✌✝✎✑✤ ✥✝✐ x + 2y + 3z = 6 ✠✝✔✍❑✑▲❞ ▼✝◆★✽✝④✍❁ ✳✓⑥✝✷✝✗✝★✽✝●✍✌✝✎✑✤ ✉ 2 ✏✓⑦✝⑧ A = " 1 2 3 6 # ✠✝☞✝⑨✍✌✝✎✑✤ ✔✝✏✓⑩✛ AX = 0 ✳✓❶✍❷✑❸✝❩ 1
+2x2=0 x1+2r2=0 1+6x2=0 事实上,只有一个方程。这是因为笫二个方程相当于笫一个方程的两边同乘以 3。故x1+2x2=0与3x1+6r2=0是相同的。直线x1+2x2=0即为 描述解的直线的一种有效的方法是給岀直线上一点,即一个特解。直线上所 有的点都可以用这一特解的倍数来表示。我们设x2=1,从x1+2x2=0知 x2=-2。则特解(-2,1)生成零空间N(4) (A)={cslc∈R,s 通过AX=0的特解得到N(A)。这是描述N(A)的一种最好的方法。N(A) 是这些特解的所有的线性鉏合。这个例子中,我们只有一个特解,所以得到的零 空间是一条直线 对于例1中的平面,我们有2个特解:1=1,2=0它们在 A=123的零空间x+2y+3z=0上。这个平面上的所有向量均为 s1,s2的线性组合 注意这个例子中的特解81,82的特别之处:首先,它们的后两个分量中都含 有1,0。这些分量是自由的。我们可以给它们以特殊的值。而第一个分量-2, 3则是由AX=0决定的 23的第一列含有主元1,故X的第一个分量不是自由的 我们只需对没有主元的那些列所对应的自由分量給以特定的值0,1。通过下 面的几个例子,我们会清楚的看到这种用特解来描述零空间的完美性。 例3.描述以下3个矩阵的零空间。 A 1224 解:AX=0只有零解X=0。零空间N(A)=Z只有一个零向量X=0
" x1 + 2x2 = 0 3x1 + 6x2 = 0 # → " x1 + 2x2 = 0 0 = 0 # ❹✲❺✴❻✳ ❡ ✹✭★✽ ✥✭✐✤ ✕ ✗ ❬✴❙✲❼✴❽✭✽✥✭✐✭❾✲❦✴✛ ❼ ★✽ ✥✭✐✠✭❿✭➀✲➁ ❨✲➂ 3 ✤ ❪ x1 + 2x2 = 0 ➃ 3x1 + 6x2 = 0 ✗✘❾ ➁✜✠✘✤✓➄✘❖ x1 + 2x2 = 0 ❳ ❙ N(A) ✤ ⑦✝⑧✝✔✝✠✝➄✝❖✝✠ ★✝➅✝✹✝➆✠✥✝❩✝✗✝➇ ❆✑➄✝❖✝❻★✝❵✝✳✸❳✑★✽✝➈✝✔✝✤✓➄✝❖✝❻✝❇ ✹ ✠ ❵✘✾✘✰✚➂✜❶ ✕ ★➈✘✔✘✠✘➉✘➊✘➋✘➌✘➍✘✤✓❂✓❃✘➎ x2 = 1 ✳✓➏ x1 + 2x2 = 0 ➐ x2 = −2 ✤ ✵➈✝✔ (−2, 1) ➑ ◆✝☞✍✌✝✎ N(A) ✏ N(A) ={c · s | c ∈ R, s = " −2 1 # } ✤ ➒② AX=0 ✠➓➈➓✔➓➔➓→ N(A) ✤ ✕ ✗ ⑦➓⑧ N(A) ✠★➓➅➓➣➓↔✠✥➓❩✤ N(A) ✗✕✝❈➈✝✔✝✠✝❇✹ ✠✝❖✝P✝↕✝♠✝✤ ✕✽✉● ❜ ✳ ❂✝❃✍❡ ✹✝★✽✝➈✝✔✳ ❇ ➂➔✝→✝✠✝☞ ✌✝✎ ✗✝★✝➙ ➄✝❖✝✤ ⑩ ✛✉ 1 ❜ ✠✝④✍❁ ✳ ❂✝❃✹ 2 ✽✝➈✝✔✝✏ s1= −2 1 0 ✳ s2= −3 0 1 ✮ ❃✝➛ A = h 1 2 3 i ✠✘☞✚✌✘✎ x + 2y + 3z = 0 ❻✘✤ ✕✽✘④✚❁✜❻✘✠✘❇✹ ❑✜▲✘➜✘❙ s1, s2 ✠✝❖✝P✝↕✝♠✝✤ ➝✝➞✝✕✽✉● ❜ ✠✝➈✝✔ s1, s2 ✠✝➈✝➟✝➠✝➡✝✏✓➢✝➤✳✓✮ ❃✝✠✝➥✝❿✝✽☛ ▲ ❜ ✾✝♦ ✹ 1 ✳ 0 ✤ ✕➓❈☛ ▲✗➧➦✼❏ ✠➓✤➨❂➓❃✰➩➂➫➇➓✮❃ ➂➈➓➭➓✠➓➯✝✤ ❥ ❼ ★✽ ☛ ▲ −2 ✳ −3 ✵✝✗✍❏ AX = 0 ➲ ❍✠✝✤ A = h 1 2 3 i ✠✍❼ ★ ❝♦✝✹✝➳✝❸ 1 ✳✓❪ X ✠✍❼ ★✽ ☛ ▲ ✷✘✗➵➦✑❏ ✠ ✳ ❂✝❃✍❡✑➸✝⑩✝➺✹✝➳✝❸✠✝➻❈❝✘❇✝⑩✘➼✝✠ ➦✑❏✜☛▲➇✍➂➈❍✠✘➯ 0 ✳ 1 ✤ ➒② ❀ ❁✑✠✝➽✝✽✉● ✳ ❂✝❃✝➾❊✍➚ ✠✝➪✝→ ✕ ➅✝❶ ➈✝✔✝➋✝⑦✝⑧✝☞✍✌✝✎✑✠✍➶✑➹✝P✝✤ ✉ 3. ⑦✝⑧ ➂❀ 3 ✽✝✪ ✦✠✝☞✍✌✝✎✑✤ A = " 1 2 3 8 # ✳ B = " A 2A # = 1 2 3 8 2 4 6 16 ✳ C = h A 2A i = " 1 2 2 4 3 8 6 16 # ✔➓✏ AX = 0 ❡ ✹ ☞➓✔ X=0 ✤➘☞➩✌➓✎ N(A) = Z ❡ ✹➓★✽➓☞➩❑➫▲ X=0 ✤ 2
由消元法 0 12|x1 0 38x2 0 0 由于方阵A是可逆的,故没有其它解。N(A)只含有X=0 对于矩阵 BX=0中的前2个方程要求X=0,后2 个方程也要求X=0。当我们再添加一些方程时,零空间是不会变大的。当我 们給矩阵B添加一行时,在零空间中我们将对X添加新的限制条件 对于矩阵C就不同了。它是在A上添加了几列,而不是几行。解向量X有 4个分量。消元法使得前两列中产生主元,而后两个非主元列是自由的 1224 U=1224 0204 主元列自由列 对于自由变量x3,x4,我们可以给特定的值0,1。而非自由变量x1,x2则 UX=0给出。这样就可以得到N(C)(N(U)的两个特解 PLoo 0 variables 特解是81= 和s2= 0 下面有更多讨论。继续应用消元法。对上三角阵,我们将从两方面继续化简 这个矩阵, 应用向上消元法,将主元上面的元素化为0 2.用整行除以它的主元,将主元化为1 以上的这些变换不会改变方程右端的零向量。零空间仍然不变。当我们用上 面的变换得到R时,零空问将很容易看出:
❏✝❷✑❸✝❩ " 1 2 3 8 # " x1 x2 # = " 0 0 # −→ " 1 2 0 2 # " x1 x2 # = " 0 0 # ➔ " x1 = 0 x2 = 0 # ✤ ❏✑✛✝✥✍✦ A ✗✝✰✝✱✠ ✳✓❪➺ ✹✝✇✝✮✔✝✤ N(A) ❡ ♦✝✹ X = 0 ✤ ⑩ ✛✪ ✦ B ✳ N(B) = Z ✤ BX = 0 ❜ ✠✝➴ 2 ✽ ✥✝✐❄✝✒ X = 0 ✳ ➥ 2 ✽ ✥✝✐✝❞❄✝✒ X = 0 ✤ ❦ ❂✝❃✝➷✝➬✝➮★❈ ✥✝✐✓❣✖✳ ☞✍✌✝✎ ✗✝✷➾✝➱✘✃✝✠✘✤ ❦ ❂ ❃➇ ✪ ✦ B ➬✝➮★✝❐✝❣✝✳ ➛✝☞✍✌✝✎ ❜ ❂✝❃q ⑩ X ➬✝➮✝☎✝✠✝❒✝❮ ➙✝❰✤ ⑩ ✛✪ ✦ C ⑤ ✷ ➁✍ÏÐ✤ ✮✝✗➛ A ❻✝➬✝➮➵ÏÐ➽✝❝✳Ñ❥✝✷✝✗➽❐ ✤Ñ✔✍❑✑▲ X ✹ 4 ✽ ☛ ▲✝✤ ❷✑❸✝❩✝Ò➔✓➴✝❿✝❝ ❜✑Ó ➑✝➳✝❸✝✳✓❥ ➥✝❿✝✽ ✺✑➳✝❸❝✗➵➦✑❏ ✠ C = " 1 2 2 4 3 8 6 16 # −→ U=" 1 2 2 4 0 2 0 4 # ↑ ↑ ↑ ↑ ➳✝❸❝ ➦✑❏ ❝ ⑩ ✛➧➦➫❏ ➱➓▲ x3, x4 ✳ ❂➓❃✰➩➂➫➇➈❍✠➓➯ 0 ✳ 1 ✤ ❥➩✺➩➦➫❏ ➱➓▲ x1, x2 ✵ ❏ UX = 0 ➇ ❆✑✤ ✕✝Ô⑤ ✰✍➂➔✝→ N(C)(N(U)) ✠✓❿✝✽✝➈✝✔✝✤ ➈✝✔✗ s1= −2 0 1 0 Õ s2 = 0 −2 0 1 ← pivot ← variables ← free ← variables ❀✍❁ ✹✝Ö✍×✑Ø✝Ù✤✓Ú✝Û✝➼❶✍❷✑❸✝❩✤✓⑩✝❻✝Ü✍Ý ✦✑✳ ❂✝❃q✝➏❿✥ ❁✑Ú✘Û✝⑨✍Þ ✕✽✝✪ ✦ ✤ 1. ➼ ❶ ❑✑❻ ❷✑❸✝❩✝✳✓q✝➳✝❸❻✍❁✑✠ ❸✝ß ⑨✝❙ 0 ✤ 2. ❶✍à✑❐✝á✍➂✑✮ ✠ ➳✝❸✝✳✓q✝➳✝❸⑨✝❙ 1 ✤ ➂❻✝✠✕✝❈➱✝â✷➾✝ã✝➱✥✝✐✝ä✝å✠✝☞✍❑✑▲✝✤✓☞✍✌✝✎✑æ✝✬✷ ➱✝✤ ❦ ❂✝❃❶ ❻ ❁✑✠✝➱✝â✝➔✝→ R ❣✝✳ ☞✍✌✝✎ q✝ç✝è✍é ➪✍❆✑✏ 3
1224 1020 R 010 第1行减去第2行做为新的第1行,第2行乘以1/2做为新的第2行,即 得R。最初的两个方程可以化简为x1+2x3=0,x2+24=0。它们恰好是 方程RX=0。其中R的主元列是恒等矩阵。特解仍然是s1,s2。这从RX=0 中更容易看出 在讨论m×η矩阵A,N(A),及N(A)中的特解之前,先强调一点:对 于许多矩阵来说,AX=0的解只有X=0它们的零空间只含有一个向量,即 零向量。生成b=0的列的组合是“零组合”或“平凡纽合”,其解是平凡的即 X=0,但其思想却是不平凡的 种平凡零空间Z的情形是很重要的,这说明A的列向量是线性无关的, 除了零组合以外,再没有哪个列向量的线性合可以给出零向量。从而所有的列 都是主元列,没有一列是自由的。以后你会再次看到这种无关性思想 用消元法解方程AX=0 这是很重要的。我们解有n个未知量的m个方程。用消元法,方程的右边都 是0,通过行变换,左边可以得到简化,随后我们会得到方程的解。请记住解方 程的两个步骤1.向前消无法,使得A变为上三角阵U(或是它的简化形式B) 2.向后代换法,解UX=0或RX=0 你会注意到当A和U的主元个数≤n时向后代换法的一点不同。在本章中 我们是对所有的矩阵来讨论的,而不仅仅是可逆方阵 主元是非零的。主元以下的元素都是0。但可能会出现某一列没有主元。在 这种情形下,不要停止,请继续下一列。请看下面的例子,第一个例子是3×4 矩阵 A=22810 331013 显然 是第一个主元。消去主元下面的 1123 A→0044 0044 第2列主元位置上是0,我们从0的下面找出一个非零的元素,然后进行行 互换,因为这个0元素下面的元素也是0 第2列消元法不起作用;这从
U = " 1 2 2 4 0 2 0 4 # −→ R = " 1 0 2 0 0 1 0 2 # ❼ 1 ❐✝ê✝ë ❼ 2 ❐✝ì❙✝☎✝✠✍❼ 1 ❐✝✳ ❼ 2 ❐✝❨✍➂ 1/2 ì ❙✝☎✝✠✍❼ 2 ❐✝✳✸❳ ➔ R ✤ ➣✝í✠✝❿✝✽✥✝✐✝✰✍➂⑨✍Þ✑❙ x1 + 2x3 = 0, x2 + 2x4 = 0 ✤ ✮ ❃✝î↔✝✗ ✥✝✐ RX = 0 ✤ ✇ ❜ R ✠ ➳✝❸❝✗✝ï✝ð✪ ✦ ✤✼➈✝✔✝æ✝✬✗ s1, s2 ✤ ✕ ➏ RX=0 ❜ Ö✝è✍é ➪✍❆✑✤ ➛Ø✝Ù m × n ✪ ✦ A ✳ N(A) ✳✑ñ N(A) ❜ ✠✝➈✝✔✝➠✝➴✳ ➤❫✝❴ ★✝❵✏✑⑩ ✛✝ò✍× ✪ ✦➋r✝✳ AX = 0 ✠✝✔✍❡ ✹ X = 0 ✮❃✝✠✝☞✍✌✝✎✝❡ ♦✝✹✝★✽✍❑✑▲✳➓❳ ☞✍❑✑▲✝✤ ➑ ◆ b = 0 ✠✝❝✝✠✝↕✝♠✗ôó☞✝↕✝♠✝õ ✧ôó④✝ö✝↕✝♠✘õ ✳✓✇✔ ✗ ④✝ö✘✠ ❳ X = 0 ✳✓⑥✓✇✝÷✝ø✝ù✝✗✝✷ ④✝ö✝✠✝✤ ✕ ➅ ④✝ö✝☞✍✌✝✎ Z ✠✝ú✝û✗✝ç❋✝❄✝✠ ✳ ✕ r✍s A ✠✝❝✍❑✑▲✗ ❖✝P✝ü ✙✠ ✳ á ÏÐ☞✝↕✝♠ ➂✑ý✝✳ ➷✝➺✹✝þ✽✝❝✍❑✑▲✝✠✝❖✝P✓↕✝♠✰✍➂✑➇ ❆✑☞✍❑✑▲✝✤ ➏✝❥ ❇ ✹ ✠✝❝ ✾✝✗✝➳✝❸❝ ✳ ➺ ✹✝★❝✗➵➦✑❏ ✠✝✤ ➂➥✝ÿ✝➾✝➷✁✝➪✝→ ✕ ➅ü ✙P ÷✝ø · · · ❶➩❷➫❸➓❩✔ ✥➓✐ AX = 0 ✕ ✗➓ç❋➓❄➓✠➓✤➘❂➓❃➓✔✹ n ✽✄✂➐ ▲➓✠ m ✽ ✥➓✐✤ ❶➩❷➫❸➓❩➓✳➘✥➓✐✠ ä➀ ✾ ✗ 0 ✳ ➒②✝❐➱✝â✳✆☎➀ ✰✍➂➔✝→✍Þ✑⑨✳✆✝➥✝❂✝❃✝➾✝➔✝→ ✥✝✐✠✝✔✝✤✆✞✝◗✁✟✝✔✥ ✐ ✠✝❿✝✽✡✠☞☛ 1. ❑✑➴ ❷✑❸✝❩✝✳➫Ò➔ A ➱✝❙✝❻✝Ü✍Ý ✦ U ✌ ✧✝✗✝✮ ✠✍Þ✑⑨✝û✁✍ R) 2. ❑✑➥✁✎✝â❩✝✳ ✔ UX = 0 ✧ RX = 0 ÿ✝➾➝✝➞→ ❦ A Õ U ✠ ➳✝❸✽✝➊ ≤ n ❣ ❑✑➥✁✎✝â❩ ✠ ★✝❵✝✷ ➁✑✤ ➛✁✏✁✑ ❜ ❂✝❃✗ ⑩✝❇✹ ✠✝✪ ✦➋Ø✝Ù✠ ✳✓❥✝✷✁✒✁✒✝✗✝✰✝✱✝✥✍✦✤ ➳✝❸✝✗✍✺☞✝✠✝✤ ➳✝❸✍➂❀✝✠ ❸✝ß✝✾✝✗ 0 ✤ ⑥✝✰✁✓➾✍❆☞✔✡✕★ ❝✝➺✹✝➳✝❸✤✜➛ ✕ ➅ ú✝û✝❀✳✓✷❄✁✖✁✗✳ ✞✝Ú✝Û✓❀★ ❝✝✤✘✞✝➪✘❀✍❁✜✠ ✉● ✳ ❼ ★✽✉●✗ 3 × 4 ✪ ✦ A= 1 1 2 3 2 2 8 10 3 3 10 13 ✫✝✬ a11 = 1 ✗ ❼ ★✽ ➳✝❸✤ ❷✑ë✝➳✝❸❀✍❁✑✠ 2 ✳ 3 A → 1 1 2 3 0 0 4 4 0 0 4 4 ❼ 2 ❝➳✝❸✁✙✁✚❻ ✗ 0 ✳ ❂✝❃➏ 0 ✠✝❀✍❁✑❅✍❆ ★✽ ✺☞✝✠ ❸✝ß✝✳ ✬✝➥✁✛❐✝❐ ✜â ✳ ❬✑❙ ✕✽ 0 ❸✝ß ❀✍❁✑✠ ❸✝ß✝❞✝✗ 0 ✳ ❇ ➂ ❼ 2 ❝ ❷✑❸✝❩✝✷✁✢✁✣✝❶✁✤ ✕ ➏ 4
记号上看有点麻烦,因为我们希望得到的是一个矩形矩阵 接下来看第3列,第2个主元是4(但它在第3列),从第3行中减去第2 行中的元素,使得主元以下元素均为0,得到 1123 U=0044(只有2个主元)(最后一个方程变为0=0 0000 第4列主元位置上也是零,但在它下面没有别的行可以互换,因此向前消元 法结来。这个矩阵有3行4列,但只有两个主元.原方程AX=0看起来含有 3个不同的方程,但笫三个方程是前两个的和,当前两个方程满足时,它是自动 满足的(0=0).消无法揭示了方程纽的一个内在本质 现在用向后代换法来求UX=0的所有解.对有4个未知量,2个主元的 方程是有许多解的。问題是如何把它们全部写出来。一个很妤的方法是把主元变 量与自由变量分开 P.主元变量是x1和x3,这是因为1,3列含有主元; F.自由变量是x2和x4,这是因为2,4列不含主元 自由变量m2和4可以任意取值。向后代换法可以找到主元变量x1和x3(在 笫2章的例子中没有一个变量是自由的.当A可逆时所有的变量都是主无变量) 对于自由变量最简单的选择是0和1。这样就给出了特解 特解 令x2=1,x4=0,通过向后代换法知3=0.,x1=-1; 令r2=0,4=1,通过向后代换法知x3=-1, 这些即是UX=0的特解,因此也AX=0的特解。它们在零空间中,且每 一个解都是它们的线性组合 2-x4 通解为X=x2 0 特解 特解 请再看这个答案,这是本章的主要结果。向量s1=「-11001是令
◗✁✥✝❻✝➪✹✝❵✁✦✁✧✝✳ ❬✑❙✝❂✝❃✁★✡✩✑➔✝→✝✠ ✗✝★✽✝✪✝û✝✪ ✦ ✤ ✪❀✘➋✘➪✚❼ 3 ❝ ✳ ❼ 2 ✽ ➳✘❸✘✗ 4(⑥✘✮ ➛✚❼ 3 ❝ ) ✳✓➏ ❼ 3 ❐ ❜ ê✘ë ❼ 2 ❐ ❜ ✠ ❸✝ß✝✳✓Ò➔ ➳✝❸✍➂❀❸✝ß ➜✝❙ 0 ✳ ➔✝→✝✏ U = 1 1 2 3 0 0 4 4 0 0 0 0 (❡ ✹ 2 ✽ ➳✝❸)(➣ ➥ ★✽ ✥✝✐➱✝❙ 0=0) ✤ ❼ 4 ❝➳✝❸✁✙✁✚❻❞✝✗☞ ✳➫⑥➛ ✮ ❀✍❁✑➺✹ ➟✝✠❐✝✰✍➂✜â ✳ ❬✑❭✍❑✑➴ ❷✑❸ ❩ t✁✫✝✤ ✕✽✝✪ ✦✑✹ 3 ❐ 4 ❝ ✳✓⑥ ❡ ✹ ❿✝✽➳✝❸✤ ③✝✥✝✐ AX = 0 ➪✢ ➋♦✝✹ 3 ✽ ✷ ➁✑✠ ✥✝✐✝✳➫⑥ ❼✑Ü✝✽✥✝✐✝✗➴✝❿✝✽✝✠ Õ✳➓❦ ➴✝❿✝✽✥✝✐✁✬✁✭✝❣✝✳➫✮✝✗➵➦✯✮ ✬✁✭✠ (0=0) ✤ ❷✑❸✝❩✁✰➍➵Ï ✥✝✐↕✝✠ ★✽✡✱✑➛✁✏✁✲✝✤ ✔✝➛❶ ❑✑➥✁✎✝â❩ ➋✝✒ UX = 0 ✠✝❇✹✔✝✤✓⑩✹ 4 ✽✁✂➐ ▲ ✳ 2 ✽ ➳✝❸✠ ✥✝✐✝✗✝✹✝ò✍× ✔✝✠✝✤✑✢✑✣✗✁✳✁✴✁✵✝✮ ❃✁✶✡✡✷ ❆✑➋✝✤ ★✽ ç✝↔✠✥✝❩➓✗✁✵✝➳➓❸➱ ▲ ➃➵➦✑❏ ➱✝▲☛✁✸✤ P. ➳✝❸➱✝▲✗ x1 Õ x3 ✳ ✕ ✗ ❬✑❙ 1 ✳ 3 ❝♦✝✹✝➳✝❸✁✤ F. ➦✑❏ ➱✝▲✗ x2 Õ x4 ✳ ✕ ✗ ❬✑❙ 2 ✳ 4 ❝ ✷✝♦✝➳✝❸✤ ➦➫❏ ➱➓▲ x2 Õ x4 ✰➩➂❱➞❲➓➯➓✤ ❑➫➥✄✎➓â❩➓✰➩➂❅➓→ ➳➓❸➱➓▲ x1 Õ x3(➛ ❼ 2 ✑➓✠✉● ❜ ➺ ✹➓★✽➓➱➓▲✗➵➦➫❏ ✠✝✤ ❦ A ✰➓✱➓❣❇ ✹ ✠➓➱➓▲✾➓✗➓➳✝❸➱✝▲) ⑩ ✛➵➦✑❏ ➱✝▲➣ Þ☞✹✝✠✁✺✁✻✗ 0 Õ 1 ✤ ✕✝Ô⑤ ➇ ❆✍ÏÐ➈✝✔✝✤ ➈✝✔ −. ✼ x2=1 ✳ x4=0 ✳ ➒② ❑✑➥✁✎✝â❩✝➐ x3 = 0, x1 = −1 ✤ −. ✼ x2=0 ✳ x4=1 ✳ ➒② ❑✑➥✁✎✝â❩✝➐ x3 = −1, x1 = −1 ✤ ✕✝❈ ❳✑✗ UX = 0 ✠✝➈✝✔✳ ❬✑❭❞ AX = 0 ✠✝➈✝✔✝✤ ✮ ❃✝➛✝☞✍✌✝✎ ❜ ✳✯✽✻ ★✽✝✔✾✝✗✝✮ ❃✝✠✝❖✝P✝↕✝♠✝✤ ➒✔✝❙ X = x2 −1 1 0 0 + x4 −1 0 −1 1 = −x2 − x4 x2 −x4 x4 (1) ➈✝✔ ➈✝✔ ➒✔ ✞✘➷✘➪✕✽✿✾✿❀✳ ✕ ✗✏✿✑✘✠ ➳❄✘t✿❁✘✤✸❑✜▲ s1 = h −1 1 0 0 i ✗✿✼ 5