术语表:线性代数字典 图的邻接矩阵:满足下面条件的方阵A=(ai),在图中当从第i个节点到第 个节点闻有一条边相连时,a=1;否则叫=0对于一个无向图有A=A 仿射变换:T(v)=Av+vo=线性变换十平移 结合律:(AB)C=A(BC)。即括号可以去掉:ABC=(AB)C=A(BC) 增广矩阵:方程Ax=b的增广矩阵为[Ab]。当b在A的列向量空间中时 方程Ax=b是可解的且[Ab]与A有相同的秩。在[Ab]上消无法保持方程 的解不变 向后代换:将可解的上三角形方程组按πn到x1的顺序求解的方法 V的基:V中一组极大线性无关的向量ⅴ1,V2,…,Va。V中任意向量ⅴ 可表示为这组向量的线性组合形式。一个向量空间可有很多组基 阶行列式的主公式:De(A4)是m!项的和,每项都是a1a…amx(det(P)= ±1)的形式,其中P是一个列置换矩阵(detP=±1)。每一项乘积中任意两 个乘数都不在同一列中 分块矩阵:将一个矩阵按行、列进行分成若干个小矩阵,把每一个小矩阵都当作 数来处理,这样的矩阵称为分块矩阵。分块矩阵AB的乘法:如杲矩阵A的列 的分法与B的行的分法一致,则分块矩阵AB的乘法可按矩阵相乘,记为AB Cayley- Hamilton定理:p(从)=det(A-M)有p(A)=CAc>XUs 基变换短阵M:原来的基向量v是新的基向量w;的线性组合Σm;w形式。 cv1+c2v2+…cnⅤn=d1w1+dw2+…dnWn的坐标是由d=Mc所给 出。(对于n=2时,令V1=m11w1+m21w2,v2=m12w1+m2Ww2)
✁✂✄ ☎✆✝✞✟ ✠ ✡☞☛✍✌✍✎✍✏✒✑ ✓✕✔✍✖✍✗✒✘☞✙✍✚✍☛✍✛✒✑ A = (aij ) ✜✕✢ ✡✍✣✍✤☞✥✒✦ i ✧✒★☞✩✍✪ ✦ j ✧✫★✬✩✫✭✬✮✰✯✙✰✱✰✲✰✳✵✴✜ aij = 1; ✶✰✷ aij = 0 ✸✺✹✰✻✰✯✰✧✰✼✫✽ ✡ ✮ A = AT ✸ ✾✍✿✍❀✍❁ ✓ T(v) = Av + v0 = ❂✍❃❀✍❁ + ❄✍❅✍✸ ❆✍❇✍❈ ✓ (AB)C = A(BC) ✸❊❉●❋✵❍✵■❑❏●▲✵▼✓ ABC = (AB)C = A(BC) ✸ ◆✒❖ ✏✒✑ ✓P✛✍◗ Ax = b ☛◆✒❖ ✏✒✑☞❘ [A b] ✸ ✤ b ✢ A ☛✍❙ ✽☞❚✒❯✍✭ ✣☞✴✜ ✛✍◗ Ax = b ❱❲■✍❳☛✍❨ [A b] ❩ A ✮ ✲✒❬☞☛✍❭✸❲✢ [A b] ❪✒❫☞❴✍❵✍❛✍❜✛✍◗ ☛❳✍❝ ❀ ✸ ✽☞❞✍❡❁ ✓❲❢ ■✍❳☛❪✍❣✒❤☞✐✛✍◗✍❥✍❦ xn ✪ x1 ☛✍❧✍♠✍♥❳ ☛✍✛❵✍✸ V ☛✍♦ ✓ V ✣ ✯❥✍♣✍q❂✍❃✍✼✒r☛ ✽☞❚ v1, v2, · · · , vd ✸ V ✣☞s✍t ✽☞❚ v ✉ ■✍✈❲✇❘✍①✍❥ ✽☞❚☛ ❂✍❃❥✍❇✐✍②✍✸❲✯✍✧✒✽☞❚✒❯✍✭☞■✍✮✍③✒④ ❥✍♦✸ n ⑤✍⑥❙ ② ☛✍⑦✍⑧② ✓ Det(A) ❱ n! ⑨ ☛✵⑩✸❷❶✵⑨✵✉✵❱ a1α · · · anω ×(det(P) = ±1) ☛ ✐✍②✍✜❲❸ ✣ P ❱✍✯✍✧❙✍❹✍❁❺✏✒✑ (det P = ±1) ✸❲❶✍✯✍⑨✍❻✍❼ ✣☞s✍t✍❽ ✧✍❻✍❾✍✉✍❝✍✢ ❬ ✯ ❙✒✣ ✸ ❿✍➀✏✒✑ ✓➁❢ ✯✵✧✏❑✑●❦⑥✵➂ ❙✵➃⑥❿✍➄✵➅✍➆✧✵➇✏✒✑✜➁➈✍❶✍✯✵✧✍➇✏❑✑✉ ✤☞➉ ❾✵➊✵➋✵➌✵✜ ①✵➍✵☛✵✏❑✑●➎✍❘❿✍➀✏✒✑✸ ❿✍➀✏✒✑ AB ☛❻✍❵ ✓➐➏✵➑✵✏❑✑ A ☛✵❙ ☛❿ ❵✵❩ B ☛⑥ ☛❿ ❵✵✯✵➒✵✜➓✷❿✵➀✏❑✑ AB ☛❻✵❵✵■❦✵✏❑✑●✲❻✵✜➓➔❘ AB ✸ Cayley-Hamilton →✍➌ ✓ p(λ) = det(A − λI) ✮ p(A) = CAc > XUs ✸ ♦✍❀✍❁✍✏✒✑ M ✓❷➣ ➊ ☛✵♦✽●❚ vj ❱✵↔☛✵♦✽●❚ wi ☛❂✵❃❥✵❇ Σmijwi ✐✵②✵✸ c1v1 + c2v2 + · · · cnvn = d1w1 + d2w2 + · · · dnwn ☛✍↕✍➙❱✒➛ d = Mc ➜✍➝ ➞ ✸ (✹✍✻ n = 2 ✴ ✜❲➟ v1 = m11w1 + m21w2, v2 = m12w1 + m22w2) 1
特征方程:det(A-M)=0。n个根是η阶矩阵A的特征根 Cholesky因子化:将正定矩阵A分解为A=CC=(L√D(L√D的形 循环矩阵C:每条对角线上为常值且为循环位移阵所卷绕的矩阵,循环矩阵形 如CoE+C1S1+…+Cn-1S-1。Cx=卷积c*ⅹ,F中的特征向量 代数余子式C:在n阶行列式中,划去元素ai所在的第讠行和第j列,剩下 的元素按原来次序纽成的n-1阶行列式记为M,令C1;=(-1)+M,称 C;为ai的代数余子式 Ax=b的列图:b成为A的列向量的线性鉏合。当b在A的列空间C(A) 中方程组可解 列空间C(A)=A的列向量的所有线性组合所成空间 可交换矩阵AB=BA。若A,B可对角化,则它们有相同的特征向量 友矩阵:第n行的元素为c1,e2,…,Cn,其余主对角线元素为n-1个1的方阵。 通解:方程Ax=b的通解为ⅹ=xp+xn。即(特解xp)+(零空间中元素xn) 复共轭:复数z=a+b的复共轭是z=a-i。z=|242 条件数: condo(A)=k(A)=‖A|A-1=omax/omin。在Ax=b中相对 变换‖6(x)/x‖l要比cond(A)乘以相对变换‖6b/|b小。条件数测量由于 输入的变 起的输出变化的灵敏度 共轭梯度方法:通过在增长的Klow子空间上极小化x7Ax-xb来求解 正定矩阵A的方程Ax=b的一糸列步骤。(第九章末) 协方差矩阵Σ:当随机变量;有均值=0时,它们的协方差∑是xj的均 值。有均值丌,∑=(x-)(x-)的均值是(半)正定的。若r1是独立的 则它是可对角化的 Ar=b的克来姆法则:令B是用b代替A的第j列所得到的矩阵,则方程 的解为x=det(B;)de(A)
➠✍➡✛✍◗ ✓ det(A − λI) = 0 ✸ n ✧✍➢✍❱ n ⑤ ✏✒✑ A ☛➠✍➡➢✍✸ Cholesky ➤☞➥✍➦ ✓❲❢❺➧→ ✏➨✑ A ❿ ❳ ❘ A = CC T = (L √ D)(L √ D) T ☛ ✐ ②✍✸ ➩✍➫✍✏✒✑ C ✓ ❶ ✙ ✹✒❤☞❂✍❪❘✍➭✍➯✍❨✍❘✍➩❺➫✍➲❅ ✑➜✍➳❺➵☛❺✏✒✑ ✜ ➩❺➫✍✏➨✑✐ ➏ C0E + C1S 1 + · · · + Cn−1S n−1 ✸ Cx = ➳❲❼ c ∗ x ✜ F ✣☞☛➠✍➡ ✽☞❚✍✸ ❡✍❾✍➸✍➥✍② Cij ✓ ✢ n ⑤✍⑥❙ ② ✣ ✜➻➺✍▲✍❴✍➼ aij ➜✍✢☛✒✦ i ⑥ ⑩✒✦ j ❙ ✜➻➽✗ ☛ ❴✍➼ ❦✍➣ ➊✍➾♠✍❥➄☛ n − 1 ⑤✍⑥❙ ②✍➔❘ Mij ✜➚➟ Cij = (−1)i+jMij ✜ ➎ Cij ❘ aij ☛❡✍❾✍➸✍➥✍②✍✸ Ax = b ☛✍❙✒✡ ✓ b ➄❘ A ☛✍❙ ✽☞❚☛ ❂✍❃❥✍❇✸ ✤ b ✢ A ☛✍❙ ❯✍✭ C(A) ✣☞✛✍◗✍❥■✍❳✍✸ ❙ ❯✍✭ C(A) = A ☛✍❙ ✽☞❚☛ ➜✍✮✍❂✍❃❥✍❇➜ ➄ ❯✍✭☞✸ ■✍➪❁✍✏✒✑ AB = BA ✸ ➅ A, B ■✍✹✒❤☞➦✍✜❲✷✍➶✍➹✍✮✲✒❬☞☛➠✍➡ ✽☞❚✍✸ ➘✍✏✒✑ ✓➴✦ n ⑥ ☛❴✰➼❘ c1, c2, · · · , cn ✜➷❸✰➸⑦✹✫❤✬❂✰❴✰➼❘ n−1 ✧ 1 ☛✰✛✫✑✸ ➬ ❳ ✓➴✛✵◗ Ax = b ☛➬ ❳ ❘ x = xp+xn ✸❷❉ (➠ ❳ xp)+(➮❑❯✵✭ ✣ ❴✵➼ xn) ✸ ➱✍✃✍❐ ✓ ➱❾ z = a + ib ☛ ➱✍✃✍❐❱ z = a − ib ✸ zz = |z| 2 ✸ ✙✍✚❾ ✓ cond(A) = κ(A) = kAkkA−1k = σmax/σmin ✸❲✢ Ax = b ✣☞✲✹ ❀✍❁ kδ(x)k/kxk ❒✍❮ cond(A) ❻✒❏✲✹ ❀✍❁ kδbk/kbk ➇✍✸ ✙✍✚❾✍❰✍❚✒➛☞✻ Ï✍Ð☛✍❀➦✍Ñ✒Ò☞Ó☛Ï ➞ ❀➦ ☛✍Ô✍Õ✍Ö✸ ✃✍❐✍×Ö✍✛❵ ✓ ➬❺Ø✢◆❺Ù☛ Krylov ➥➨❯❺✭Ú❪♣ ➇❺➦ 1 2 x T Ax − x T b ➊♥ ❳ ➧ → ✏Û✑ A ☛✍✛✍◗ Ax = b ☛ ✯✒Ü ❙✒Ý☞Þ✸ (✦☞ß✍à✍á) â✛✍ã✍✏✒✑ Σ ✓Û✤☞ä✍å✍❀ ❚ xi ✮✍æ➯ =0 ✴ ✜❲➶✍➹☛â✛✍ã Σij ❱ xixj ☛ æ ➯ ✸➻✮✍æ➯ xi ✜ Σ = (x − x)(x − x) T ☛ æ➯ ❱ (ç) ➧ → ☛ ✸ ➅ xi ❱✍è✍é☛ ✜ ✷✍➶✍❱✍■✍✹✒❤☞➦☛ ✸ Ax = b ☛✍ê➊✍ë✍❵✍✷ ✓ ➟ Bj ❱✍ì b ❡✍í A ☛✒✦ j ❙➜✍î✍✪ ☛✍✏✒✑✜❲✷✛✍◗ ☛ ❳ ❘ xj = det(Bj )/det(A) ✸ 2
R中叉乘Ⅱ×ⅴ:和Ⅱ,正交的向量,长度为‖ull‖lsinθ|=u,v所构 成平行四边形的面积。若u=(u1,u2,3),v=(v1,v,3),则uxv可以用 ijk;auu2ta;a2t]的“行列式”来计算 循环位移阵S:s21=1,S32=1,…,sln=1的置换矩阵S。它的特征值是1的 n个特征根e,k=0,1,…,n-1.特征向量是 Fourier矩阵F的列向量 行列式|A|=det(A):定义dlet(门)=1,行列式换行改变符号且其两行线性相 加不改变行列式的值。当A是奇异矩阵时|4|=0。并且有|AB=|4‖B 和|A=|A4。关于det(A)的主公式是n!项的和,余子式公 式用n-1阶行列式来表示,框体体积=ldet(A) 对角矩阵:非主对角 素都为零的矩阵 分块对角矩阵:除矩阵块Da之外矩阵元素均为零 可对角化矩阵A:必须有η个线性无关的特征向量(在S的列向量中;对应n 个不同的特征值)。则S-1AS=A=特征值矩阵 对角化A=S-1AS:A=特征值矩阵。S=特征向量矩阵。A必须有n个 线性无关的特征向量使S可逆。Ak=SAS 向量空间V的维数:dim(V)=V的一组基中向量的个数 分配律:A(B+C)=AB+AC。即先加后乘与先乘后加结果相同。 积:x1y=x1y1+x2y2+……+xnn。复点积是xy。正交向量的点积 为零。(AB)=(A的第i行)·(B的第j列) 阶梯形矩阵U:若一个方阵第i行的首个非零元素都出现在其上一行首个非零 元的右边,同时没有一非零行出现在零行之下,此方阵称为阶梯形矩阵 特征值λ和特征向量x:Ax=Ax,x≠0。使得det(A-AD)=0 Eigshow:图解2×2矩阵的特征值和奇异值。( MATLAB or Java) 消无法:一糸列把A消成一个上三角形矩阵U或消成形式B=rre∫(A)的行 运算。A=LU,其中(是L中的乘子,或PA=LU且由P对A进行行 变换,或EA=R且E可逆
R3 ✣☞ï❻ u × v ✓❲⑩ u, v ➧ ➪ ☛ ✽Ú❚❺✜ ÙÖ❺❘ kukkvk | sin θ |= u, v ➜❺ð ➄ ❄❺⑥❺ñ✱ ✐ ☛➨✘ ❼❺✸ ➅ u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ✜❲✷ u × v ■➨❏Úì [i j k; u1 u2 u3; v1 v2 v3] ☛óò⑥ ❙ ②✍ô❲➊✍õ✍ö✍✸ ➩✍➫✍➲❅ ✑ S ✓ s21 = 1, s32 = 1, · · · , s1n = 1 ☛✰❹✰❁✵✏✫✑ S ✸✺➶☛➠✰➡➯ ❱ 1 ☛ n ✧ ➠✵➡➢ e 2πik n ✜ k = 0, 1, · · · , n−1 ✸ ➠✵➡ ✽●❚✵❱ Fourier ✏❑✑ F ☛✵❙ ✽●❚✵✸ ⑥ ❙ ② |A| = det(A) ✓ →✍÷ det(I) = 1 ✜☞⑥❙ ②❁ ⑥✍ø❀✍ù❍❨ ❸ ❽⑥✍❂✍❃✲ ú ❝✍ø❀ ⑥ ❙ ② ☛✍➯✸ ✤ A ❱✍û✍ü✏✒✑☞✴ |A| = 0 ✸❲ý❨ ✮ |AB| = |A||B| ✜ |A−1 | = 1/|A| ⑩ |AT | = |A| ✸Ûr☞✻ det(A) ☛✍⑦✍⑧②✍❱ n! ⑨ ☛✍⑩✜❲➸✍➥✍②⑧ ②✍ì n − 1 ⑤✍⑥❙ ②✍➊✍✈✍✇✍✜❲þ✍ÿ✍ÿ✍❼ = |det(A)| ✸ ✹✒❤ ✏✒✑ ✓✁☞⑦✹✒❤☞❂✍❪✍❴✍➼✍✉❘ ➮ ☛✍✏✒✑✸ ❿✍➀✹✒❤ ✏✒✑ ✓✄✂✍✏✒✑➀ Dii ☎✝✆✏✒✑❴✍➼✍æ ❘ ➮✍✸ ■✍✹✒❤☞➦✏✒✑ A ✓✟✞✝✠✮ n ✧✍❂✍❃✍✼✒r☛➠✍➡ ✽☞❚ (✢ S ☛✍❙ ✽☞❚ ✣☛✡ ✹✝☞ n ✧✍❝ ❬☞☛➠✍➡➯ ) ✸❲✷ S −1AS = Λ = ➠✍➡➯✍✏✒✑✸ ✹✒❤☞➦ Λ = S −1AS ✓ Λ = ➠✍➡➯✍✏✒✑✸ S = ➠✍➡ ✽☞❚✏✒✑✸ A ✞✝✠✮ n ✧ ❂✍❃✍✼✒r☛➠✍➡ ✽☞❚✝✌ S ■✝✍✍✸ Ak = SΛ kS −1 ✸ ✽☞❚✒❯✍✭ V ☛✝✎❾ ✓ dim(V ) = V ☛ ✯❥✍♦✒✣ ✽☞❚☛✧✍❾✍✸ ❿✝✏❈ ✓ A(B + C) = AB + AC ✸Û❉☛✑ú ❞✍❻✍❩✝✑✍❻✍❞ ú❆✍➑✍✲✒❬ ✸ ✩✍❼ ✓ x Ty = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn ✸ ➱ ✩✍❼✍❱ x Ty ✸ ➧ ➪✒✽☞❚☛ ✩✍❼ ❘ ➮✍✸ (AB)ij = (A ☛✒✦ i ⑥ ) · (B ☛✒✦ j ❙ ) ✸ ⑤ × ✐✏✒✑ U ✓ ➅ ✯✍✧✛✒✑✍✦ i ⑥ ☛✝✒✧ ➮✍❴✍➼✍✉ ➞☛✓✢✍❸✍❪✍✯✍⑥✒✧ ➮ ❴ ☛✝✔✍✱✜ ❬☞✴✝✕✮✍✯ ➮✍⑥ ➞☛✓✢✍➮✍⑥☎ ✗ ✜✄✖✛✒✑☞➎✍❘ ⑤ × ✐✏✒✑✸ ➠✍➡➯ λ ⑩➠✍➡ ✽☞❚ x ✓ Ax = λx, x 6= 0 ✸✄✌✍î det(A − λI) = 0 ✸ Eigshow ✓Û✡ ❳ 2 × 2 ✏✒✑☞☛➠✍➡➯✍⑩û✍ü➯ ✸ (MATLAB or Java) ❫☞❴✍❵ ✓ ✯✒Ü ❙➈ A ❫ ➄ ✯✍✧✍❪✍❣✒❤☞✐✏✒✑ U ✗✒❫ ➄ ✐✍② R = rref(A) ☛⑥ ✘ ö✍✸ A = LU ✜❲❸ ✣ `ij ❱ L ✣☞☛❻✍➥✍✜✄✗ PA = LU ❨ ➛ P ✹ A ➃ ⑥✍⑥ ❀✍❁✜✄✗ EA = R ❨ E ■✝✍✍✸ 3
消去矩阵=初等矩阵E:恒等矩阵加上第(i,j)(≠j)元素是-(的矩 阵。EA从A的笫讠行减去A的笫j行的(的倍。 椭圆(或椭球)x'Ax=1:要求A是正定的;椭球的轴是A的特征向量,且 长度为1/八不;(对于‖x‖=1向量y=Ax位于由 Eigshow所显示的椭圆 A-lyl2=yr(AA)-ly=1上;轴长a) 指数矩阵e4=+At+42+…其导数为Ae4t;a'=An有解e1n(0) 因子化A=LU:不用行变换把A化成U,用带乘子1(和n=1)的下三角 矩阵L可把U还原为A 快速 Fourier变换(FFT): Fourier矩阵Fn因子化成￡≡log2n个矩阵S 乘以一个置换矩阵。每个S仅需号次乘法,因此Fnx和Fc可用次乘法 来计算。 Fibonacci数:0,1,1,2,3,5,…满足Fn=Fn-1+Fn-2=(-A)/(A1 2).增长率h=当是 Fibonacci矩阵1最大的特征值 A的四个基本子空间:C(4),N(A),C(A1),N(A) Fourier短阵F:矩阵元Fk=e给出正交列FF=n,y=F是 (可迢)离散 Fourier变换y=∑cme2 A的自由列向量:没有主元的列;此列可表示为前面列的线性合。 自由变量r;:第讠列在消元后没有主元。n-r个变量可取任意值。则Ax=b 决定了这r个主变元(若可解!) 列满秩η=n:列向量线性无关。N(A)={0},没有自由变量 r=m:行向量线性无关。Ax=b至少有一个解,列空间是R 是行满秩或列满秩 基本定理:由方程Ax=0可知零空间N(A)和行空间C(A1)是互为正交补 有维数为r和n-r的相互正交的子空间)。应用于A,列空间C(A)是 N(41)的正交补
❫☞▲✏✒✑ = ✙✝✚✏✒✑ Eij ✓☛✛✚✏✒✑ú ❪ ✦✢✜ i, j ✣ (i 6= j) ❴✍➼✍❱ −`ij ☛✍✏ ✑ ✸ EijA ✥ A ☛✒✦ i ⑥✝✤✍▲ A ☛✒✦ j ⑥ ☛ `ij ☛✝✥✸ ✦★✧ (✗✦✝✩)x T Ax = 1 ✓ ❒♥ A ❱➧ → ☛✝✡ ✦✝✩☛✝✪❱ A ☛➠✍➡ ✽☞❚✍✜ ❨ ÙÖ❺❘ 1/ √ λ ✡ (✹❺✻ kxk = 1 ✽Ú❚ y = Ax ➲ ✻➨➛ Eigshow ➜✬✫❺✇☛ ✦✭✧ kA−1yk 2 = y T (AAT ) −1y = 1 ❪ ✡✄✪Ù σi) ✮ ❾ ✏✒✑e At = I +At+ (At) 2 2! +· · · ❸✰✯✵❾❘ AeAt ✡ u 0 = Au ✮✵❳ e Atu(0) ✸ ➤☞➥✍➦ A = LU ✓ ❝✍ì✍⑥❀✍❁➈ A ➦ ➄ U ✜✕ì✝✱✍❻✍➥ `ij (⑩ `ii = 1) ☛✍✗❣✒❤ ✏✒✑ L ■✍➈ U ✲ ➣✍❘ A ✸ ✳✝✴ Fourier ❀✍❁✵✜ FFT ✣ ✓ Fourier ✏✒✑ Fn ➤☞➥✍➦➄ ` = log2 n ✧ ✏✒✑ Si ❻✒❏☞✯✍✧❹✍❁✍✏✒✑✸➚❶❲✧ Si ✶✝✷ n 2 ➾✍❻✍❵✍✜❲➤☛✖ Fnx ⑩ F −1 n c ■✍ì n` 2 ➾✍❻✍❵ ➊✍õ✍ö✍✸ Fibonacci ❾ ✓ 0, 1, 1, 2, 3, 5, · · · ✔✍✖ Fn = Fn−1 + Fn−2 = (λ n 1 − λ n 2 )/(λ1 − λ2) ✸ ◆✍Ù✝✸ λ1 = 1+√ 5 2 ❱ Fibonacci ✏✒✑ " 1 1 1 0 # ✹ q✍☛➠✍➡➯ ✸ A ☛ ñ✍✧♦✝✺➥✒❯✍✭ ✓ C(A), N(A), C(AT ), N(AT ) ✸ Fourier ✏✒✑ F ✓❲✏✒✑❴ Fjk = e 2πijk n ➝ ➞ ➧ ➪ ❙ F T F = nI ✜ y = Fc ❱ (■✝✍) ✻☛✼ Fourier ❀✍❁ y = P cke 2πijk n ✸ A ☛✾✽ ➛ ❙ ✽☞❚ ✓✄✕✮ ⑦ ❴ ☛✍❙✝✡ ✖ ❙ ■✍✈✍✇❘✝✿✒✘☞❙✍☛ ❂✍❃❥✍❇✸ ✽ ➛ ❀ ❚ xi ✓●✦ i ❙✢❑❫●❴✵❞ ✕ ✮ ⑦ ❴✵✸ n − r ✧ ❀❚✵■✰❀s✵t✵➯✸➐✷ Ax = b ❁ →✾❂ ① r ✧ ⑦✍❀ ❴ (➅ ■✍❳✢❃) ✸ ❙✍✔✍❭ r = n ✓❲❙ ✽☞❚✍❂✍❃✍✼✒r☞✸ N(A) = {0} ✜ ✕ ✮ ✽ ➛ ❀ ❚✍✸ ⑥ ✔✍❭ r = m ✓ ⑥➨✽Ú❚❺❂❺❃❺✼➨rÚ✸ Ax = b ❄✭❅Ú✮❺✯❺✧❺❳❺✜ ❙ ❯❺✭Ú❱ Rm ✸ ✔❲❭ ❱✍⑥✔✍❭✗ ❙✍✔✍❭✸ ♦✝✺→✍➌ ✓ ➛ ✛✍◗ Ax = 0 ■✝❆✍➮✒❯✍✭ N(A) ⑩⑥✒❯✍✭ C(AT ) ❱✝❇❘✍➧➪✬❈ (Rn ✮ ✎❾ ❘ r ⑩ n − r ☛✍✲❇➧ ➪ ☛ ➥✒❯✍✭ ) ✸❉☞✍ì✍✻ AT ✜ ❙ ❯✍✭ C(A) ❱ N(AT ) ☛✍➧➪✝❈✍✸ 4
Gauss-jordan方法:通过初等变换把[A门变为[ⅠA-订求出A的逆矩阵A-1 的方法 Gram- Schmidt标准正交化方法:A=QR。A中列向量是线性无关的,Q 中列向量标准正交。Q的每个列向量q是A的前j列向量的线性合 (R是上三角矩阵)约定:diag(R)>0 图G:由m条边两两相连的Ⅱ个节点的集合。一个完全图在节点间共有 n(n-1)/2条边。一个树仅有n-1条边且没有闭圈。 向图的边上 带有方向箭头 Hankel短阵H:每条反对角线上元素均为常值的矩阵;h;依赖于i+j Hermitian矩阵 条件AH=丌=A的复矩阵A,对称矩阵的复的类 Hessenberg矩阵H:次对角线元素非零的三角矩阵 t矩阵hib(n).矩阵元H;=1/(i+j-1)=x-1-dx,特征值 很小且条件数很大的正定矩阵 超立方矩阵P:第n+1行元素按P中一个立方体的角,边,面…的个数 计算 恒等矩阵I(或In):主对角元素为1,非主对角元素为0的矩阵 个有向图的关联矩阵:m条边n个节点的图的关联矩阵是从节点i到节点 的这条边对应一行向量,其笫i列和第j列元素分别为-1和1 不定矩阵:特征值有正有负的对称矩阵 线性无关向量组v1,V2,…,Vk:若C1V1+C2V2+…+ckvk=0成立当且仅当 所有c=0。若Ⅵ1,V2,…,vk是A的行向量,则Ax=0的解仅有x=0 逆矩阵A-1:满足AA-1=I和A-1A=1的方阵A-1.若det(4)=0 或rαnk(A)<π或Ax=0有非零解,则A不可逆,即A没有逆矩阵 (AB)-1=B-1A-1,(41)-1=(A-1)余子式公式(A-1)=Cf/de()
Gauss-Jordan ✛ ❵ ✓ ➬✵Ø✙✰✚❀✵❁➈ [A I] ❀✵❘ [I A−1 ] ♥ ➞ A ☛✍ ✏❑✑ A−1 ☛✍✛❵✍✸ Gram-Schmidt ➙✝❊✍➧ ➪✍➦✛ ❵ ✓ A = QR ✸ A ✣☞❙ ✽☞❚✍❱✍❂✍❃✍✼✒r☛ ✜ Q ✣☞❙ ✽☞❚➙✝❊✍➧ ➪✍✸ Q ☛❶✍✧❙ ✽☞❚ qj ❱ A ☛✝✿ j ❙ ✽☞❚☛ ❂✍❃❥✍❇✸ ✜ R ❱✍❪✍❣✒❤ ✏✒✑ ✣ ✸✁❋☞→✓ diag(R) > 0 ✸ ✡ G ✓ ➛ m ✙ ✱❽ ❽ ✲ ✳☛ n ✧ ★ ✩ ☛❍●❇ ✸❲✯✧❏■☛❑ ✡ ✢ ★ ✩ ✭ ✃ ✮ n(n − 1)/2 ✙❺✱✸❲✯❺✧✵▲ ✶✮ n − 1 ✙❺✱❺❨✬✕✮✭▼✬◆Ú✸❲✯❺✧ ✮✒✽ ✡ ☛❺✱❪ ✱✍✮✛ ✽☛❖✝P✍✸ Hankel ✏✒✑ H ✓ ❶ ✙✝◗✹✒❤☞❂✍❪✍❴✍➼✍æ ❘✍➭✍➯✍☛✍✏✒✑☛✡ hij ❘✝❙ ✻ i + j ✸ Hermitian ✏✒✑ ✓❲✔❺✖❺✙❺✚ AH = A T = A ☛ ➱✏➨✑ A ✜❲✹➎❺✏➨✑Ú☛ ➱☛✭❚ ❯✓ aji = aij ✸ Hessenberg ✏✒✑ H ✓ ➾✍✹✒❤☞❂✍❴✍➼ ➮ ☛ ❣✒❤ ✏✒✑✸ Hlibert ✏✒✑ hilb(n) ✸ ✏✒✑❴ Hij = 1/(i + j − 1) = R 1 0 x i−1x j−1dx ✸ ➠✍➡➯ λmin ③✍➇❨✍✙✍✚❾✍③q✍☛✍➧→ ✏✒✑✸ ❱ é✛✍✏✒✑ P 2 L ✓❺✦ n + 1 ⑥✍❴✍➼ ❦ Rn ✣ ✯✍✧✍é✛ÿ ☛ ❤☞✜ ✱ ✜ ✘ · · · ☛✧✍❾ õ✍ö✍✸ ✛ ✚✏✒✑ I(✗ In) ✓❲⑦✹✒❤☞❴✍➼ ❘ 1 ✜ ☞⑦✹✒❤☞❴✍➼ ❘ 0 ☛✍✏✒✑✸ ✯✍✧✍✮✒✽ ✡☞☛ r☛❲✏✒✑ ✓ m ✙✍✱ n ✧✒★☞✩☛✒✡☞☛ r☛❲✏✒✑❱✥ ★☞✩ i ✪✒★☞✩ j ☛✍①✍✙✍✱✹✝☞✍✯✍⑥✒✽☞❚✍✜❲❸ ✦ i ❙✍⑩✒✦ j ❙❴✍➼ ❿✝❳❘ −1 ⑩ 1 ✸ ❝✍→✏✒✑ ✓ ➠✍➡➯ ✮➧ ✮★❨ ☛✹ ➎✍✏✒✑✸ ❂✍❃✍✼✒r✍✽☞❚❥ v1, v2, · · · , vk ✓ ➅ c1v1 +c2v2 +· · ·+ckvk = 0 ➄ é ✤●❨✶ ✤ ➜✍✮ ci = 0 ✸ ➅ v1, v2, · · · , vk ❱ A ☛⑥✒✽☞❚✍✜☞✷ Ax = 0 ☛❳✶✮ x = 0 ✸ ✍ ✏✒✑ A−1 ✓❲✔❺✖ AA−1 = I ⑩ A−1A = I ☛❺✛➨✑ A−1 ✸ ➅ det(A) = 0 ✗ rank(A) < n ✗ Ax = 0 ✮ ➮❳✜❲✷ A ❝Û■❍✍✜Û❉ A ✕ ✮❍✍✏ ✑ ✸ (AB) −1 = B−1A−1 ✜ (AT ) −1 = (A−1 ) T ✸ ➸✰➥✰②⑧ ② (A−1 )ij = Cij/det(A) ✸ 5